famille orhonormale de fonctions sur le segment [0 1]

[La Limule]

Bien vu ggo.
Il y a eu une erreur de frappe dans mon dernier post. je m'étais inspiré de la formule de résartus dans laquelle il y avait un pi
qui ne m'était pas nécessaire.
Connes indique que l'on a indifféremment N fonctions orthonormée sur le segment [0 1] ayan toutes fn(0) = fn (1) (que j'ao choisi
d'etre nulles) ou de manière équivalente en identifiant les extrémités du segment,
des fonctions orthonotmées sur le cercle de périmetre 1 centré a l'origine et prenant les memes valeurs
pour les angles theta = 0 et théta = 2 pi.
Ma formule rectifiée devient donc
Quand theta prend les valers nulle ou 2pi elle prennent toures la meme valeur1
on aurait eu la valeur 0 en leur soustrayant 1 a toutes.
je disais que ca me faisait penser au transformation de Fourier (la formule n'en est pas une)
et posait la question des transformations de Fourier des mesures en me demandant ce que devenait la mesure
de comptage avec cette TF.

Aux modérateurs: Serait il possible de supprimer le post précédant la réponse de ggo ? et éventuellement sa réponse? merci
-----

[La Limule]

Pour etre plus précis les fonctions que j'ai données fn = exp (i n theta) ont la meme norme
mais il faut les renotmaliser pour avoir l'orthonomalité
Pour avoir le carré de la norme d'un fn il faut calculer
soit
que est égal a 2 pi
le carré de la norme etant 2pi il faur normaliser les fn en les divisant par racice de 2 pi.

[La Limule]

https://www2.math.upenn.edu/~deturck/m426/notes02.pdf
ca parle des ces fonctions sur le cercle , du segmen [0 1]
et d'espace de Hilbert séparable pour ces fonctions.
et de transformations de Fourier

[La Limule]

Nous avons donc
1) une espace de Hilbert des suites de carré sommables qui sont des éléments de
et dont une base est celles de suites nulles partout sur N saut
pour un entier unique ou la valeur est égale à 1.
2) l'expace de hilbert dont la base est formée de la familles orthonormée
des fonctions sur le cercle de périmètre 1.
Elles s'écrivent (je n'écris pas le terme avec la racine de pi)

Ces deux bases ont le meme cardinal, celui de N
En prenant un vecteur f du second, on peut voir sa décomposition sur
la base hilbertienne en formant <f,f_n>
C'est
On voir ainsi apparaire une correspondence entre les deux base via
les coefficients de Fourier.

On peut alors identifier ces deux espaces de Hilbert séparable:
https://planetmath.org/classificationofhilbertspaces
en prenant la classe déquivalences des espaces de Hilbert dont les bases ont meme cardinalité.

C'est dans cet espace appelé petit l2 unique pour lequel Alain Connes dit
qu'il y a des opérateurs discrets et continus qui opérent sur lui.
Il ajoute et j'aimerais qu'on en parle que
si on a une base ou un opérateur est diagonal (il donne l'exemple
diag(1, 1/2, 1/3 .....) alors les opérateurs a spectre continu (comme la mutiplication par theta) ne sont pas diagonaux et ne commutent pas avec les discrets.

[La Limule]

Alain Connes propose deux opérateurs
le permier a rapport aux suites de carré sommable:
(z1 z2 z3 z4 etc) a pour image
(z1 z2/2 z3/3 z4/4 etc)
cer opérateur est diagonal

le secont opère sur les fonctions de carré sommables sur le cercle de périmetre 1:
il utilise un opérateur multiplication
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_operator
qui multiplie toutes les fonctions de la seconde base de Hlibert des fonctions de theta en les mutipliant par la fonction
dafinie sur [0 2pi[ qui est la fonction identité sur ce secment.
par exemple en 0 tours les fonctions deviennent nulles et en pi elles son multipliées par pi.
Alain Connes dit que ces opérateurs ne commutent pas.

