définition géométrique de la tangente à une courbe

[inviteb47fe896]

Que ce soit le théorème des accroissements finis ou celui de Rolle, ils se rejoignent sur les hypothèses.
Effectivement on peut "phagociter" la limite dans une théorie plus large mais elle reste présente d'une manière sous jacente.
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[edpiste]

Pour Eirtemoeg : non et non, il n'y a pas "phagocitage" de limite dans l'approche proposée !
Il s'agit simplement de dire que dans un cas simple, par exemple quand f est convexe, on peut parler de tangente en disant "est tangente à la courbe au point P toute droite D qui passe par P et laisse la courbe d'un seul côté de D".
Point de passage à la limite là-dedans, même de manière déguisée!

La démonstration du théorème de Rolle classique que vous avez rappelée est purement analytique : on part d'une variété, la courbe, on l'écrit en coordonnées locales y=f(x) et on déduit des choses à coups de compacité et de calcul des variations.
L'argument pour passer du lemme de Rolle au TAF que vous évoquez admet une interprétation géométrique : y avez-vous déjà réfléchi ? (ça aide grandement à comprendre pourquoi on introduit cette fonction g).

Si on y réfléchit bien, la version géométrique du théorème des accroissements finis est un résultat purement géométrique, qui marche pour n'importe quel graphe régulier, pas seulement les graphes de fonction. Par exemple, le théorème reste vrai pour un cercle, qui n'est pas le graphe d'une fonction.
Il doit donc y avoir une preuve purement géométrique (qui utilisera sûrement la nature localement compacte du plan, puisque la compacité est le coeur de la démonstration analytique)

Voici une analogie édifiante : l'inégalité isopérimétrique est un résultat purement géométrique qui peut se démontrer de manière analytique par le calcul des variations, les séries de Fourier ou encore les espaces de Sobolev. Cependant, l'inégalité isopérimétrique a aussi une démonstration purement géométrique, par exemple en utilisant la symétrisation de Steiner.

Je pense que le TAF doit aussi avoir une preuve géométrique, qu'il reste à expliciter.

Pour Homotopie, je suis d'accord avec ta définition mais il y a effectivement un passage à la limite caché dans le calcul de la borne inférieure des distances de la courbe à la droite envisagée.
Encore une fois, je ne crois pas qu'une définition sans passage à la limite soit vraie pour n'importe quel graphe continu.
Par contre, j'ai donné deux cas simples où les choses se passent bien : f convexe ou f admet un (et un seul) point d'inflexion. A partir de là, on peut (en localisant) obtenir déjà pas mal de graphes pour lesquels une définition similaire est valable.

Il reste aussi à voir si on peut dans ce nouveau contexte étendre le TAF à n'importe quel graphe rectifiable (et pas juste ceux correspondant aux fonctions différentiables).

[inviteb47fe896]

Alors comment définir une droite qui reste d'un seul côté de la courbe au voisinage du point de contact ?

[invite8b04eba7]

Bonsoir,

Je cherche à savoir si une définition ne faisant pas intervenir de passage à la limite est envisageable.

Je suis curieux, pourquoi te poses-tu ce problème ?

[edpiste]

Pour eirtemoeg (pseudo bien choisi pour cette discussion au passage),
le graphe reste d'un seul côté de la tangente (partout, pas seulement localement si la fonction convexe) si le graphe est entièrement inclus dans un des demi-plans séparés par la droite. Pas de limite dans cette définition (ni dans sa traduction analytique que je refuse intentionnellement d'écrire, les maths c'est pas que du formalisme algébrique).

Bonsoir,
Je suis curieux, pourquoi te poses-tu ce problème ?

Par curiosité. Aussi, sur le plan pédagogique, le TAF est habituellement enseigné avant la compacité : on est donc obligé d'admettre un gros théorème (essentiellement le th de Bolzano-Weierstrass, rarement compris à ce stade) pour démontrer le résultat. Une preuve alternative, où la compacité apparait de manière plus intuitive, serait un gros progrès de ce point de vue.
Une analogie : en France, on étudie la réduction des endomorphismes après les (et à l'aide des) déterminants, alors qu'il existe une vision beuacoup plus limpide des choses, où les déterminants sont recalés à la fin du programme, juste pour ce à quoi ils servent vraiment : faire des chgts de var dans les int multiples. Voir travaux de Axler sur ce sujet.

