petite question sur les appli lineaires
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petite question sur les appli lineaires



  1. #1
    passion math

    petite question sur les appli lineaires


    ------

    Bonsoir,

    Soit f un endomorphisme de E.
    As-t-on TOUJOURS ker(f) + Im(f) = E ?
    ATTENTION, je ne parle pas de somme directe mais de simple somme !

    Passion Math

    -----

  2. #2
    GBZM

    Re : petite question sur les appli lineaires

    Bonsoir,
    Non il n'y a aucune raison d'avoir ça.
    Par contre on a toujours si est de dimension finie, et par conséquent si , alors la somme est nécessairement directe (toujours en supposant de dimension finie).
    Dernière modification par GBZM ; 02/12/2023 à 19h03.

  3. #3
    passion math

    Re : petite question sur les appli lineaires

    Ok,

    mais pourquoi alors il suffit de montrer que ker(f) intersect im(f) = {0} pour prouver la somme directe ?
    Dernière modification par passion math ; 02/12/2023 à 20h43.

  4. #4
    GBZM

    Re : petite question sur les appli lineaires

    Dire que l'intersection des deux est réduite à {0}, c'est bien dire que leur somme est directe, non ?
    Et vu que la somme des dimensions est la dimension de E (théorème du rang), cette somme directe est égale à E.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    MissJenny

    Re : petite question sur les appli lineaires

    Citation Envoyé par passion math Voir le message
    Soit f un endomorphisme de E.
    As-t-on TOUJOURS ker(f) + Im(f) = E ?
    comme contrexample tu peux considérer dans un espace vectoriel de dimension 2, dont une base est {e1,e2} l'application linéaire définie par e1 -> 0 et e2 -> e1. C'est la composée d'une projection suivie d'une rotation (ou symétrie). Dans ce cas l'image et le noyau sont de dimension 1 et égaux.

  7. #6
    passion math

    Re : petite question sur les appli lineaires

    Merci à vous deux.
    C'est clair pour moi désormais.
    Un petit dessin sur R² ou R3 permet souvent de bien visualiser comment tout cela fonctionne.

    Passion Math

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