Regardez ces diagrammes carrés
https://fr.wikipedia.org/wiki/Diagramme_commutatif
les deux fleches verticales seraient ces deux opérateurs et la fleche horisontale la transformation de Fourier.
Avec les deux opétateurs donnés on n'a pas un diacramme comutatif. la transformation de Fourier n'entrelace pas les dex opérateurs.
N'est ce pas dans ce sens que l'on peut comprendre l'affirmation de non commutativité?

[ThM55]

Les fonctions de peuvent être considérées comme des fonctions périodiques. On peut les écrire comme des séries de Fourier avec des coefficient complexes :

(avec si je veux une fonction réelle ).

Si on intègre sur l'intervalle, les relations d'orthogonalité donnent quelque chose comme , (cas réel) ce qui établit l'équivalence avec .

Quel sens donner au commutateur des opérateurs qui n'agissent pas sur le même espace? Je ne vois qu'une possibilité, appliquer la transformation à l'opérateur de multiplication et voir ce qu'il donne dans l^2. Mon intuition me suggère une sorte de produit de convolution. Vérifions:

Si dans l'intervalle on multiplie f par x, on a la fonction . Je présume que dans l'esprit de Connes, on est toujours dans le cas de figure d'une fonction périodique? En somme on multiplie par une fonction triangulaire périodique. Dans ce cas la série, avec des coefficient devient



Pour m et n égaux, l'intégrale vaut . Si m-n=k entier, on peut passer par la primitive: (ce qu'on peut vérifier immédiatement en dérivant). Entre 0 et 2pi, ce n'est plus zéro: on obtient (sauf erreur) .

On trouve donc en fonction des par une espèce de grande matrice qui combine tous les avec toutefois des coefficients en 1/(n-m), donc qui décroissent. Effectivement une sorte de produit de convolution. A voir si cela converge, mais je pense que oui, on est toujours dans le cadre des séries de Fourier.

Mais l'exemple de Connes pour l'opérateur 1 est donné par une matrice diagonale dont les éléments sont distinctes. Il y a de fortes chances que cela ne commute pas avec ma matrice de l'opérateur 2 dans . Prenons un exemple simple avec des matrices 2x2:





Deux résultats différents, donc une matrice diagonale n'est pas forcément dans le centre de l'algèbre des matrices.

Excuse moi, mais je trouve tout cela sans grand intérêt. Je n'arrive pas à comprendre en quoi il est intéressant de constater quelque chose de si évident que deux opérateurs ne commutent pas, et d'obscurcir cette évidence dans des transformations de Fourier. J'ai pris la peine cette fois d'essayer de répondre de manière circonstanciée (en négligeant les détails de convergence et de conditions mathématiques car je n'ai pas le temps) juste pour montrer à quel point je trouve tout cela sinon trivial, du moins banal et inutilement obscurci. J'ai horreur de tout ce qui obscurcit les choses simples, en anglais on appelle cela "obfuscation" et "bullshit".

[MissJenny]

Alain Connes dit que ces opérateurs ne commutent pas.


Avec les deux opérateurs donnés on n'a pas un diagramme commutatif.

c'est pas la même chose.

[La Limule]

Quand on a deux espaces de Hilbert séparables dont les bases ont meme cardinalité (celle de N)
ils sont isométriquement isomorphes et on peut consiserer leur classe d'équvalence
Cmment définir un commutateur sur une classe d'équivalence d'espaces de Hilbert différents au départ?

[MissJenny]

Tu parles de commutateur au sens de la théorie des groupes?

[La Limule]

Ce que j'aimerais c'est montrer que cette classe d'équivalence est bien un espace de Hilbert
sur lequel on a des opérateurs A et B pour lequel les produits AB et BA ont un sens.
en reprenant les éxemples précédents (A agissant sur les fonctions sur le cercle et B sur les suites de complexes)

[ThM55]

Ce que j'aimerais c'est montrer que cette classe d'équivalence est bien un espace de Hilbert
sur lequel on a des opérateurs A et B pour lequel les produits AB et BA ont un sens.
en reprenant les éxemples précédents (A agissant sur les fonctions sur le cercle et B sur les suites de complexes)

J'ai expliqué comment dans mon message #36. J'ai proposé une méthode; on a une classe d'équivalence, OK, mais pour être concret on prend un représentant de cette classe. J'ai choisi l^2 (les suites complexes de carré sommable) et j'ai ramené les deux opérateurs dans ce représentant. J'aurais pu faire l'inverse, ramener tout à L^2[0,2pi]. Je te propose d'ailleurs de faire l'exercice: comment se représente là l'opérateur diagonal défini par Connes sur l^2 (z_i-> z_i/i)?

