Bonjour les amis,
Quelqu'un aurait-il une idée de la façon de résoudre cette équation?
x^5+x^4+1=0
Ce problème a été posé aux Olympiades de mathématiques en Chine.
On peut arriver à un produit de deux facteurs l'un en x^2 et l'autre en x^3 mais il faudrait résoudre celui en x^3 par la méthode de Cardan ce qui me semble bizarre pour un concours.
Sans doute y a-t-il une astuce.
Bonjour,
On peut poser,, et on obtient,
On multplie ensuite les deux membres de l'égalité par,
Cordialement.
j et j^2 (racines cubiques de l'unité) sont solutions "évidentes".
j^3=1 et 1+j+j^2=0
Par contre, pour le quotient de degré3, à part Cardan...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Merci les amis.
En effet il semble impossible d'échapper à la méthode de Cardan.
Sur ce site on peut résoudre des équations, etc.
https://www.dcode.fr/solveur-equation
Vous faites un copier-coller de x^5+x^4+1=0 et vous cliquez sur "Résoudre l'équation" et à gauche vous avez les solutions.
À les voir ça ressemble à Cardan et comme elles ne sont pas simples ça voudrait dire qu'il n'y a pas d'astuces
Code:x^5+x^4+1=(x^3-x+1)(x^2+x+1)=0
Quant-à faire : https://www.wolframalpha.com/input?i=x%5E5%2Bx%5E4%2B1
Dernière modification par stefjm ; 31/08/2025 à 19h15.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
JJacquelin, Vi mais justement il y a cette fichue équation cubique.
stefjm, Merci, encore un site intéressant à retenir.
Étant Belge, est-on sensé connaître par coeur la résolution d'une équation du troisième degré en France en humanités?
@Benoboui : On n'est certainement pas sensé connaître par coeur la méthode de Cardan, ou Cardano (mais qui n'est pas le découvreur). Par contre, on sait où la trouver dans la litérature ou sur le web. Par example : https://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html
Vi mais à un concours (examen) je doute qu'on ait accès à internet ou ses cours.
Bonjour Benoboui.
Inutile de faire du par cœur, il suffit de comprendre l’idée de la méthode.
Cordialement.
Je te remercie,
Si on connait ça en France, en secondaire, chapeau!
Si de plus tu peux sortir ça rien qu'en connaissant la méthode, doublement chapeau.
Si tu pouvais dire comment tu procèdes pour des ignares comme moi, nous t'en serions reconnaissants!
S'il s'agit d'une question d'examen (non de haut niveau) il est plus que probable que l'on ne demande pas de résoudre complètement l'équation, mais que l'on demande de répondre à la question posée sans avoir besoin de connaitre explicitement les solutions. Il faut bien comprendre ce qui est strictement demandé et ne pas vouloir en faire plus que le nécessaire.
Bonjour.
Un bon élève du secondaire peut comprendre la méthode, je la connaissais moi-même en fin de première. Elle est peut être enseignée en Chine. Même si elle n'est pas enseignée, les participants aux olympiades l’ont probablement vue pendant leur préparation.
Cordialement
