Points de vue actif et passif en mécanique quantique

[LoicM]

Bonjour,

Dans la plupart de la littérature de MQ que j'ai pu lire, si j'ai bien compris ce que j'ai lu, on distingue deux manières de décrire la transformation d'un système par un opérateur : transformation active et passive. Dans la transformation active, c'est le système qui est transformé (par exemple translaté de + a si l'opérateur est une translation), et dans la transformation passive équivalente, c'est l'observateur qui est translaté d'une quantité opposée (-a). Les conséquences pour le système sont les mêmes. Quand on parle de transformation d'une observable, les choses se compliquent un peu. J'ai trouvé deux types de définitions de "transformée d'une observable" : l'une (la plus fréquente : Messiah, Cohen, par exemple) décrit la règle que suit une observable quand on applique une transformation aux appareils mesure : ici, changer d'observateur est équivalent à transformer les appareils de mesure. Dans d'autres cours (Toledano et Delamotte notamment), ce qui est défini comme la transformation d'une observable c'est l'effet que subit l'observable quand on transforme le système lui-même. Les deux définitions donnent des résultats opposés, comme on pourrait s'en douter puisque translater les appareils de mesure de +a par exemple, c'est comme une transformation passive du système de +a, alors que pour la deuxième définition, c'est une transformation active de +a que subit le système.
J'ai aussi cru comprendre que point de vue passif et actif sont équivalents (à une inversion près) si on est dans un espace "plat", mais qu'en relativité générale ce n'est vrai que localement, et on distinque alors changement de coordonnées et difféomorphisme.

Je croyais avoir compris ça quand j'ai lu le cours de DEA de B. Delamotte qui parle de 4 points de vue! De plus dans ces définitions, on distingue changement d'observateur et transformation des appareils de mesure (ce qui annihile la première définition de la transformation d'une observable citée plus haut). Ces définitions sont-elles reconnues? Peut-on retrouver les résultats de ce qu'elles décrivent avec simplement les deux autres définitions?
En clair est-ce que les définitions habituelles de passif et actif suffisent (avec la subtilité de la définition de transformation d'une observable), en tout cas en physique quantique, classique et relativiste.
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[Lévesque]

Salut,

je ne connais pas précisément le sujet que tu abordes, mais je me permets quand même un commentaire.

Tu prends l'exemple d'une translation dans l'espace, et tu dis

Dans la transformation active, c'est le système qui est transformé (par exemple translaté de + a si l'opérateur est une translation), et dans la transformation passive équivalente, c'est l'observateur qui est translaté d'une quantité opposée (-a)

Je pense qu'il est dangereux de prendre cet exemple (à mon avis basé sur des principes classiques), puisqu'il devient insensé lorsque le système n'est pas parfaitement localisé (i.e. dans un état pur de position). Dans la réalité, pour la transformation active du système quantique, c'est l'état qui est modifié, et non pas la valeur propre associée à cet état (pense aux états superposés de position).

Si tu veux vraiment parler transformation de position (i.e. transformation d'une valeur propre à une autre) et de points de vue actifs et passifs, dans un contexte plus classique, alors voici ce que je sais : le point de vue actif est celui où la distance est réellement modifiée entre un appareil A et un système S; dans un système de coordonné K, la transformation change les positions de S et/ou de A de façon à ce que dans K, la distance ait changée entre S et A. Dans le point de vue passif, le système et l'appareil sont maintenue exactement à la même distance l'un de l'autre, mais on transforme le système de coordonnées; en passant de K à K', on change la valeur numérique de la distance entre deux points données sans que ceux-ci ne bougent.

Si ça peut t'aider, une transformation intéressante en MQ est le passage du point de vue de Heisenberg au point de vue de Schrödinger. Dans un point de vue, c'est l'observable O(t) qui change avec le temps tandis que l'état |c> du système est constant. Dans l'autre point de vue, l'état du système |c(t)> évolue avec le temps, tandis que l'observable O reste constante. On passe d'un point de vue à l'autre par une simple transformation, et les prédictions coïncident. Mais remarque que la transformation qui nous fait passé du point de vue de Schrödinger au point de vue de Schrödinger (et vice versa) transforme ET l'état ET l'observable : l'état devient dépendant du temps et l'observable devient indépendante du temps. Je pense que tu peux facilement associer le point de vu actif et le point de vue passif tel que tu le décris à l'une et l'autre des représentations Schrödinger et Heisenberg.


