caractère de la représentation d'un groupe fini.

[La Limule]

Bonjour,
J'ai bien compris que pour un groupe fini G et une représentation
le caractère de la représentation est donné par la trace des .
A priori ces valeurs peuvent etre positives, nulles ou négatives.
J'aimerais faire le lien avec la définition des catactères donné dans ce lien:
https://math.mit.edu/~drew/Arithmeti...ctureNotes.pdf
Il y est redit que c'est bien une application de G dans Z mais
qu'on a dans la preuve du théorème de Gassmann:
χH (σ) := #{Hτ ∈ H\G : Hτσ = Hτ}.
Si le dieze est bien un comptage comment pourrait on avoir un résultat négatif?
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[La Limule]

Quelqu'un voit il le rapport avec une somme de valeurs sur la diagonale de la matrice associée dans la représantation?

[MissJenny]

A priori ces valeurs peuvent etre positives, nulles ou négatives.

ça peut aussi être des nombres complexes par exemple. Si c'est des entiers pourquoi ne seraient-ils pas positifs?

[GBZM]

Bonjour,
Il s'agit ici d'une représentation par permutations, la matrice associée à un élément du groupe est une matrice de permutation. La trace de cette matrice est le nombre de points fixes de la permutation, c'est donc un entier naturel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[La Limule]

Merci,
C'est tout a fait ca. j'avais d'abord cru qu'il y avait une définition générale des caractéres ce qui n'est pas le cas.
En fait ce qui m'intéresse c'est la preuve du théorème de Gassmann.
On passe d'abord pour un donné du nombre d'éléments de sa classe de conjugaison qui sont dans le sous groupe H,
en le multipliant par (cardinal du centralisateur de )
Jusque la ca va.
on a ensuite une seconde égalité qui dit qu'on a le meme cardinal que

c'est une histoire de stabilisation mais elle m'échappe....
merci pour votre aide.

[GBZM]

Mais ça rentre bien dans la définition générale du caractère pour une représentation linéaire de groupe !
Ce caractère est bien la trace de l'image par un morphisme à valeurs dans un groupe linéaire.

[La Limule]

J'ai enfin compris la démonstration du théoème de Gassmann.
Tout d'abord une remarque sur les notations:
Dire que que deux représentations d'un groupe sont Gassmann équivalentes c'est une autre facon de dire
qu'elles sont presque conjuguées. (c'est dit dans l'article).
Etant donné un groupe fini G et un sous groupe H, on va assoncier deux fonctions de Comptage dont la variable est
un élément du groupe G:
le caractère de la représentation des et la fonction qui indique combien d'éléments de la classe de conjugaison de
sont dans H.
Et le théorème montre qu'ils sont proportionnels.
On a alors pout deux représentations égalité pour la 1ere ssi on a égalité pour la 2nde
Presque conjugaison ssi memes traces.
il y a deux points un peu délicat:
prinons et c commutant avec
alors le produit de c par son invers inv(c) est l'identité qu'on peut faire apparaitre dans la formule

comme c commute avec sigma on peut le faire apparaitre a coté de tau
Pour une meme classe d'équivalence on a ainsi autant d'écritures que d'éléments dans le centralisateur.
deuxieme point:
avec
on a
Si on fait agir ces deux éléments sur H on a

mais comme h est dans le sous groupe H alors H h = h
donc
expression qui apparait dans la définition du caractère.
l'élément de proportionalité est ainsi le cardinal du centralisateut divisé par celui de H.
j'espère qu'il n'y a pas de faute de frappe.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Tu peux en déduire le résultat à partir du paragraphe intitulé : Caractère, figurant sur le lien suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C...un_groupe_fini

Cordialement.

[La Limule]

Merci pour ce lien.
Je n'étais pas tombé dessus.