Théorie des groupes.

[Anonyme007]

Bonjour,

Soient et deux groupes simples.
Soit un morphisme de groupes.
Comment montrer que est un isomorphisme de groupes ?

Merci d'avance.
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[Anonyme007]

- Si est simple, alors, qui est un sous groupe de , ne peut pas être égale à , sinon, est constante, ce qui n'est pas le cas, d'où, , et donc, est injective.
- Si est simple, alors, , est une sous groupe de , qui ne peut pas être égal à , sinon, est constante, ce qui n¡est pas le cas, d'où, , et donc, est surjective.

Conclusion,
- Si et sont simples, alors, est un isomorphisme.

[GBZM]

Bonjour,
L'image d'un morphisme de groupes n'est pas un sous-groupe distingué. Le morphisme n'est pas nécessairement surjectif.

[Anonyme007]

Bonjour GBZM,

Merci pour ta réponse.
Pourquoi faut-il que, soit distingué dans ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

parce qu'un groupe simple peut avoir des sous-groupes propres mais pas de sous-groupe distingué propre.