[DM]-erreur d'enoncé?-Projection sur un convexe fermé de R^n

[invitec3f4db3a]

Bonjour a tous , j'ai un DM et je bloque sur ce qu'il me semble être une erreur d'ennoncé ou alors une erreur d'interpretation de ma part.

On Etudie dans le Dm la projection sur un convexe fermé noté A de R^n , x € R^n : Voici la question :

Supposons qu'il existe y € A tel que : <x-P(x)|y-P(x)> >0 On pose alors S : [0,1]--> R definie par

S(t) = ||(x-P(x)) -t(y-P(x)||² il faut montrer qu'il existe t€]0,1[ tel que S(t) < ||x-P(x)||²

Pour l'instant j'ai Obetenu une condition necessaire sur t et je peut trouver une condition suffisante sans difficulté a part que j'ai besoin impérativement de x <> P(x) ce qui n'est pas le cas pour x € A . ( Le projeter d'un element de A sur A est bien lui même il me semble ) . On n'a nul part une condition sur x .

On pour tout x€A on ne peut pas trouver y e A tel <x-P(x)|y-P(x)> >0 d'ou mon interrgation , manque t'il une condition sur x ?
Merci

[invite10a6d253]

Si x=P(x), l'hypothèse "il existe y € A tel que : <x-P(x)|y-P(x)> >0" n'est pas vérifiée et il n'y a donc rien à démontrer dans ce cas de figure !

[invitec3f4db3a]

Dans ce cas je redige : On suppose qu'il existe y€ A tel que .... Donc on a forcement que x<>P(x) ? ca suffit comme justification ?

Je trouve ca juste étrange qu'une condition sur Y entraine une condition sur x qui a été definit au tous début du DM par "pour tout x€ R^n " mais de toute facon il y a pas vraiment le choix ...

Merci de la precision

[invite10a6d253]

Attention, la condition est sur x. y est une variable muette.
(de manière pompeuse, on pourrait réécrire l'hypothèse sous la forme :

m(x)>0 où
m(x)=sup {<x-P(x)|y-P(x)>, y\in A})

Sinon, je pense que la conclusion finale cherchée (que tu n'as pas indiquée) devrait être triviale si x=P(x).
Tu pourrais alors rédiger : soit x=P(x), dans ce cas la conclusion est évidente, soit x différent de P(x), alors...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3f4db3a]

Je pense faire comme ca !
Merci de ton aide !!!