petite question sur les appli lineaires

[passion math]

Bonsoir,

Soit f un endomorphisme de E.
As-t-on TOUJOURS ker(f) + Im(f) = E ?
ATTENTION, je ne parle pas de somme directe mais de simple somme !

Passion Math
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[GBZM]

Bonsoir,
Non il n'y a aucune raison d'avoir ça.
Par contre on a toujours si est de dimension finie, et par conséquent si , alors la somme est nécessairement directe (toujours en supposant de dimension finie).

[passion math]

Ok,

mais pourquoi alors il suffit de montrer que ker(f) intersect im(f) = {0} pour prouver la somme directe ?

[GBZM]

Dire que l'intersection des deux est réduite à {0}, c'est bien dire que leur somme est directe, non ?
Et vu que la somme des dimensions est la dimension de E (théorème du rang), cette somme directe est égale à E.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

Soit f un endomorphisme de E.
As-t-on TOUJOURS ker(f) + Im(f) = E ?

comme contrexample tu peux considérer dans un espace vectoriel de dimension 2, dont une base est {e1,e2} l'application linéaire définie par e1 -> 0 et e2 -> e1. C'est la composée d'une projection suivie d'une rotation (ou symétrie). Dans ce cas l'image et le noyau sont de dimension 1 et égaux.

[passion math]

Merci à vous deux.
C'est clair pour moi désormais.
Un petit dessin sur R² ou R3 permet souvent de bien visualiser comment tout cela fonctionne.

Passion Math