espaces vectoriels (sommes directes)

[invited436cae9]

bonjour ,
on a 2 applications linéaires u et v :
u appartient à L(E,F) et v à L(F,E)
on a uvu=u et vuv=v

il faut montrer que Imv et Ker u sont supplémentaires de E

auriez vous une idée ?
merci d'avance
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[martini_bird]

Salut,

tu as deux choses à montrer :

- que E est réunion de Im v et Ker u (je le ferais par l'absurde : s'il existais x ni dans Im v ni dans Ker u, alors en composant avec u puis v...)

- que si un élément x appartient à l'intersection de Im v et Ker u, alors il est nul (soit donc x dans cette intersection, quels propriétés vérifie-t-il ?).

Cordialement.

[Gwyddon]

Pour montrer qu'ils sont supplémentaires, commence déjà à montrer qu'ils sont en somme directe. Or il y a une caractérisation très simple pour une somme de deux sous-espaces : A et B sont en somme directe si et seulement si .

Donc prend un vecteur x dans l'intersection des deux sous-espaces considérés, utilise la définition des deux sous-espaces, et vois comment ça peut te mener à x=0 en exploitant les hypothèses de l'énoncé (je te rassure tout de suite : cette étape est très simple).


Ensuite, tu dois montrer que tout élément x de E s'écrit comme x=a+b, avec a dans ker u et b dans im v.

Essaye d'exploiter encore une fois les hypothèses de l'énoncé ; si par exemple il y a une des deux hypothèses que tu n'as pas exploitée, c'est le moment de le faire. Essaye ensuite de voir comment prendre a et b pour arriver à la conclusion (je te rassure : ce n'est pas difficile, tu devrais y arriver )


EDIT : joli croisement avec martini Tiens tu t'y prendrais par l'absurde ? On peut pourtant le faire parfaitement en voie directe

[martini_bird]

Salut,

A et B sont en somme directe si et seulement si .

Et si on gardait les mêmes notations ? Et si on ajoutait que A+B=E ?

Mais je t'embête, la suite de ton message est claire.

EDIT : joli croisement avec martini Tiens tu t'y prendrais par l'absurde ? On peut pourtant le faire parfaitement en voie directe

Oui bien sûr... Affaire de goût personnel sûrement.

Bonne nuit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Ok désolé j'ai merdé

[invite8b04eba7]

Salut !

Et si on ajoutait que A+B=E ?

Je croyais qu'"en somme directe" voulait juste dire ?

[martini_bird]

Salut,

Je croyais qu'"en somme directe" voulait juste dire ?

Etre en somme directe ne concerne que des sous-ev il me semble. Non ?

Dans le genre on coupe les cheveux en quatre...

Cordialement.

[Gwyddon]

Oui bien sûr, et cela était sous-entendu dans mon post...

Ceci dit, effectivement doudache a raison être en somme directe ne signifie pas générateur de l'espace, donc tu n'as pas forcément A+B = E (mais tu l'as rajouté car il faut aussi le démontrer ici, je sais, mais mieux vaut être clair pour nos lecteurs )



Bon on arrête de couper les cheveux, avant d'en avoir sur la langue, ok ?