Suite récurrente.

**Anonyme007** · 20/04/2025, 06h30

Bonjour à tous,

Soit $\text{[math]}$ un ouvert de $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ , une fonction réelle continue sur $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ .
On considère, $\text{[math]}$ une suite numérique convergente, définie par, $\text{[math]}$ .
On considère, $\text{[math]}$ la série entière définie par, $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ .
Peut-t-on récupérer $\text{[math]}$ à partir de $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 20/04/2025, 06h33

Comment montrer que, $\text{[math]}$ converge ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 20/04/2025, 06h48

J'ai oublié de préciser que, $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ .

**gg0** · 20/04/2025, 08h34

Bonjour.

Comment montrer que, $T_a (f)$ converge ?

Bizarre question. Si tu sais que ta fonction nommée $T_a (f)$ est la somme d'une série convergente, la série converge. Si, comme dans l'énoncé du message #1 tu n'as même pas de fonction f, tu n'as pas non plus de suite $\text{[math]}$ donc de série $T_a (f)$ .
Reprenons la question du message #1. Tu suppose qu'une certaine fonction g a été obtenue par le procédé décrit, la suite tendant bien vers 0 et la série convergeant bien sur $\text{[math]}$ entier. Peut-on récupérer la fonction f ? La réponse est non (à suivre).

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**gg0** · 20/04/2025, 08h41

Pourquoi non ?
La série est définie par les $\text{[math]}$ , mais on ne connaît que la somme. Pour une même somme finale, il y a de nombreuses séries possibles.
Et même si on connaissait les $\text{[math]}$ , il y aurait différentes fonctions $\text{[math]}$ possibles, prenant toutes la même valeur $\text{[math]}$ pour image de $\text{[math]}$ . La suite $\text{[math]}$ ne définit pas les valeurs de $\text{[math]}$ ailleurs qu'en les valeurs qu'elle prend.

Question : Depuis le temps que tu fais des maths à différents niveaux, comment se fait-il que ce genre d'évidence ne te vienne pas à l'esprit ?

**Anonyme007** · 20/04/2025, 14h33

Bonjour gg0,

Merci pour ta réponse.

Envoyé par gg0

Si tu sais que ta fonction nommée $T_a (f)$ est la somme d'une série convergente, la série converge.

Peux tu m'expliquer pourquoi davantage ? C'est la suite qui converge, par hypothèse, et non la série. La série est celle dont on cherche à établir qu'elle converge, mais, je ne sais pas pourquoi.
$\text{[math]}$ est définie par exemple, par, $\text{[math]}$ , sur tout, $\text{[math]}$ .
Merci d'avance.

**Anonyme007** · 20/04/2025, 14h53

Envoyé par gg0

Peut-on récupérer la fonction f ? La réponse est non (à suivre).

Pour t'expliquer davantage mon problème, je te donne un exemple,
Si $\text{[math]}$ est développable en série entière, alors, $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ détermine alors, $\text{[math]}$ tel que, $\text{[math]}$ .
Inversement, on peut récupérer $\text{[math]}$ , à partir de $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ , en posant, $\text{[math]}$ .
La même chose pour notre problème initiale de ce fil : est ce que, $\text{[math]}$ est récupérable à partir de $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ une suite convergente vers $\text{[math]}$ , définie par récurrence, $\text{[math]}$ , pour une fonction $\text{[math]}$ quelconque fixée au préalable ? ( Par exemple, pour $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ ).

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 20/04/2025, 15h04

Pardon. Je corrige le message précédent.
Dans le message précédent, $\text{[math]}$ , et non, $\text{[math]}$ .

**gts2** · 20/04/2025, 15h13

Je ne suis pas mathématicien, donc j'ai du mal à suivre :

- f n'est pas quelconque puisqu'il faut que la suite converge vers 0, ou alors c'est f quelconque telle que la suite converge vers zéro ?
- cela dépend manifestement de a, avec l'exemple donné et a=0, un=0 quelque soit n, on aura du mal à trouver f ;
- idem avec a=3 et la suite converge mais pas vers zéro, donc c'est a tel que le suite converge vers 0 ?

**Anonyme007** · 20/04/2025, 15h18

Envoyé par gts2

Je ne suis pas mathématicien, donc j'ai du mal à suivre :

- f n'est pas quelconque puisqu'il faut que la suite converge vers 0, ou alors c'est f quelconque telle que la suite converge vers zéro ?
- cela dépend manifestement de a, avec l'exemple donné et a=0, un=0 quelque soit n, on aura du mal à trouver f ;
- idem avec a=3 et la suite converge mais pas vers zéro, donc c'est a tel que le suite converge vers 0 ?