 Cliquez pour afficher

peut-être une intégration?

. Sans tout ramener à un représentant de la classe, comment veux-tu résoudre ton problème? Je ne comprends pas.

[MissJenny]

en reprenant les éxemples précédents (A agissant sur les fonctions sur le cercle et B sur les suites de complexes)

si je comprends bien tu veux composer deux applications, l'une de E dans E l'autre de F dans F (car le produit est ici la composition (?))

ce que tu peux faire c'est choisir un isomorphisme, disons u, entre E et F (mais il n'y a pas de choix canonique) et si tu as des applications f: E -> E et g : F -> F prendre la composée guf (ce sera une application de E dans F) ou bien u^(-1)guf (de E dans E)

[La Limule]

@missjenny
avec tes g u f et celui dans l'autre sens, ca commence à ressember aux diagramme carrés dont je parlais dans le post 35.

je rappelle quand meme que je ne veux rien construire du tout, juste comprendre ce que dit Alain Connes, qu'il y a un selt espace de Hilbert séparable (dont la base est de cardinalité N) sur lequel peuvent agir des opérateurs diagnonaux et d'autres continus qui ne commutent pas.
je cherche une construction rigoureuse de tout cà en le faisant pas a pas avec des définitions et des théoremes.

[La Limule]

Je regrette que Missjenny soit la seule des habituées de ce forum de maths qui continue a paticiciper.
(thm55 est plutot du coté forum de physique)
ca fait un moment que ggo n'est plus là. gbzm c'est pas son truc etc

Alain Connes est un mathématicien et ca ne vaut pas le coup d'essayer de comprendre de quoi il parle?

je reviens au probleme
quand on a l'opérateur diag(1 1/2 1/3 etc) qui agit sur les suites de complexes, cer opétateur a un sens
en agissant sur des combinaisons de la famille orthonormale des fonctions de theta
ca donne f1(theta) + (f2(theta))/2 + (f3(theta))/3 etc
mais pour l'opéteut multiplication par théta que donne t il appliqué aux suites de carré sommables ou aucune rérérence
a des angles n'existe?
peut etre la TF de son action?

[gg0]

Non, je suis toujours là, mais je ne réponds pas faute de comprendre de quoi tu parles. Il est vrai que je ne suis pas un spécialiste des espaces fonctionnels, mais j'ai une petite culture mathématique. Et elle me conduit à penser que tu continues à mélanger. De plus, je ne connais pas le texte de Connes dont tu parles; peut-être une référence exhaustive éclaircirait-elle la question.

Cordialement.

[La Limule]

merci pour ton interet

on trouve difficilement des textes sur ce sujet vu le niveau ou il en est actuellement
ii y a surtout des videos grand public
je vais chercher des pdf
mais écoute les 5 minutes de vidéo que j'ai indiqué vers le début de ce fil

[gg0]

Dans cette vidéo, Connes parle pour des gens qui connaissent les notions, et pour qui dire "il n'y a qu'un seul espace de Hilbert" a un sens technique. Soit parce qu'ils sont matheux, et ont l'habitude de raisonner à isomorphisme près, soit parce qu'ils utilisent ces espaces de Hilbert (oui, il y en a un seul, mais il y en a plusieurs) avec l'habitude de passer d'une représentation à l'autre, exactement comme les physiciens classiques passaient d'un raisonnement newtonien en termes de forces à un raisonnement hamiltonien en termes d'énergie. Et on en revient à ce que je te disais dans le message #8. Tu ne pourras pas faire l'économie d'apprendre la théorie spectrale.
Tu peux bien sûr continuer à poser des questions mal foutues, mais ça ne te fera pas avancer.

