Intégrale de cosinus

[Gipfeli]

Bonjour,

j'ai une intégrale à calculer, qui est une somme continue de sinusoïdes:


pour t>0.

C'est une somme de cosinus de fréquences centrées en avec une pondération par une distribution lorentzienne carrée.
Intuitivement cela donne des oscillations amorties, d'autant plus vite que la lorentzienne carrée est large (donc que A est petit).

Par contre le calcul me paraît utiliser des techniques que je ne maîtrise pas. Probablement des résidus ou une transformation de Fourier. Est-ce que quelqu'un de plus expérimenté voit des pistes parmi vous ?

Merci d'avance !
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[jacknicklaus]

Bonjour,

tu es sûr du "t" en facteur du cosinus, et donc



Manquerait pas une parenthèse ??

[Gipfeli]

Oui il manque une parenthèse bien sûr, merci.

.

Je suis plutôt côté physique que maths et on prend la mauvaise habitude qu'à partir du symbole "cos" tout est dans l'argument...

[Anonyme007]

Bonsoir,

Pour calculer à l'aide des résidus, la forme la plus proche à est . Mais, ne ressemble pas à . Je vois mal comment utiliser les résidus ici.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Ou bien, tu utilises la formule de Plancherel si le calcul peut se faire dans .
La formule de Plancherel dont je parle est, où, est la transformée de Fourier.
Moi, je n’arrive pas à calculer les transformées de Fourier direct ou inverse des fonctions et , c'est pourquoi, je n’arrive pas à t’aider plus en détail.

[Gipfeli]

Merci pour ces pistes intéressantes. Ça pourrait fonctionner sous certaines approximations. Je posterai si je trouve quelque chose.

[Anonyme007]

Bonjour Gipfeli,

A ta place, j'aurais dériver la fonction par rapport à , et qui s'exprime comme un intégrale à paramètre. Voir ici, https://www.bibmath.net/dico/index.p...parametre.html
Ensuite, voir si je peux trouver une relation différentielle simple à résoudre.
En d'autres termes, essaye de voir si on peut obtenir une équation différentielle de 1er ordre en de la forme, , avec à déterminer.

[Anonyme007]

Il serait peut être préférable de dériver par rapport à et non par rapport à pour que ça marche véritablement.