invariant

[MissJenny]

bonjour à tous,

j'essayais d'expliquer à un ami ce qu'est un invariant en mathématiques et à quoi ça sert. Je lui ai dit que ça servait (entre autres peut-être) à démontrer que deux objets ne pouvaient pas être transformés l'un dans l'autre (moyennant certaines transformations bien sûr, pas toutes).

Mais je n'ai pas su trouver un exemple significatif. Le seul auquel j'ai pensé est l'aire d'un polygone dans la géométrie plane. C'est un invariant sous les transformations "rigides" (engendrées par les translations et les rotations, Et on peut s'en servir par exemple pour montrer qu'une figure ne peut pas être construite dans le jeu de tangram.

mais j'aurais aimé un exemple un peu moins trivial, mais quand-même élémentaire (pas le groupe fondamental ou une homologie...)

quelqu'un peut-il en proposer un?
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[gg0]

Bonjour.

Il y a quelques idées sur la page Wikipédia. La notion me semble plus claire en théorie des nœuds.
Attention cependant aux raisonnements circulaires; par exemple dire que le cardinal des ensembles est invariant par bijection, alors qu'il est justement défini par les bijections. C'est plus intéressant quand l'objet vient d'un champ différent, comme le polynôme de Jones en théorie des nœuds.

Cordialement.

[Anonyme007]

Bonjour,

Voici comment on définit un invariant en mathématiques, en toute généralité,

Un invariant est un foncteur entre deux catégories et classifiant les objets de la catégorie par les objets d'une autre catégorie ''plus simple'' .

Autrement dit, est un invariant, si, quelques soient deux objets ayant même image par , ces deux objets appartiennent à une même classe d'objets dans .

Exemples,

1) La dimension finie d'un espace vectoriel réel, est un invariant ( algébrique ).

2) Le genre ( nombre de trous ) d'une surface compacte, connexe et, orientable, est un invariant ( topologique ).

3) Le j-invariant d'une courbe elliptique, est un invariant ( numérique ).

Cordialement.

[MissJenny]

Autrement dit, est un invariant, si, quelques soient deux objets ayant même image par , ces deux objets appartiennent à une même classe d'objets dans .

ah zut! j'avais compris le contraire, à savoir que deux objets isomorphes ont nécessairement le même invariant mais que la réciproque n'était pas (toujours) vraie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Heu ... j'ai bien peur que l'Anonyme se soit égaré ...

[Anonyme007]

ah zut! j'avais compris le contraire, à savoir que deux objets isomorphes ont nécessairement le même invariant mais que la réciproque n'était pas (toujours) vraie.

Oui, c'est vrai. Tu as raison. C'est moi qui s'est égaré comme l'a bien repéré gg0.
est un invaraint
est un invaraint
Pardon.

[gg0]

La deuxième ligne est bizarre, mais comme C n'est pas quantifiée ... A et B non plus, d'ailleurs.
Alors qu'en bon français, c'est simple : deux éléments équivalents ont le même invariant.

[GBZM]

Bonjour, un petit exercice pour illustrer la notion d'invariant :
Treize caméléons gris, quinze caméléons marrons et dix-sept caméléons blancs vivent dans le pays de Grimarblanc. Lorsque deux caméléons de couleur différentes se rencontrent, ils changent tous les deux de couleur et prennent automatiquement la troisième couleur. Par exemple, lorsqu'un caméléon gris rencontre un caméléon blanc, ils deviennent tous les deux marron. Se peut-il qu'au bout d'un certain temps, tous les caméléons du pays Grimarblanc soient de la même couleur ?
Cherchez l'invariant !
(Source : "Diagonales" n°4, 1998-1999, n° consacré à la notion d'invariant)

[GBZM]

Un autre exemple, classique : le problème de Sam Loyd sur le jeu de taquin

[ThM55]

Je proposerais les invariants de similitude d'une matrice carrée nxn sur un corps (R ou C), c'est-à-dire sous conjugaison par une matrice inversible: le déterminant (c'est en fait l'exemple de l'aire), la trace, le rang, le polynôme caractéristique, le polynôme minimal, le spectre (avec ou sans les multiplicités). Le spectre et la notion de valeur et vecteur propres ont une interprétation géométrique qu'il est facile de visualiser sur quelques exemples en dimension 2 ou 3, si on n'a pas les connaissances en algèbre. Voici un texte abordable: https://tangente-mag.com/articles/gl...-de-similitude .

[MissJenny]

je ne vois pas quel est l'invariant dans l'histoire des caméléons (à part le nombre total de caméléons (45) mais ça ne mène pas bien loin...). Mais je crois que je peux démontrer que c'est impossible d'avoir tous les caméléons de la même couleur.

On peut voir la population de caméléons comme un triple de nombres. Au début on a le triple (13,15,17) et on voudrait arriver à (45,0,0), (0,45,0) ou (0,0,45). Je pars de l'un des points d'arrivée voulus, par exemple (0,0,45). On constate que les 3 nombres sont divisibles par 3, ils ont le même résidu modulo 3 (0). A l'étape précédente on devait avoir (1,1,43) et là encore les 3 nombres ont le même résidu modulo 3. Si à une certaine étape on a le triple (a,b,c), à l'étape précédente on avait l'un des triples (a+1,b+1,c-2), (a+1,b-2,c+1) ou (a-2,b+1,c+1). Si a,b,c ont même résidu modulo 3 il en est de même pour a+1,b+1 et c-2 et idem pour les autres triples. Mais (13,15,17) ne satisfait pas à cette contrainte.

[Médiat]

MissJenny : vous avez trouvé l'invariant

[MissJenny]

ah oui je vois maintenant. Je ne trouvais pas parce que cherchais une fonction des 3 nombres de caméléons alors qu'il suffit d'en considérer 2.