famille orhonormale de fonctions sur le segment [0 1]

[La Limule]

Bonjour,

j'aimerais trouver une famille dénombrable de fonctions à valeurs réelles ou complexes, continues sur le segment
[0 1] qui s'annulent en 0 et 1. Et ces fonctions devraient etre orthonormaux
(la mesure mu doit elle etre précisée?)

Le but serait que ces vecteurx forment une base hilbertienne de l'espace de Hilbert
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[Resartus]

Bonjour,
Les plus classiques sont les sin(n.pi.x) (n>0)

[stefjm]

ou en complexe : (-1)^(n*x) , n>0

[albanxiii]

Bonjour,

Orthogonales pour quel produit scalaire ? et dans quel espace ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[La Limule]

je l'ai brièvement indiqué en fin de mon premier post:
l'espace hilbertien séparable petit celui que dans le wiki anglais ils appellent THE hilbert space

[gg0]

Bonjour.

Peux-tu rappeler ce qu'est cet espace hilbertien ? Ses éléments, son produit scalaire hilbertien, ...

Cordialement.

[La Limule]

Merci pout ton attention ggo,
je vais essayer de collecter plusieurs sur cet espace.
Dans
https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Hilbert
on peut lire ceci:

Dans un espace de Hilbert de dimension infinie, le concept habituel de base est remplacé par celui de base hilbertienne (ou base de Hilbert) qui permet, non plus de décrire un vecteur par ses coordonnées, mais de l'approcher par une suite infinie de vecteurs ayant chacun des coordonnées finies. On est donc au confluent de l'algèbre linéaire et de la topologie.

Deux espaces de Hilbert admettant des bases hilbertiennes équipotentes sont isométriquement isomorphes, autrement dit : tout espace de Hilbert de base hilbertienne X est isomorphe à ℓ2(X). Par exemple : tout espace de Hilbert séparable (et de dimension infinie) est isomorphe à ℓ2(ℕ) = ℓ2. Le théorème de Riesz-Fischer peut également être vu comme un cas particulier de ce résultat.
Réciproquement, deux bases hilbertiennes d'un même espace de Hilbert ont même cardinalité

Je parle donc de cet espace de Hilbert unique (à isomorphisme près) a base dénombrable noté


Le wiki anglais en parle aussi:
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space
on y lit aussi :

An element of a Hilbert space can be uniquely specified by its coordinates with respect to an orthonormal basis, in analogy with Cartesian coordinates in classical geometry. When this basis is countably infinite, it allows identifying the Hilbert space with the space of the infinite sequences that are square-summable. The latter space is often in the older literature referred to as THE Hilbert space.

A propos de cette unicité Alain Connes fait remarquer que cet espace contient des séquences de nobres définies sur N, mais aussi (à isomorhilsme pres) des fonctions définies sur le segment [0 1] nulles en 0 et 1 qui en forment une
base de Hilbertienne (donc orthormale)
Je cherche donc une telle famille dénombrable.
merci

[gg0]

Problème : tes fonctions ne sont pas dans ton l2. À isomorphisme près concerne les espaces, pas leurs éléments.
Donc la méthode est simple : tu utilises l'isomorphisme pour avoir la base hilbertienne (et le produit scalaire) que tu veux.

Bon travail !

[La Limule]

Ca a l'air d'etre la morte saison sur le forum (les vacances ?)

Il y a un problème dans ta réponse:
Il avait été rappelé que si deux espaces de Hilbert sont base dénombrable, alors ils sont isométriquement isomprphes.
Donc quand les produits scalaires et les bases sont données.
On ne peut se servir d'un tel isomorphisme pour avoir la base hilbertienne (et le produit scalaire)

Mon point de départ était de consiérer un seul espace de Hilbert séparable donc avec un produit scalaire et une base dénombrable
qui était celui des suites l^2 (N) et de construire une autre base hilbertienne utilisant des fonctions sur [0 1]
L'idée de Resartus avec les sin (n pi x) me semblait bonne mais il me semble qu'alors il faut deux produts scalaires différents
un premier pour normer ces fonctions et voir si elles sont orthogonales et un autre celui de départ avec les suites
donnant le produit scalaire sur les combinaisons linéaires (étendues) de telles fonctions

[MissJenny]

bonjour, tu n'as pas beaucoup de réponses parce qu'on ne voit pas ce que tu veux faire. Tu veux construire un produit scalaire sur un espace de fonctions?

[gg0]

Bonjour Lalimule.

Je ne comprends pas pourquoi tu veux construire une base orthonormale d'un hilbert avec des objets qui ne sont pas dedans; ça n'a pas de sens.
Soit tu es dans l'espace des suites, et les bases sont des familles de suites, soit tu es dans un espace de fonctions nulles en 0 et 1, et les bases sont des familles de fonctions nulles en 0 et 1. Mais une base de l'un n'est pas une base de l'autre, évidemment.

Cordialement.

[ThM55]

Ce que tu veux faire, c'est expliciter l'isomorphisme entre et , avec les définitions:


: espace des suites complexes x_n telles que converge, avec le produit hermitien

et

: espace des fonctions de carré sommable sur [0,1], avec le produit hermitien .