Oui, $\text{[math]}$ est quelconque ( fixée au préalable ) telle que la suite converge vers $\text{[math]}$ .
Oui, '' $\text{[math]}$ '' est telle que la suite converge vers $\text{[math]}$ .

**MissJenny** · 20/04/2025, 16h25

Tu peux connaître les un en évaluant les dérivées successives de Ta(x) en zéro. Mais je ne pense pas que ça te donne beaucoup informations sur f en-dehors de ces valeurs, sauf au voisinage de zéro, en supposant f continue.

**Anonyme007** · 20/04/2025, 17h38

@MissJenny,

Je voulais calculer les quelques premiers dérivés de $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ , et voir si $\text{[math]}$ vérifie une certaine équation différentielle ordinaire ( linéaire, peut être ), et ensuite trouver L'expression de $\text{[math]}$ , en résolvant cette équation, puis la comparer à $\text{[math]}$ , mais, je n'arrive pas à trouver cette équation différentielle. Peux tu m'aider MissJenny en suivant cette voix ?

Merci d'avance.

**gg0** · 20/04/2025, 19h35

Envoyé par Anonyme007

Bonjour gg0,

...

Peux tu m'expliquer pourquoi davantage ? C'est la suite qui converge, par hypothèse, et non la série. La série est celle dont on cherche à établir qu'elle converge, mais, je ne sais pas pourquoi.
$\text{[math]}$ est définie par exemple, par, $\text{[math]}$ , sur tout, $\text{[math]}$ .
Merci d'avance.

Il n'y a rien à expliquer. Tu dis que tu veux retrouver f à partir de la connaissance de $T_a (f)$ , c'est bien que $T_a (f)$ existe, donc que la série qui la donne converge (une série non convergente, ça ne donne pas une fonction, sois sérieux).

La suite de tes messages montre que tu ne sais pas de quoi tu parles, tu as déjà changé de sujet.

**gg0** · 20/04/2025, 19h43

Voilà où tu as changé de sujet :

Envoyé par Anonyme007

Pour t'expliquer davantage mon problème, je te donne un exemple,
Si $\text{[math]}$ est développable en série entière, alors, $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$

Ce n'est plus le $\text{[math]}$ de départ, et ton $\text{[math]}$ est tout simplement le $\text{[math]}$ d'origine, développé en série entière.

Rien à voir avec le message #1.

**albanxiii** · 21/04/2025, 17h22

Envoyé par Anonyme007

Si $\text{[math]}$ est développable en série entière

Cette information ne figurait pas dans le message #1.

**Anonyme007** · 22/04/2025, 23h29

Bonsoir,

Envoyé par albanxiii

Cette information ne figurait pas dans le message #1.

Cette information n'était que pour expliquer à gg0 ce que j'entends par récupérer $\text{[math]}$ à partir de $\text{[math]}$ , c'est pourquoi, elle ne figure pas dans l'énoncé initial. Elle ne fait pas partie du problème.

**Anonyme007** · 22/04/2025, 23h38

Envoyé par gg0

Ce n'est plus le $\text{[math]}$ de départ, et ton $\text{[math]}$ est tout simplement le $\text{[math]}$ d'origine, développé en série entière.

Oui, je sais. C'était juste pour te rapprocher de l'idée de ce que j'entends par récupérer $\text{[math]}$ à partir de $\text{[math]}$ . Si tu veux, tu peux oublier ce passage.
En bref, j'essaye de trouver l'expression de la fonction génératrice $\text{[math]}$ de la suite $\text{[math]}$ seulement en fonction de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ , quelque soit $\text{[math]}$ , la fonction qui définit la suite récurrente $\text{[math]}$ , ... comme pour la fonction génératrice des polynômes de Bernstein ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%...e_de_Bernoulli

Merci d'avance pour votre aide.

**Anonyme007** · 23/04/2025, 01h11

Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A...n%C3%A9ratrice aussi.

**gg0** · 23/04/2025, 07h10

"j'essaye de trouver..."
Comme souvent, tu rêves, et comme d'habitude, tu demandes aux autres de faire le travail à ta place ... Mais
1) le problème est mal défini (comment sont f et I pour que la suite ait un sens ?)
2) on t'a expliqué pourquoi tu pouvais trouver les u_n mais pas f.

Donc non seulement tu rêves, mais tu ne comprends pas les mathématiques très élémentaires en cause.

On est partants pour aider les gens sérieux. Commence par résoudre le 1 ci-dessus, pour montrer ton sérieux.

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