Du point de vue recherche, le but est de généraliser le TAF à des courbes moins régulières, en payant le prix d'une définition plus générale de la tangente.
Ce genre de généralisation a été très payante si on pense aux succès des sous-différentiels de fonctions convexes (qui coincide avec la notion de tangente ici discutée dans le cas de R) : je pense à la méthode des plans d'appui d'Alexandrov en EDP, aux opérateurs maximaux-monotones non linéaires ou encore aux problèmes d'obstacle et aux autres problèmes de frontière libre.

[inviteb47fe896]

Si la convexité est déduite de la droite que l'on suppose tangente alors pourquoi se poser la question de son existence ?
On ne peut pas enseigner toutes les mathématiques à tous les niveaux et il faut savoir laisser des justifications en suspens ; l'utilisation d'une propriété non démontrée peut être utile ( à condition de le signaler et de réserver la démonstration pour plus "tard")

[edpiste]

Si la convexité est déduite de la droite que l'on suppose tangente alors pourquoi se poser la question de son existence ?

La convexité est une propriété intrinsèque et globale, elle ne dépend de pas notions locales (comme la définition usuelle de la tangente). Voici comment on pourrait présenter les choses :

1. une courbe est convexe si son épigraphe est un ensemble convexe (au sens où tout segment reliant deux points de l'épigraphe est inclus tout entier dans l'épigraphe)

Je rappelle pour mémoire que l'épigraphe d'une courbe est l'ensemble des points qui se trouvent au dessus de la courbe.

2. une tangente à une courbe convexe en un point P est une droite passant par P qui laisse la courbe d'un seul côté

On ne peut pas enseigner toutes les mathématiques à tous les niveaux et il faut savoir laisser des justifications en suspens ; l'utilisation d'une propriété non démontrée peut être utile ( à condition de le signaler et de réserver la démonstration pour plus "tard")

C'est de l'obscurantisme pur et simple.
Comme je l'expliquais avec l'exemple de l'algèbre linéaire dans mon précédent message, ce n'est pas parce qu'on enseigne des théories bien établies dans un ordre précis depuis des années, qu'il ne faut pas les remettre en question. J'en tiens pour preuve votre façon de présenter la démonstration du TAF à partir du théorème de Rolle : soit g(t)=blahblah...
Vous et moi avons (je pense) appris cette démonstration pour la première fois sans que quelqu'un vienne nous expliquer pourquoi diable on sortait cette fonction g(t) d'un chapeau...ce qui est nul d'un point de vue pédagogique en ce qui me concerne. Il s'agit bien en effet de se ramener aux hypothèses du théorème de Rolle. Quand on regarde tout cela d'un point de vue géométrique, on aurait plutôt envie de faire un changement de repère (une rotation) sur le graphe de f, plutôt que la transformation plus complexe dont l'expression analytique est la fonction g. Mais cet argument de rotation n'est pas valable (pour une mauvaise raison sur laquelle je vous laisse le soin de méditer)


Pour l'instant, la piste géométrique esquissée ici est bien loin d'être concluante. Mais c'est une piste intéressante qui pourrait porter ses fruits, j'en reste convaincu.

[inviteb47fe896]

L'obscurantisme ne s'applique pas à mon propos ; la connaissance ne se révèle pas à nous dans l'ordre séduisant de la construction logique ; aussi n'y a-t-il aucun remords a avoir si, quand on enseigne, on laisse pour plus tard certaines justifications de résultats. Que ce soit par le biais de la géométrie pure ou celui de l'analytique l'essentiel est la justification du résultat qui permettra d'avancer. Pour ma part je suis assez éloigné de votre préoccupation au sujet de la tangente ; j'ai du mal à concevoir une justification de sa propriété en dehors d'une approche infinitésimale du contact avec la courbe ; ceci ressort de la nature géométrique des figures en présence. La propriété de la compacité locale du plan est issue des axiomes qui constituent sa structure, notamment la "continuité" ; pourrait-on obtenir les résultats connus en faisant l'économie de cet axiome ? Ce serait un événement. Pour ma part j'ai démontré l'axiome de Pasch qui paraissait indispensable jusque là ; alors je me garderai bien de jeter la pierre à celui qui tenterait votre aventure. J'ai investigué pendant des années en géométrie, je connais l'utilité de l'intuition quand on cherche ( ce qui semble vous habiter à propos de la tangente ) Je vous souhaite donc bon courage pour la suite.

[edpiste]

Je vous prie de m'excuser si ma réaction vous a heurté.