Ce sont bien deux espaces de Hilbert différents: ils sont définis différemment. Ils sont toutefois isomorphes mais cela doit se prouver et il faut pour cela expliciter l'isomorphisme. J'imagine qu'il doit probablement exister des démonstrations abstraites non constructives, ce qui permettrait de parler de "l'espace hilbertien séparable", mais ce serait plus utile pour les applications de le faire explicitement. Après tout on n'a pas défini les espaces de Hilbert pour décorer le paysage mathématique, mais bien pour résoudre des problèmes.

Déjà pour commencer il faut démontrer qu'ils sont complets pour la norme, donc que ce sont bien des espaces de Hilbert. Pour , ce n'est pas compliqué, c'est un exercice sur les séries. C'est plus compliqué pour . Mais admettons (personnellement je trouve que le plus simple est d'étendre la définition aux distributions, tout devient très aisé dans ce cas et la théorie des distributions est assez connue des physiciens et en maths appliquées).

Pour montrer l'isomorphisme, il faut trouver une application linéaire qui conserve le produit hermitien et la norme. C'est une théorie très classique, celle des séries et transformations de Fourier. Si j'envisage cela du point de vue du physicien quantique, dans L^2 on décrit la fonction d'onde d'une particule dans un puits de potentiel infini dans la base des coordonnées (càd de l'abscisse qui est continue) et dans l^2 on décrit la même chose dans la base des impulsions (qui sont quantifiées, donc dicrètes).

[MissJenny]

: espace des fonctions de carré sommable sur [0,1], avec le produit hermitien .

plus précisément : espace des classes d'équivalence de fonctions, puisqu'il faut quotienter par les fonctions presque partout nulles.

Pour montrer l'isomorphisme, il faut trouver une application linéaire qui conserve le produit hermitien et la norme.

il suffit d'ordonner les élements des deux bases, non? c'est en tout cas l'esprit de la remarque d'Alain Connes. Maintenant, comment les ordonner?

[La Limule]

MissJenny a raison de citer Alain Connes à propos de cet espace unique l2
Ecoutez les minutes 31 32 et 33 de cette video
https://www.youtube.com/watch?v=FWAyAl7GL1c
ThM55 doit connaitre ce passage puisqu'il a participé sur fs physique à un post sur le sujet.

[MissJenny]

j'ai regardé la video et ce qu'il dit est trop difficile pour moi. Il parle par allusions, c'est dommage qu'il ne pose pas les problèmes d'une façon plus précise. Par exemple il dit que si les opérateurs "multiplication par X" et "multiplication par 1/n" commutaient on pourrait diagonaliser... quoi au juste? et c'est une phrase que je ne comprends pas. Il a l'air de penser que son public devrait le comprendre mais bon...

[La Limule]

En mécanique quantique c'est important de savoir si des grandeux physiques sont sont
associées a des des opérateurs qui commutent ou pas. par exemple la position x est associée à
l'opérateur multiplication par x dont il parle et l'implusion a un rappont avec la dérivée d/dx
On sait que ces opérateurs ne commutent pas, que si on les utilise ensemble il faut préciser dans quel ordre ils agissens
S'ils commutaint on pourrait les diagonaliser (dans une meme base)
c'est de ça qu'il parlse avec ses x et 1/n.

[ThM55]

@MissJeny: j'envisage les éléments de L^2 comme des distributions.

@La Limule: tu sembles insister lourdement sur l'isomorphisme des espaces de Hilbert séparables avec . Mais je vois que tu parles ensuite de mécanique quantique. En mécanique quantique, il n'y a pas que la structure d'espace de Hilbert, il y a d'autres structures qui s'ajoutent. Elles sont peut-être même plus importantes. Notamment, comme tu le mentionnes, les opérateurs. En particulier le hamiltonien.

En théorie quantique des champs, il y a la structure d'espace de Fock, qu'on peut définir simplement comme une suite infinie d'espaces de Hilbert pour n=0,1,2,... . Si je considère des éléments dans chaque espace de Hilbert (considérant $f_0$ comme un simple nombre complexe) et je contruis de grands vecteurs



tels que



où est la norme dans et le produit hermitien défini de manière évidente comme une série, on obtient un espace de Hilbert séparable. Mais quel intérêt aurait-on à formuler l'isomorphisme de cet espace avec ??? Aucun, on perdrait toute la structure interne de l'espace de Fock, qui s'est avérée tellement utile en théorie des champs, en particulier pour permettre de formaliser la création et l'annihilation de particules. C'est une question vraiment sans intérêt. L'espace $l^2$ est un prototype pédagogique simple d'espace de Hilbert pour lequel la complétude est une conséquence immédiate de la complétude de , il n'a pas un grand intérêt en physique quantique.