Cordialement,

Simon

[LoicM]

Merci pour ta réponse. Je suis d'accord qu'en parlant de position j'aurais dû être plus rigoureux. J'aurais dû parler de position moyenne par exemple.

Pour la suite :

Si tu veux vraiment parler transformation de position (i.e. transformation d'une valeur propre à une autre) et de points de vue actifs et passifs, dans un contexte plus classique, alors voici ce que je sais : le point de vue actif est celui où la distance est réellement modifiée entre un appareil A et un système S; dans un système de coordonné K, la transformation change les positions de S et/ou de A de façon à ce que dans K, la distance ait changée entre S et A. Dans le point de vue passif, le système et l'appareil sont maintenue exactement à la même distance l'un de l'autre, mais on transforme le système de coordonnées; en passant de K à K', on change la valeur numérique de la distance entre deux points données sans que ceux-ci ne bougent.

Je crois que j'ai encore du chemin pour rapprocher ma compréhension de ce que tu me dis d'une part et de ce que je lis d'autre part (voir ci-dessous), car je suppose que les deux sont compatibles. Ce que tu me dis en tout cas me donne une piste : c'est qu'il y a trois "objets" à prendre en compte : le système, le système de coordonnées, et l'appareil de mesure.

Je lis par exemple dans un cours de Daniel Malterre (mais on trouverait la même chose chez A. Messiah ou C. Cohen-Tannoudji):
"Nous illustrons [..] l’exemple d’une translation de vecteur a sur la fonction d’onde. On constate que la fonction d’onde, centrée sur la position r, est centrée sur r+a après translation. Dans un point de vue passif, où on ne transforme pas le système mais où on le décrit dans un nouveau repère, [on voit] qu’il faudrait translater le repère du vecteur -a pour obtenir une situation équivalente à une translation du système de +a dans le point de vue actif."

Ici seul le système ( décrit par la fonction d'onde) et le système de coordonnées (le repère ici) sont pris en compte. Dans ce cas particulier (observable position) , l'appareil de mesure peut être assimilé au repère ( finalement c'est son rôle, repérer les systèmes, donc mesurer leur position). Mais pour être plus général, il faudrait comme tu l'indiques distinguer repère (système de coordonnées K plus généralement), système observé S, et appareil de mesure A (qui peut mesurer autre chose que l'observable position).

Suis-je sur la bonne voie?

Cordialement,

Loïc

[Lévesque]

Il faut faire attention à un truc immensément important.

Selon la MQ de tes livres, qu''est-ce que "la position" du centre du paquet d'onde? Plus précisément, qu'est-ce que "le paquet d'onde"?

Il y a deux possibilités:
(i) c'est la configuration d'un champ dans l'espace, exactement comme on pourrait avoir un centre à une concentration d'énergie électromagnétique; ou bien
(ii) c'est une distribution de probabilité qui te donne l'information sur ce que tu pourrais obtenir en effectuant une mesure de position.

La différence entre ces deux possibilité est très subtile la première fois qu'on la rencontre, mais quiconque s'intéresse sérieusement à la mécanique quantique doit s'efforcer de bien comprendre la différence entre ces deux points de vues.

Le livre de Cohen et al est un très bon livre qui me semble très près de ce qui est dit en (i), tandis que le livre de A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer (1995) est un très bon livre qui adopte définitivement ce qui est dit en (ii).

Il y a une différence fondamentale entre (i) et (ii). Dans le cas (i), faire une translation (par exemple) revient à admettre que tu déplaces le paquet d'onde dans un référentiel donné (actif) ou que tu déplaces le référentiel en maintenant le paquet à un endroit donné (passif). C'est exactement comme si tu avais un champ électromagnétique dans l'espace, et que tu faisais une translation du champ. C'est un point de vue très classique (dans le sens de non-quantique), et rejoint exactement ce que je t'ai décrit plus haut au sujet des points de vue actifs et passifs (Passif: changer K pour K' ou Actif: déplacer le paquet).

