Suite de fonctions

[passion math]

J'ai un ajustement à faire dans ma compréhension du cours sur les suites de fonctions.

Il est clair que la suite des fonctions x^n converge simplement vers une limite qui n'est pas continue en 1 (elle ne converge donc pas uniformément sur [0,1])mais elle converge uniformément sur tout segment inclus dans [0;1].

Mais le théorème de continuité pour les suites de fonction ( toutes les x^n sont continues sur [0,1]) précise que la convergence uniforme sur tout segment inclus permet de prouver la continuité de la limite sur le segment entier... Ce qui n'est donc pas le cas ici.

Il y a quelque chose que j'ai raté...
Où est mon erreur ?

Passion math
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[gg0]

Bonsoir.

"Où est mon erreur ?" Elle est ici : "elle converge uniformément sur tout segment inclus dans [0;1]".
Cette phrase est d'ailleurs contradictoire avec ce qui la précède ("elle ne converge donc pas uniformément sur [0,1]") puisque tu as justement exhibé un segment inclus dans [0,1] sur lequel elle ne converge pas uniformément : [0,1].
En fait, le raisonnement rapide sur la continuité de la limite te cache la "bonne raison" qui interdit la continuité uniforme sur [0,1]; le mieux est de chercher où la continuité uniforme est rejetée; et de s'en servir pour prouver qu'il n'y a pas convergence uniforme.

Cordialement.

NB : Si tu bloques, on t'aidera à voir.

[passion math]

Concernant les deux théorèmes de continuité pour les suites de fonction l'un parle de convergence uniforme sur I et l'autre sur tout segment inclus dans I.
Vous voulez donc dire que cette inclusion est large ?

À part ça peut-on dire qu'il n'y a pas convergence uniforme en exactement x = 1 ?

Il y aura donc convergence uniforme sur [0;1[ et sur tout segment inclus dans [0;1[

[gg0]

Dire "il n'y a pas convergence uniforme en exactement x = 1" manque un peu de sens, car la convergence uniforme se fait à priori sur un segment d'intérieur non vide, mais le problème est bien en 1, très exactement au voisinage de 1 : Pour tout a de [0,1[, il n'y a pas convergence uniforme sur [a,1].
"Il y aura donc convergence uniforme sur [0;1[" est faux. Essaie de le démontrer, tu verras que le problème persiste en 1.
Pour "et sur tout segment inclus dans [0;1[" je ne sais pas (je ne connais pas la définition de "segment", je ne connais que les intervalles). Si "segment" veut dire intervalle fermé non réduit à un point, alors c'est juste.

[A voir en vidéo sur Futura]

[passion math]

Ok merci je commence à y voir plus clair.

La version du théorème de continuité parlant des segments inclus dans l'intervalle n'a d'intérêt que lorsque l'intervalle est ouvert. Car en effet il n'y a pas convergence uniforme sur l'ouvert et pourtant bien continuité de la limite sur l'ouvert.

Il me semble avoir bien compris.

Cependant pour moi parler de convergence uniforme en un point me semble correct puisqu'on peut tout à fait définir une borne supérieure la variable parcourant un intervalle réduit à un point.

Bonne soirée