Matrices aléatoires.

**Anonyme007** · 17/01/2024, 01h17

Bonsoir,

Soit $\text{[math]}$ une matrice aléatoire de taille $\text{[math]}$ , dont les entrées sont des variables aléatoires indépendantes et de meme loi de Bernoulli valant $\text{[math]}$ et de probabilité $\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ la variable aléatoire déterminant de la matrice aléatoire $\text{[math]}$ .

Comment calculer la probabilité conditionnelle, $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**gg0** · 17/01/2024, 07h37

La question n'a pas de sens.

**Anonyme007** · 17/01/2024, 07h49

Bonjour,
Je précise à priori que, $\text{[math]}$ .
Pourquoi la question n'a pas de sens ?

**Anonyme007** · 17/01/2024, 08h20

Si $\text{[math]}$ , alors, $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est le cofacteur d'indice $\text{[math]}$ .

Comment simplifier, $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**MissJenny** · 17/01/2024, 09h02

ta question n'a pas de sens parce que tu ne précises pas le lien qu'il y a entre M(n) et M(n-1). Est-ce qu'on obtient M(n-1) à partir de M(n) en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne? ou bien une ligne et une colonne aléatoire? ou autre chose?

**Anonyme007** · 17/01/2024, 09h53

Envoyé par MissJenny

ta question n'a pas de sens parce que tu ne précises pas le lien qu'il y a entre M(n) et M(n-1). Est-ce qu'on obtient M(n-1) à partir de M(n) en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne? ou bien une ligne et une colonne aléatoire? ou autre chose?

$\text{[math]}$ est une matrice aléatoire quelconque de taille $\text{[math]}$ , dont les entrées sont des variables aléatoires indépendantes et de meme loi de Bernoulli valant $\text{[math]}$ et de probabilité $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est une matrice aléatoire quelconque de taille $\text{[math]}$ , dont les entrées sont des variables aléatoires indépendantes et de meme loi de Bernoulli valant $\text{[math]}$ et de probabilité $\text{[math]}$ .

Par récurrence, $\text{[math]}$ .
D'où, je pense, $\text{[math]}$ .

Est ce que c'est ça ?

**gg0** · 17/01/2024, 09h55

C'est même pire que ça : Il y a un seul objet de défini dans la question (M_n), avec par ricochet un entier donné (n). Mais y apparaît un objet non défini (M_n-1) qui peut même ne pas avoir de signification (si n=1); autrement dit, Anonyme007 ne sait pas de quoi il parle, mais il aime frimer avec des questions qui semblent profondes ... alors qu'elles ne sont que creuses et idiotes.
Voir aussi cette discussion.

**MissJenny** · 17/01/2024, 10h03

si je simule 10000 matrices 5x5 en 1 et -1 j'obtiens ces valeurs du déterminant :

Code:

det.        -48     -32      -16        0         16       32      48 
effectif                9    178   1551   6581    1499     174        8

je ne m'attendais pas à ce qu'il y ait si peu de valeurs possibles.

**MissJenny** · 17/01/2024, 10h06

bon sang! je n'arrive pas à formatter correctement ce tableau!

**Anonyme007** · 17/01/2024, 10h19

MissJenny :
Je pense que c'est fait pour $\text{[math]}$ ( Regarde mon message précédent ).
Maintenant, je voudrais trouver, $\text{[math]}$ .

Merci d'avance.

**ThM55** · 17/01/2024, 10h34

Envoyé par Anonyme007

$\text{[math]}$ est une matrice aléatoire quelconque de taille $\text{[math]}$ , dont les entrées sont des variables aléatoires indépendantes et de meme loi de Bernoulli valant $\text{[math]}$ et de probabilité $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est une matrice aléatoire quelconque de taille $\text{[math]}$ , dont les entrées sont des variables aléatoires indépendantes et de meme loi de Bernoulli valant $\text{[math]}$ et de probabilité $\text{[math]}$ .

Par récurrence, $\text{[math]}$ .
D'où, je pense, $\text{[math]}$ .

Est ce que c'est ça ?

Donc les deux matrices $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ n'ont rien à voir l'une avec l'autre et elles sont indépendantes? Si A et B sont des événements indépendants, $\text{[math]}$ .

