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espaces vectoriels (sommes directes)



  1. #1
    Droledenom

    espaces vectoriels (sommes directes)


    ------

    bonjour ,
    on a 2 applications linéaires u et v :
    u appartient à L(E,F) et v à L(F,E)
    on a uvu=u et vuv=v

    il faut montrer que Imv et Ker u sont supplémentaires de E

    auriez vous une idée ?
    merci d'avance

    -----

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  4. #2
    martini_bird

    Re : espaces vectoriels

    Salut,

    tu as deux choses à montrer :

    - que E est réunion de Im v et Ker u (je le ferais par l'absurde : s'il existais x ni dans Im v ni dans Ker u, alors en composant avec u puis v...)

    - que si un élément x appartient à l'intersection de Im v et Ker u, alors il est nul (soit donc x dans cette intersection, quels propriétés vérifie-t-il ?).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. #3
    Gwyddon

    Re : espaces vectoriels

    Pour montrer qu'ils sont supplémentaires, commence déjà à montrer qu'ils sont en somme directe. Or il y a une caractérisation très simple pour une somme de deux sous-espaces : A et B sont en somme directe si et seulement si .

    Donc prend un vecteur x dans l'intersection des deux sous-espaces considérés, utilise la définition des deux sous-espaces, et vois comment ça peut te mener à x=0 en exploitant les hypothèses de l'énoncé (je te rassure tout de suite : cette étape est très simple).


    Ensuite, tu dois montrer que tout élément x de E s'écrit comme x=a+b, avec a dans ker u et b dans im v.

    Essaye d'exploiter encore une fois les hypothèses de l'énoncé ; si par exemple il y a une des deux hypothèses que tu n'as pas exploitée, c'est le moment de le faire. Essaye ensuite de voir comment prendre a et b pour arriver à la conclusion (je te rassure : ce n'est pas difficile, tu devrais y arriver )


    EDIT : joli croisement avec martini Tiens tu t'y prendrais par l'absurde ? On peut pourtant le faire parfaitement en voie directe
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. #4
    martini_bird

    Re : espaces vectoriels

    Salut,

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    A et B sont en somme directe si et seulement si .
    Et si on gardait les mêmes notations ? Et si on ajoutait que A+B=E ?

    Mais je t'embête, la suite de ton message est claire.

    EDIT : joli croisement avec martini Tiens tu t'y prendrais par l'absurde ? On peut pourtant le faire parfaitement en voie directe
    Oui bien sûr... Affaire de goût personnel sûrement.

    Bonne nuit.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Gwyddon

    Re : espaces vectoriels



    Ok désolé j'ai merdé
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  9. #6
    doudache

    Re : espaces vectoriels

    Salut !

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Et si on ajoutait que A+B=E ?
    Je croyais qu'"en somme directe" voulait juste dire ?

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  11. #7
    martini_bird

    Re : espaces vectoriels

    Salut,

    Citation Envoyé par doudache Voir le message
    Je croyais qu'"en somme directe" voulait juste dire ?
    Etre en somme directe ne concerne que des sous-ev il me semble. Non ?

    Dans le genre on coupe les cheveux en quatre...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  12. #8
    Gwyddon

    Re : espaces vectoriels

    Oui bien sûr, et cela était sous-entendu dans mon post...

    Ceci dit, effectivement doudache a raison être en somme directe ne signifie pas générateur de l'espace, donc tu n'as pas forcément A+B = E (mais tu l'as rajouté car il faut aussi le démontrer ici, je sais, mais mieux vaut être clair pour nos lecteurs )



    Bon on arrête de couper les cheveux, avant d'en avoir sur la langue, ok ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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