Est-ce une curiosité mathématique ?

[Malefix]

Bonjour à tous,

Je suis tombé sur ce qui semble-t-il être une curiosité mathématique, j'aimerais avoir votre avis, si c'est facilement démontrable etc.

On prend deux entiers et . On prend le reste de la division euclidienne de (n-1)+(n+1) par . Puis on divise ce reste par n-40.
À la fin on obtient une fraction du type a/b où a et b sont deux entiers. Quand l'entier a (le numérateur) se termine par 6 on lui soustrait 1 (pour obtenir un entier finissant par 5). Puis la décomposition en facteurs premiers de ce nouvel entier finissant par 5 fait toujours intervenir comme produit de facteurs premiers l'entier n-1 sans son dernier chiffre.

Je m'explique avec un exemple. Prenons n-1 = 25191611 et n+1 = 25191613. Le reste de la division euclidienne de (25191611+25191613) par est 50 383 224. On divise ensuite 50 383 224 par 25191612-40 = . Comme le numérateur se termine par 6 on lui soustrait 1 et on obtient l'entier 12595805. Or 12595805 = 2519161*5. C'est-à-dire l'entier n-1 (ou n+1) de départ sans son dernier chiffre.

Je me demande donc, est-ce une curiosité mathématique ou est-ce facilement démontrable ? Je n'en ai aucune idée.

Merci pour votre réponse.
-----

[Lil00]

Bonjour,
Je ne suis pas allée au bout du raisonnement, pour deux raisons.
La première, c'est quand on commence à me parler de (n-1)+(n+1), je pense que c'est exprès qu'on complique : ça fait 2n.
La deuxième, c'est que je ne sais pas ce qu'est une division euclidienne avec des nombres non entiers.

[jiherve]

Bonsoir
en effet et donc le résultat de la division sera toujours 2/PI!
il doit y avoir une coquille quelque part.
JR

[gg0]

Bonjour.


En 2n, il va 0 fois , donc ce que tu appelles "le reste" est simplement ton nombre de départ, 2n. Tu ne t'en étais pas aperçu ? Pourtant ça se voit (25+25=50 !!)
Donc finalement, tu divises 2n par n-40. Puis (tu ne l'as pas dit), tu simplifies la fraction.
J'ai essayé avec n=333. la fraction (2n)/(n-40) donne 666/293. et 666 = 5*133; pas 5*33. Tu peux essayer avec n=25191613 qui suit immédiatement ton n.

Conclusion : tu as par hasard fait quelques essais qui ont donné un résultat qui n'est pas général. Ce n'est ni une curiosité mathématique, ni un résultat démontrable.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Malefix]

@gg0 : j'ai oublié de dire que n-1 et n+1 doivent être impairs.
Dans ton exemple ils sont pairs.
C'est un oubli de ma part.

[Malefix]

En fait vous m'avez permis d'y voir plus clair.
Il faut que n soit pair et que son avant dernier chiffre soit 1, 3, 7 ou 9. Comme ça donne une fraction que l'on simplifie et quand le numérateur se termine par 6 on soustrait 1. Et on retrouve dans la décomposition en facteurs premiers l'entier n sans son dernier chiffre. Cet entier n sans son dernier chiffre est soit premier lui-même soit décomposable.

[gg0]

Je viens d'essayer avec n:=251930; ça ne marche pas ! Ça marche avec n:=251932 ou n:=251972 ou n:=25292, pas avec n:=25230 ni 251230.
Dans les cas où ça marche, il y a seulement une simplification par 4 (donc le numérateur est la moitié de n) et comme on divise encore par 5, on a pris n-1 divisé par 10. Ce qui explique qu'on retrouve les chiffres de n sauf le dernier, sauf si n-2 n'a pas les mêmes premiers chiffres (25230-2=25228 l'avant dernier chiffre a changé).
Compte tenu de la décomposition en facteurs premiers de 40, en dehors de n multiple de 5 (donc de 10) il est difficile d'avoir toutes les conditions, mais par hasard, à mon premier essai j'ai encore trouvé un contre exemple n:=2544 Et j'ai commencé une recherche systématique. une faute de frappe m'a donné n:=266, puis j'ai encore trouvé n:=2624.

je m'arrête là, le fait que ce soit fréquent est clair, que ce soit systématique est faux, même en éliminant les n multiples de 10, et il ne reste qu'un éventuel exercice pour étudiant.

[Malefix]

Merci pour la réponse.

Donc en fait c'est fréquent c'est tout.