Je suis d'accord avec vous que la compacité locale doit presque sûrement apparaitre quelque part dans toute preuve sur le TAF.
Je suis d'accord avec vous que la démonstration de certaines notions doit parfois être remise à plus tard.
Toutefois, on peut parler de compacité de manière intuitive et envisager une autre démonstration où on admet un autre théorème utilisant compacité. Celui en vigueur à l'heure actuelle et souvent admis à ce stade ("toute fonction continue sur un intervalle fermé borné admet un point de maximum") ne me satisfait pas, pas plus que cette fonction g introduite sans explication.


Je ne suis pas d'accord sur le passage sur la "continuité" du plan, il s'agit plutôt d'une question de connexité (dans la preuve de Rolle, on remarque que le taux d'accroissements prend des valeurs positives puis négatives au voisinage d'un point de maximum et on en déduit qu'il doit s'annuler quelque part- précisément au point de tangence : c'est une forme de propriété des valeurs intermédiaires qui est utilisée, il s'agit donc de connexité, pas de continuité)

Par curiosité, quel est donc cet (ex-) axiome de Pasch ?

[edpiste]

Un dernier point concernant ce commentaire :

Pour ma part je suis assez éloigné de votre préoccupation au sujet de la tangente ; j'ai du mal à concevoir une justification de sa propriété en dehors d'une approche infinitésimale du contact avec la courbe ; ceci ressort de la nature géométrique des figures en présence.

Prenons l'exemple simple de la courbe d'équation y=|x|. L'approche infinitésimale nous dit "il n'y pas de tangente en zéro parce que la fonction n'est pas dérivable en ce point". Autrement dit, parmi toutes les droites qui touchent le graphe au point de contact, aucune n'est tangente ("aucune n'est la plus proche").

Le point de vue développé ici (celui de l'analyse convexe) est de dire : il y a une infinité de droites tangentes à la courbe au point de contact (toutes celles qui touchent l'origine et restent sous la courbe), ce qui correspond plus à l'intuition géométrique que je me fais de la chose, pas à la vôtre ?

Si on garde cette approche, on voit que le TAF se généralise facilement à toute fonction C1 (ou juste dérivable) par morceaux. Je n'arrive pas à voie si le résultat reste vrai pour une fonction lipschitzienne (en utilisant la notion de tangente que vous préférez)

[inviteb47fe896]

L'axiome de "continuité" est une traduction de la coupure de Dédekind.
Voici l'axiome de Pasch :
" Si une droite (D) a un point commun avec un des côtés d'un triangle alors elle a un point commun avec un autre côté du triangle."
Cet axiome fait partie de l'ensemble des axiomes retenus par David HILBERT pour définir la structure du plan sans avoir recours à l'intuition sensible comme l'avait fait Euclide.

[inviteb47fe896]

Je reviens sur votre exemple de la droite y = IxI
A l'origine, la dérivée à droite est différente de la dérivée à gauche ; c'est le cas où l'on dit que la dérivée n'existe pas.
Si une droite n'a qu'un point commun avec une courbe convexe cela ne signifie pour autant qu'elle est tangente à la courbe.
Pour aboutir au résultat que vous cherchez il faudrait jouer avec les partitions du plan réalisées par l'ensemble de la figure droite + courbe, en utilisant la parité ou l'imparité du nombre des domaines obtenus.

[edpiste]

L'axiome de "continuité" est une traduction de la coupure de Dédekind.
Voici l'axiome de Pasch :
" Si une droite (D) a un point commun avec un des côtés d'un triangle alors elle a un point commun avec un autre côté du triangle."
Cet axiome fait partie de l'ensemble des axiomes retenus par David HILBERT pour définir la structure du plan sans avoir recours à l'intuition sensible comme l'avait fait Euclide.

La référence sur ce travail est-elle bien "Sur l'axiome de Pasch considéré comme axiome d'espace."
C. R. Acad. Sci. Paris 230, (1950). 1996--1997. ?

[inviteb47fe896]

Non, il s'agit de l'axiome faisant partie des 23 axiomes de HILBERT pour la définition de la structure de plan en géométrie ; il est classé dans les axiomes qui qualifient " l'Ordre ".
J'ignore le travail consacré à l'axiome d'espace dont la référence est donnée dans votre post.

[edpiste]

Ma question, c'était : où avez-vous publié vos travaux ? (que je puisse jeter un oeil, je suis intrigué)

[inviteb47fe896]

Mes travaux n'ont jamais été publiés ; mais c'est une longue histoire. Vous pouvez trouver la démonstration de l'axiome de Pasch, incluse dans toute une théorie, sur le site "Euclide élucidé" .