[RG] Variationnel de la métrique

[inviteccb09896]

Bonsoir

Dans un PDF de la bibliothèque du site il y a une démo pédagogiquement élégante de la manière de retrouver EDC (équation d'einstein des champs) à partir de SEH (l'action de Einstein Hilbert).

Je coince juste sur un truc con comme le jour qui est donné en tant qu'exercice par l'auteur (et c'est le seul... c'est bien ma veine!) :



Quelqu'un saurait comme cela se démontre ou quelle est la propriété utilisée....

Merci d'avance aux spécialistes diplômés
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[inviteca4b3353]

Salut,

Dans quel pdf tu as trouvé ca et a quelle page ?

[invité576543]

Bonsoir

Dans un PDF de la bibliothèque du site il y a une démo pédagogiquement élégante de la manière de retrouver EDC (équation d'einstein des champs) à partir de SEH (l'action de Einstein Hilbert).

Je coince juste sur un truc con comme le jour qui est donné en tant qu'exercice par l'auteur (et c'est le seul... c'est bien ma veine!) :



Quelqu'un saurait comme cela se démontre ou quelle est la propriété utilisée....

Merci d'avance aux spécialistes diplômés

Pas diplômé mais j'essaye quand même.

C'est simplement parce que est l'inverse de . Si tu fait le produit, tu obtiens



Le terme de premier degré doit être nul, d'où la conclusion.

Cordialement,

[invitea29d1598]

et si tu commençais par réfléchir à ce que valent et sa différentielle ?...

[edit]croisement avec mmy avec qui je suis pas complètement d'accord... pour une histoire de trace...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

et si tu commençais par réfléchir à ce que valent et sa différentielle ?...

[edit]croisement avec mmy avec qui je suis pas complètement d'accord... pour une histoire de trace...

Arghh... C'est le 1 qui est faux. Mettons 4... ou mieux , solution sans risque...

Merci pour la correction!

[invité576543]

Au passage cela m'amène une question, que représente physiquement (c'est bien de la trace de ce tenseur (1,1) dont on parle il me semble). C'est l'identité dans le cas diag(1,-1,-1,-1), mais est-ce général ? (Ca devrait l'être, puisque c'est tensoriel et vrai pour repère particulier...)

Cordialement,

[inviteca4b3353]

Salut,

Tu contractes la métrique avec son inverse, le résultat est donc l'identité quelque soit g.

[invitea29d1598]

C'est l'identité dans le cas diag(1,-1,-1,-1), mais est-ce général ? (Ca devrait l'être, puisque c'est tensoriel et vrai pour repère particulier...)

suis pas certain que ma réponse va être très "physique", mais bon

ce tenseur est le tenseur de Kronecker (l'identité donc) à partir du moment où g_ est bien la métrique définie sur l'espace tangent et g^ celle définie sur l'espace dual avec des conditions de compatibilité au niveau du choix des bases duales (de manière plus "pragmatique", on doit définir g_ à partir de g^ par leurs actions sur des bases duales dx^i et e_i de telle manière que le "g" serve "à monter et descendre les indices")

si "g" n'est pas une métrique, le tenseur défini ainsi n'a aucune raison d'être l'identité... par exemple si tu écris F au lieu de g et imagine que ce F est antisymétrique et qu'il représente le champ électromagnétique, tu obtiens un terme important pour le tenseur énergie-impulsion, terme dont la trace est exactement la densité lagrangienne associée... m'enfin, suis pas certain que tu puisses avoir une "interprétation générale" de ce terme, et encore moins une "interprétation physique" pour un tenseur général... mais je me plante peut-être...