"Fonction fixe" d'un opérateur intégral

[coussin]

Bonjour à tous.

Étant donné un opérateur intégral, est-il possible de déterminer ses "fonctions fixes" (telles que la transformée d'une certaine fonction est un multiple de cette même fonction) ?
À titre d'exemple, probablement le plus célèbre opérateur intégral est la transformée de Fourier et ses "fonctions fixes" sont les Gaussiennes (la TF d'une Gaussienne est une Gaussienne).

Merci d'avance.
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[MissJenny]

telles que la transformée d'une certaine fonction est un multiple de cette même fonction) ?

donc plutôt des vecteurs propres que des points fixes (?)

[coussin]

Oui, j'imagine qu'on peut parler des vecteurs propres. Je ne sais pas...

[MissJenny]

ce théorème a l'air de parler de ton problème (mais je n'y connais rien...) : https://en.wikipedia.org/wiki/Fredholm%27s_theorem

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Oui, ça s'en rapproche.
Mon problème est effectivement de trouver les solutions apparaissant dans la partie "Integral equations" de cette page Wikipedia pour un noyau donné...

[coussin]

J'ai trouvé cette page : https://en.wikipedia.org/wiki/Liouvi...Neumann_series
Mon problème semble être pour mais ça semble alors donner ?
De plus, dans mon cas n'est pas forcément petit...
Hmmm je continue à chercher...

[coussin]

J'ai trouvé cette page qui correspond à mon problème : https://math.stackexchange.com/quest...cases-anywhere
mais qui est restée sans réponse...
Ça n'augure rien de bon, il n'y a peut-être pas de manière de résoudre cette équation...

Pour mon application, je connais le noyau et je suis tombé "par hasard" sur une famille de fonctions qui sont "fixes" (dans le sens que je donne à ce terme). Je voulais vérifier via un théorème que ces fonctions sont belles et biens fixes...

[coussin]

En tout état de cause, merci MissJenny
Grâce à ta réponse, je sais maintenant qu'il faut que je cherche des termes du genre "homogeneous Fredholm integral equation" qui m'amène vers des pistes intéressantes.

[MissJenny]

ce que je connais de plus proche de ton problème est une équation qui se pose en démographie, où la fonction cherchée est la "pyramide des âges", le noyau est le taux fécondité par âge et on écrit que la pyramide évolue dans le temps sans chagement de forme (le coefficient de proportionnalité est juste le taux de croissance de la population). Comme le noyau est une fonction empirique, qui n'a pas d'expression mathématique, on "résoud" cette équation en postulant que la fonction cherchée est une somme d'exponentielles dont on calcule les premiers termes (le tout premier terme donne le fameux paramètre R0 dont on a beaucoup parlé durant la pandémie de covid). Tu pourrais t'inspirer de cette technique, mais peut-être et-ce loin de ce que tu recherches.

[stefjm]

Bonjour,
J'avais discuté de ce thème avec Miss Pacman (ou Mipama) à propos des vecteurs propres de la transformée de Fourier car je me demandais s'il y avait d'autres exemples comme la gaussienne, ou le peigne de dirac qui sont transformée l'une de l'autre en temps-fréquence.

Comme à son habitude, elle m'avait fait une réponse éclairante en me donnant des pistes, mais en me disant que c'était un problème difficile, voir ouvert.

Je n'arrive pas à retrouver le post en question.

[jacknicklaus]

Je n'arrive pas à retrouver le post en question.

si ca peut aider, "mipama" est maintenant "invite47ecce17" dans les posts du forum.

[stefjm]

Merci.
Je ne sais pas comment j'ai pu perdre le fil, j'avais mis un titre explicite.

La réponse en question : https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post5276767

Bonjour,
Il y a bien plus de points fixes pour la transformée de Fourier que ca. Si on normalise la transformée de Fourier pour qu'elle agisse par isométrie sur L²(X) (pour X=R^n), alors la formule de Plancherel assure que T^4=1, et donc (f+T(f)+T^2(f)+T^3(f)) est un point fixe de la transformée de Fourier pour toute fonction f de L².
PLus generalement, en utilisant le theoreme spectral (ou meme à la main!), on décompose L² en somme de 4 sous espaces propres donnés par l'adherence de sous espaces generés par les fonctions de Hermite.

et un lien vers Hermite functions as eigenfunctions of the Fourier transform

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermit...rier_transform

[MissJenny]

ah oui, c'est joli. Remarque que même en normalisant la transformée de Fourier, la question des points fixes n'épuise pas celle des vecteurs propres puisqu'on pourrait aussi avoir T(f) = -f