**gg0** · 17/01/2024, 10h44

Envoyé par Anonyme007

$\text{[math]}$ est une matrice aléatoire quelconque de taille $\text{[math]}$ , dont les entrées sont des variables aléatoires indépendantes et de meme loi de Bernoulli valant $\text{[math]}$ et de probabilité $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est une matrice aléatoire quelconque de taille $\text{[math]}$ , dont les entrées sont des variables aléatoires indépendantes et de meme loi de Bernoulli valant $\text{[math]}$ et de probabilité $\text{[math]}$ .

Par récurrence, $\text{[math]}$ .

Le "par récurrence" est une tricherie. Puisque les deux matrices sont indépendantes, la valeur du déterminant de l'une n'a rien à voir avec le déterminant de l'autre.

**Anonyme007** · 17/01/2024, 10h44

Bonjour,

Envoyé par ThM55

Donc les deux matrices $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ n'ont rien à voir l'une avec l'autre et elles sont indépendantes? Si A et B sont des événements indépendants, $\text{[math]}$ .

Merci pour ta réponse.
Ici, on a plutôt, $\text{[math]}$ , et non, $\text{[math]}$ , parce que, $\text{[math]}$ . Enfin, c'est ce que je pense. On a, $\text{[math]}$ ... Donc, $\text{[math]}$ .

**gg0** · 17/01/2024, 10h46

Encore du n'importe quoi : "parce que, $B \subset A$ . Enfin, c'est ce que je pense."

**jacknicklaus** · 17/01/2024, 11h05

C'est une intéressante question qui a déjà été abordée sur futura. Quelques calculs informatiques donnent ceci :

matrice carrée nxn aléatoire remplie avec des -1 ou +1 équiprobables
on compte le ratio de matrices de déterminant nul

matrices 10x10 ~ 0.38
matrices 9x9 ~ 0.47
matrices 8x8 ~ 0.52
matrices 7x7 ~ 0.581
matrices 6x6 ~ 0.627
matrices 5x5 exactement 1343/2048, ~ 0.656
matrices 4x4 exactement 169/256, ~ 0.660
matrices 3x3 exactement 5/8 = 0.625
matrices 2x2 exactement 1/2

**Anonyme007** · 17/01/2024, 11h49

Je voudrais trouver, $\text{[math]}$ .

**MissJenny** · 17/01/2024, 11h54

on n'avance pas...

**Anonyme007** · 17/01/2024, 12h07

Je voudrais trouver, $\text{[math]}$ .
Et c'est à ce niveau là qu'on a besoin de ce qui suit,

Envoyé par Anonyme007

Si $\text{[math]}$ , alors, $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est le cofacteur d'indice $\text{[math]}$ .

Comment simplifier, $\text{[math]}$ ?

**Anonyme007** · 17/01/2024, 12h13

Dites moi simplement si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont indépendantes ou non, et pourquoi ?
Merci.

**Anonyme007** · 17/01/2024, 12h21

Il y a un théorème dans mon cours qui dit que si $\text{[math]}$ est un vecteur aléatoire où les $\text{[math]}$ sont mutuellement indépendants pour i allant de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ , alors, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont indépendants où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont deux fonctions continues respectivement, où $\text{[math]}$ .

Donc, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont indépendantes.
Vrai à votre avis ?

**GBZM** · 17/01/2024, 13h31

Envoyé par MissJenny

je ne m'attendais pas à ce qu'il y ait si peu de valeurs possibles.

Considérons une matrice de taille $\text{[math]}$ remplie uniquement de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ . Si on ajoute la première colonne à chacune des suivantes, on ne change pas le déterminant et chacune des colonnes sauf la première est divisible par $\text{[math]}$ . Donc le déterminant est un entier divisible par $\text{[math]}$ .
La borne de Hadamrd nous dit que la valeur absolue du déterminant est majorée par $\text{[math]}$ . le nombre de valeurs que peut prendre le déterminant est donc majoré par $\text{[math]}$ . Pour $\text{[math]}$ , au plus sept valeurs.

**ThM55** · 19/01/2024, 11h29

Envoyé par Anonyme007

Bonjour,

Merci pour ta réponse.
Ici, on a plutôt, $\text{[math]}$ , et non, $\text{[math]}$ , parce que, $\text{[math]}$ . Enfin, c'est ce que je pense. On a, $\text{[math]}$ ... Donc, $\text{[math]}$ .