A côté de cela il y a aussi des espaces de Hilbert non séparables et même dont la dimension est de cardinal supérieur (le vocable "séparable" est très malheureux, car il est utilisé aussi en topologie avec un sens complètement différent, mais c'est la tradition). Selon Streater et Wightman, ils ne devraient jouer aucun rôle en théorie quantique des champs, mais je sais que certains chercheurs les ont considérés dans le passé.

[La Limule]

Je viens de lire cet article
https://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_sommable
sur les fonctions de carré sommable et j'y trouvé des choses intéressantes.
En particulier que joue la notion d'espace mesuré avant meme qu'on parle de produit scalaire.
Et que quand on a deux fonctions de carré sommables f(x) et g(x) alors l'intégrale de f(x) g(x) pour la mesure mu est bien définie.
ce qui permet d'introduire une notion de produit scalaire.

[La Limule]

Je me pose une quetion:
Qand ce produit scalaire est défini, ca permet de de définir une semi norme ou une norme
je lis ensuite que lorsqu'on a alors une suite de Cauchy de fonctions de carré sommables il y a convergence en moyenne quadratique
c'est a dire un certain type de convergence vers une certaine fonction f a carré sommable.
il ne semble pas qu'a un moment donné on se dise qu'ayant un objet topologique et qu'on lui ajoute des poins d'accumulation et
que ces points son a carré sommable.
Pouvez vous m'éclairer?
Bonne fin de week end a tous.

[gg0]

Bonsoir.

"il ne semble pas qu'à un moment donné on se dise qu'ayant un objet topologique et qu'on lui ajoute des points d'accumulation et que ces points sont à carré sommable."
Non, on ne se le dit pas, on n'en a pas besoin. On n'est pas dans une situation de complétion.

Pour les suites de fonctions, il y a différents types de convergence, utiles dans différentes situations.

Cordialement.

[La Limule]

C'est vrai qu'on a la convergence en moyenne quadratique, la convergence mononore, la convergence dominée.
Il y en a une que est jolie avec son échange entre lim et int: lim int = int lim.

[gg0]

Il ne faut pas mélanger "modes de convergence" (simple, absolue, en moyenne quadratique, dite aussi L2, normale, ...) avec les théorèmes qui assurent la convergence comme le traditionnel "théorème de convergence dominée" ou celui sur la "convergence monotone".
Dans un cours d'analyse fonctionnelle, tout ça est expliqué clairement. Picorer sur Internet peut amener à faire le même mélange que les IA actuelles.

Cordialement.

[La Limule]

Il y a effictivement de tres bon cours sur le sujer.
Quand j'étais étudiant (il y a plus de 50 ans),
j'aimais beaucoup ceux de Roger Godement ches Hermann.
C'était en plus un homme engagé dans la vie citoyenne.

[MissJenny]

A côté de cela il y a aussi des espaces de Hilbert non séparables et même dont la dimension est de cardinal supérieur (le vocable "séparable" est très malheureux, car il est utilisé aussi en topologie avec un sens complètement différent, mais c'est la tradition).

quelle est la différence entre les deux sens du mot "séparable" ? Je pensais que dans les deux cas il s'agissait de topologies à base dénombrable d'ouverts.

[La Limule]

Sur séparabilité er caractere dénombrable on peut lire:
https://www.ljll.fr/smets/MM005/MM005_Chapitre_2.pdf

[gg0]

Quand on lit bien la 2.4 de ce document, on voit que la séparabilité est le fait d'avoir parmi les fonctions considérées la possibilité d'avoir des valeurs différentes en un même point. Ce n'est pas une question de voisinages (séparabilité topologique).

Cordialement.

[La Limule]

Le pdf dont j'ai donné le lien vers le chapitre 2 fait partie d'une assez longue série de chapitres.
pm42 dans le forum informatique m'en a fourni la liste:
https://www.ljll.fr/smets/MM005/
si un chapitre vous intéresse vous changez simplement le numéro de chapitre dans le lien.

[La Limule]

Il est encore plus simple de cliquer dans la liste sur le chapitre désiré.
Je m'étais posé la question de la complétude des fonctions L2 une fois le produit scalaire donné.
Cette question est traitée dans le chapitre 4.

[La Limule]

Resartus était sur la bonne voie pour les fonctions orthonormées sur le cercle S1 ou le segment [0 1] avec ses sin pi n theta.
J'ai pensé aux fonctions
en multipliant par le conjugué on voit qu'on va avoir une normalisation aisé (ca ne dépend pas de l'angle

On prend la primitive et on prend la différence de ses valeurs en 0 et 2 Pi ce qui donne 0.
Ca fait beaucoup penser à une transformation de Fourier.
Alain Connes propose pour le coté discret des suites de carré intégrables sur N dans sa vidéo
donc avec la mesure de comptage,
et pour le coté continu des fonctions sur le cercle S1
On peut faire des transformées de Fourier pour des mesures. serait ce le cas ici avec la mesure de comtage?

[gg0]

Bonsoir.

Tu as changé de sujet ? Rappel du message #1 : "j'aimerais trouver une famille dénombrable de fonctions à valeurs réelles ou complexes, continues sur le segment [0 1] qui s'annulent en 0 et 1.".

Cordialement.