Curiosité mathématique

[Malefix]

Bonjour,

Voici une formule avec des exemples qui marchent pour de petites valeurs de n mais qui ne marchent ensuite plus, ce qui est très étrange. On recherche des nombres premiers. Je vais essayer d'expliquer le problème avec mes mots, j'espère que vous comprendrez j'ai un faible niveau.

Prenons comme borne supérieure 10, on a :

qui peut aussi s'écrire sous la forme où a et b sont des entiers naturels.
En remplaçant : (donc ici a=7381 et b=2520).

Il suffit ensuite de prendre la valeur de a et de la diviser par 10+1 et de mettre au carré ( ici donc). À noter que seules les valeurs égales à (p premier) doivent être utilisées. Ainsi ici p=11 et on prend 10.

Ainsi pour cet exemple on a :

qui est un nombre premier.

Un autre exemple, on prend 18 car rappelons qu'on doit prendre une valeur égale à p-1. Ici p=19.

qui peut aussi s'écrire sous la forme où a et b sont des entiers naturels.
En remplaçant : (donc ici a=14274301 et b=4084080).

Ainsi pour ce deuxième exemple on a :

qui est un nombre premier aussi.

Mais rapidement, en testant avec de plus grands nombres on s'aperçoit qu'il existe des contre-exemples. Mais cette formule reste tout de moins intriguante, peut-être que quelqu'un pourra la généraliser sur ce forum si possible et j'espère que vous avez compris mon vocabulaire, j'ai essayé de mettre des exemples numériques etc. pour y voir plus clair.
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[Malefix]

Le code wolframalpha du deuxième exemple : https://www.wolframalpha.com/input?i...2C+n%3D1+to+18

[gg0]

Bonjour.

Tu écris n'importe quoi !
[IMG]https://latex.futura-sciences.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Csum_%7Bn=1%7D%5 E%7B10%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D %7B10%7D=%5Cfrac%7B7381*%5Cpi% 7D%7B2520%7D[/IMG] est faux



Et vu ce que tu racontes, la présence de ne sert à rien !!

"j'espère que vous avez compris mon vocabulaire" !! Ton vocabulaire ne sert à rien puisqu'on ne sait pas d'où sortent ces nombres qui n'ont rien à voir avec ce que tu dis.

Donc tu peux reprendre ton premier message, en écrivant ce que tu fais, pas autre chose. Et en laissant tomber qui ne sert à rien (il se factorise dans la somme et tu l'oublies ensuite). Il ne reste plus que la somme des inverses des entiers de 1 jusqu'à n-1 où n est premier. Et même pour de très petits nombres (comme n=3 ou 5), on ne trouve pas un premier, mais 1.

Et aussi, plutôt que de parler dans le vague, regarde ce qui se passe vraiment. Y a-t-il une règle générale ? Car les hasards mathématiques, il y en a partout ...

Cordialement.

[MissJenny]

pour moi

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

MissJenny : clairement

[gg0]

Oui, j'étais mal réveillé ��
J'ai fait intervenir un n qui n'y était pas.

Par contre, il y a une vraie remarque bien cachée et Médiat va nous expliquer ça.

Cordialement.

[MissJenny]

mais on a bien

[gg0]

Oui c'est ce qui m'a amené à dire "il y a une vraie remarque bien cachée", qui est que les pour n premier semblent être souvent de la forme réduite avec pour p premier.

Cordialement.

[gg0]

Alors effectivement, a/n² n'est pas toujours premier, mais semble toujours entier, ce qui n'est pas une évidence. Comme n est premier, donc n'intervient pas dans la simplification, cela revient à se poser la question suivante :
Soit n un entier premier supérieur à 4 (*) et
(**)
S est-il toujours divisible par n² ?

Malefix, puisque tu as étudié la question, as-tu des contre exemples (tu en évoquais, mais peut-être seulement pour le fait que p soit premier) ?


(*) 2 et 3 ne conviennent pas.
(**) numérateur "brut" de la somme des inverses des entiers de 1 à n-1.

[Malefix]

@gg0 : on tombe rapidement sur un contre-exemple qui est obtenu avec p=41

On trouve alors a=2 078 178 381 193 813 et b=485 721 041 551 200.

Ainsi on a a/p^2 =2 078 178 381 193 813/41^2 = 1236275063173 et 1236275063173 n'est pas premier, contre-exemple donc.*

*Le code wolframalpha pour y voir plus clair : https://www.wolframalpha.com/input?i...2C+n%3D1+to+40

[Malefix]

Et effectivement pi ne sert à rien !*

Le nouveau lien pour p=41 sans pi : https://www.wolframalpha.com/input?i...2C+n%3D1+to+40

[gg0]

Donc il ne reste que la propriété classique (théorème de Wolstenholme) de divisibilité du numérateur de H(n-1) par n² quand n est premier. Que je ne connaissais pas.
Quant au fait que pour quelques valeurs le quotient est premier, ça ne semble pas obéir à une règle générale. Les suivants de 41 donnent un quotient composé jusqu'à 83, puis 97 redonne un quotient premier, etc.

Les nombres premiers ont été tellement étudiés depuis 2400 ans qu'il est difficile de trouver des nouveautés, surtout en se cantonnant aux petits nombres.

Cordialement.

[Malefix]

Merci gg0

J'ai de la facilité à trouver quelques formules car je suis curieux et je pense avoir une bonne facilité à analyser les nombres et leurs relations entre eux. Par contre quand il faut démontrer ces formules je ne sais plus le faire ! (Mon niveau en maths remonte à 2011 en terminale S).

Je ne connaissais pas ce théorème et il est hors de ma portée.

[stefjm]

Les nombres premiers ont été tellement étudiés depuis 2400 ans qu'il est difficile de trouver des nouveautés, surtout en se cantonnant aux petits nombres.

La série harmonique H(5)=137/60 sort le nombre premier 137 qui est déjà assez grand devant les précédents et suivant de la série.

Je découvre avec intérêt https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre...e_Wolstenholme