Non. Prenons deux événements indépendants. Je ne sais pas, par exemple "il pleut" et "Cunégonde a gagné la loterie". Il sont indépendants car le fait qu'il pleuve ne modifie pas la probabilité pour que Cunégonde gagne à la lotterie et réciproquement. Ces événements sont soumis à des causes propres et sans rapport entre elles.

P(Il pleut SI Cunégonde a gagné à la lotterie) = P (Il pleut).

Ce que tu dis c'est que

P(Il pleut SI Cunégonde a gagné à la lotterie) = P(Cunégonde a gagné à la lotterie).

Donc si P(Cunégonde a gagné à la lotterie) = 1/6000000, il ne pleuvra pratiquement plus jamais et nous allons tous mourir. C'est grave, que fait le gouvernement? Il faut faire gagner Cunégonde!

Excusez-moi de tourner cela en dérision, mais toute cette discussion me paraît tellement loufoque...

**Anonyme007** · 19/01/2024, 11h54

Bonjour,

Oui, mais la formule qu'on cherche à établir est une formule de récurrence : $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ .
On suppose à priori que, $\text{[math]}$ et on montre que, $\text{[math]}$ .
C'est à dire, $\text{[math]}$
Et, à mon avis, cela n'est possible que si, $\text{[math]}$ ...
Donc, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne sont pas indépendants, mais que, $\text{[math]}$ ...

**MissJenny** · 19/01/2024, 12h31

quelques simulations ont l'air de montrer que ta conjecture est fausse et qu'en fait P(det(Mn) = 0) tend vers zéro.

**MissJenny** · 19/01/2024, 12h32

Envoyé par GBZM

La borne de Hadamrd nous dit que la valeur absolue du déterminant est majorée par $\text{[math]}$ .

merci. Je ne connaissais pas du tout cela.

**Anonyme007** · 19/01/2024, 13h30

Envoyé par MissJenny

quelques simulations ont l'air de montrer que ta conjecture est fausse et qu'en fait P(det(Mn) = 0) tend vers zéro.

jacknicklaus montre par ses quelques simulations sur son ordinateur que, $\text{[math]}$ tourne autour de la valeur $\text{[math]}$ , c'est à dire, tourne autour de la valeur $\text{[math]}$ , en faisant varier $\text{[math]}$ . Regarde son message au début du fil. Qui a alors raison ?

**MissJenny** · 19/01/2024, 13h40

pour des matrices 20x20, si j'en tire 50000 j'en trouve 226 qui ont un déterminant à peu près nul (à peu près parce qu'il y a des erreurs d'arrondi), on est loin de 50%

**Anonyme007** · 19/01/2024, 13h47

Envoyé par MissJenny

pour des matrices 20x20, si j'en tire 50000 j'en trouve 226 qui ont un déterminant à peu près nul (à peu près parce qu'il y a des erreurs d'arrondi), on est loin de 50%

Peut être, parce que, $\text{[math]}$ ... Non ? Je ne sais pas calculer, $\text{[math]}$ ...

**gg0** · 19/01/2024, 14h06

Bon, maintenant qu'on sait quel est le vrai problème, on peut dire à Anonyme007 que ce qu'il fait n'a aucune chance d'aboutir.
Il veut absolument passer d'une propriété (floue, à cause du o(1)) d'une matrice quelconque de taille un entier à une propriété sur une matrice quelconque de taille l'entier suivant par un calcul global ! Alors il applique des propriétés qu'il a copiées sans les comprendre, voire qu'il trafique pour faire une "preuve" à la Anonyme007, c'est à dire qu'il est convaincu par sa preuve, mais il est le seul.
Encore une fois, il s'attaque à un problème qu'il ne comprend pas avec des moyens ridicules (Voir son aveu "Je ne sais pas calculer, $\displaystyle \lim_{ n \to + \infty } ( \dfrac{1}{2} + o(1) )^n$ ", qui montre bien qu'il nous baratine depuis le début !).

**Anonyme007** · 19/01/2024, 14h14

Pour le calcul de, $\text{[math]}$ , il faut élever l'expression à l'exponentielle et utiliser un DL au voisinage de $\text{[math]}$ d'ordre au plus $\text{[math]}$ . Je n'ai pas le temps de faire le calcul en détail.

Matrices aléatoires.

Matrices aléatoires.

Re : Matrices aléatoires.

Re : Matrices aléatoires.

Re : Matrices aléatoires.

Re : Matrices aléatoires.

Re : Matrices aléatoires.

Re : Matrices aléatoires.

Re : Matrices aléatoires.

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