Notion de quelconque en topologie / ensemble vide est 1 ouvert

[Matt1627]

Bonjour, est-ce que le terme "quelconque" en topologie signifie "finie ou infinie" ? Par exemple, la propriété qui dit que "une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert" marche aussi bien pour une réunion finie ou infinie d'ouverts ?

De plus, comment montrer que l'ensemble vide est un ouvert ? Car par définition 1 ensemble est un ouvert si tous ses points lui sont intérieurs mais comment le montrer avec l'ensemble vide qui ne contient aucun point ?

Merci d'avance à toute personne m'accordant un peu de son temps.
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[Juzo]

Bonjour, je ne suis pas expert mais je dirais :
"quelconque" doit être entendu comme "tout" ou "toute".
Par exemple "une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert" signifie "toute réunion d'ouverts est un ouvert".

Car par définition 1 ensemble est un ouvert si tous ses points lui sont intérieurs

Je pense qu'une définition plus correcte est qu'un ensemble est un ouvert ssi il ne contient aucun point à sa frontière, ou alors autre formulation, un ensemble est ouvert ssi tout point qu'il contient lui est intérieur ce qu'on pourrait traduire par "si l'ensemble E contient un point A alors le point A est intérieur à E". Ces deux définitions fonctionnent aussi avec l'ensemble vide.

[gg0]

Bonjour.

En topologie, comme dans le reste des maths, le mot "quelconque" veut dire "quelconque". Dans un contexte donné on peut lui donner un sens plus précis. Mais c'est du français. Dans la phrase que tu cites, effectivement, ce peut être une réunion finie ou infinie. Mais le sens de la phrase est que c'est toujours vrai, indépendamment de ce qu'il y a dans la réunion d'ouverts.
Pour l'ensemble vide, quel que soit x dans le vide, x lui est intérieur (tu ne peux pas trouver un contre exemple).
De façon générale, les propriétés de la forme "pour tout x dans A,..." sont toutes vraies si A est vide , leur négation étant fausse.

Cordialement.

[Matt1627]

D'accord, merci beaucoup à vous deux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

De plus, comment montrer que l'ensemble vide est un ouvert ? Car par définition 1 ensemble est un ouvert si tous ses points lui sont intérieurs mais comment le montrer avec l'ensemble vide qui ne contient aucun point ?

je ne crois pas que ça soit la définition standard mais cette définition fonctionne très bien. Tu peux la reformuler ainsi : un ensemble n'est pas ouvert s'il contient un élément qui n'est pas intérieur. Comme l'ensemble vide n'a aucun élément, aucun de ses éléments n'est pas intérieur et donc l'ensemble vide est ouvert.

[Matt1627]

je ne crois pas que ça soit la définition standard mais cette définition fonctionne très bien. Tu peux la reformuler ainsi : un ensemble n'est pas ouvert s'il contient un élément qui n'est pas intérieur. Comme l'ensemble vide n'a aucun élément, aucun de ses éléments n'est pas intérieur et donc l'ensemble vide est ouvert.

Ah oui dans ce sens je comprend merci.