[La Limule]

J'ai trouvé un pdf ou il donne un autre exemple que les fonctions sur le cercle S1
je le mettrai en ligne demain
et j'en arreterai là avec mes questions si ce pdf ne produit aucun commentaire.

[MissJenny]

Alain Connes est un mathématicien et ca ne vaut pas le coup d'essayer de comprendre de quoi il parle?

J'ai visionné plusieurs de ses vidéos (pas lu ses articles auxquels je ne comprendrais sûrement rien) et j'en ai retenu que s'il est un grand mathématicien, il n'est pas un très bon vulgarisateur. Il parle par métaphores et je ne les trouve pas très éclairantes.

[La Limule]

Je ne suis donc pas sur qu'un nieme pdf ou une autre conférence serait utile (tu les a sans doute suivies.
j'ai remarqué que dès qu'on cite Connes les insultes pleuvent (voir les bullshits de thm55) ou les reproches comme le fait g00
en parlant de mes questions mal foutues. et ca se termine inlassablement par un "fais les choses dans l'ordre, potasse un bon cours de
ceci ou cela.

je pense qu'il est hors de question de comprendre suivre bien loin Connes dans des fonctionctions sur la sphere a valeur matricielles et
autres joyeusetés mais qu'on a un probleme abordable ici en s'y mettant.

Prenons par exemple deux espaces de Hlibert séparables (meme cardinalité de leus bases - celle de N)
ils concernent des choses tres différentes (on l'a vu dans des exemples)
Connes appelle les opérateurs autoajoins des des variables
et il dit qu'elles peuvent comuter ou pas.
thm55 avec ses matrices 2*2 les multipliait dans les deux sens et comparait les résultats.
je veux bien mais qu'est ce qui l'autorise (on a 2 espaces différents
On est sur un forum de maths et on est juste 3 ou 4 ?

je repose donc la question (bien foutue?) que peut signifier deux opérateurs sur deux espaces de Hilbert qui commutent ou pas?

[MissJenny]

on t'a déjà dit qu'on ne pouvait pas composer deux opérateurs (ou deux de manière générale applications), l'un de E dans E, l'autre de F dans F. Ca n'a pas de signification mathématique. Donc je pense que tu n'as pas compris ce que disait Alain Connes (mais comme je l'indiquais plus haut, il est très elliptique dans ses vidéos et c'est normal que tu ne comprennes pas tout).

[La Limule]

Qui dans ce forum de matheux est capable de comprendre ce que dit Alain Connes sur ce point précis?
Il n'y a pas un modérateur ou ou autre qui aurait un collégue ou l'ami d'un ami qui....
c'est quoi le conseil? de renoncer ?

[La Limule]

je vais redonnet ce lien
https://planetmath.org/classificationofhilbertspaces
il dit que quand deux esppaces de Hilbert séparables différents ont des bases hilbert de meme cardinalire (N)
alors ils sont isométriquement isomorphes comme espaces de Hilbert.
Ca permet de transporter un opérateur de l'un vers l'autre
et dans notre cas par une transformation de Fourier et on peut parler de commutation ou pas.

[MissJenny]

Ca permet de transporter un opérateur de l'un vers l'autre

c'est ce que je proposais au message 42. Tu choisis un isomorphisme et tu "transportes" l'un des deux opérateurs (la formule avec u et son inverse u^-1).

ensuite que deux opérateurs ne commutent pas n'a rien de surprenant. On sait bien que les anneaux de matrices ne sont pas commutatifs et il en est de même en dimension infinie.

[La Limule]

Oui et dans le message suivant j'écrivais que ca ressemblait beaucoup aux diagrammes carrés (qui permettent le transport.

Merci beaucoup pour tes idées et la constance de ton intéret.
Je vais m'en tenir là , en ayant l'impression d'avoir un truc ou deux sur le discret et le continu.

j'avais promis de mettre une autre conférence de Connes:
les voici:
https://www.google.com/search?q=alai...mWSR52UFI,st:0
c'est vers la toute fin qu'il y a la fonction sur S2 (pas sur le cercle) a valeur dans les matrices 2x2
merci a tous.