Dans le second cas (ii), le paquet d'onde ne te donne qu'une probabilité de trouver la particule en x si tu fais une mesure de position avec un appareil A en cette position x. Le paquet d'onde n'est alors pas comme un champ électromagnétique qui se propage dans l'espace, on ne le considère pas comme un champ réel mais seulement comme un algorithme mathématique. Tu connais la forme mathématique de ce paquet d'onde suite à une préparation d'état (c'est-à-dire un genre de mesure qui t'as précédemment donné de l'info sur la particule)[1]. Faire une translation spatiale du paquet d'onde revient soit à modifier la façon dont le système a été préparé (on définit généralement de façon abstraite un système quantique donné comme un ensemble d'objets qui ont été préparés de la même façon) : c'est le point de vue actif; ou bien la translation revient à déplacer l'appareil de mesure A, c'est-à-dire qu'on souhaite maintenant connaître la probabilité non pas de trouver la particule en x, mais de la trouver en x+a : c'est le point de vue passif.

Pour résumer le paragraphe précédent: le point de vue actif est celui où le système est modifié; le système étant défini par la façon dont il est préparé expérimentalement, modifier le système revient à modifier la procédure de préparation (i.e. le préparer en x-a plutôt qu'en x). Le point de vue passif, quand à lui, revient à modifier la procédure de la mesure. C'est l'appareil qui est modifié (regarde si la particule est en x+a plutôt qu'en x) et le système reste identique, c'est-à-dire qu'il continue d'être préparé de la même façon (i.e. au même endroit).

J'espère que ça aide. Je répète que je n'avais jamais vu ces points de vue actifs et passifs en MQ. Tout ce que je dit est basé sur les propos que tu rapportes et ma compréhension de ceux-ci. Il faut donc faire attention à ce que je dis, ma compréhension de ce que tu rapportes n'est pas absolue.

Cordialement,

Simon

PS: Ayant beaucoup étudié les points de vues (i) et (ii), je conseille fortement d'adopter le point de vue (ii) tant que certains problèmes n'ont pas étés réglés dans le point de vue (i). À ce sujet, je conseille la lecture de Heisenberg, Physique et Philosophie pour bien mettre les idées en place.

[1] H. Margenau explique bien la différence entre préparation d'état et mesure dans ses articles Philosophical Problems concerning the Meaning of Measurement in physics, Philosophy of Science, Vol. 25, No. 1, 23-33 (1958); et Measurements in Quantum Mechanics, Annals of Physics: 23, 469-485 (1963). Aussi, A. Peres dans son livre cité plus haut explique bien ce qu'est un système quantique selon ce point de vue : c'est une abstraction utile qui n'existe pas dans la nature. Par exemple, dans une expérience de Stern-Gerlach, le système quantique n'est pas l'atome d'argent au complet. Le système quantique est le moment magnétique mu de l'atome, puisque le Stern-Gerlach est construit pour déterminer une composante de mu. Dans d'autres ouvrages, par exemple celui de Dirac, le système quantique est défini seulement en terme d'un ensemble complet d'observables qui commutent. Au lieu que le système quantique soit seulement le moment magnétique mu de l'atome, on suppose que celui-ci soit en fait définie par toutes les propriétés qui pourraient être mesurés simultanément sur l'atome d'argent. Malgré que la définition de ce qu'est un système quantique soit un peu vague, la définition de ce qu'est un état, ou une fonction d'onde, n'est pas du tout ambigue: "un état est caractérisé par les probabilités des différents résultats de tous les tests envisageables" (Peres, p.24). La définition est autement redondante, dans le sens où tous les tests ne sont pas indépendants les uns des autres: les résultats de certains tests nous donnent en même temps les résultats d'autres tests qu'on a plus besoin de faire. Un fois qu'on a éliminé tous les tests redondants, on se retrouve avec un ensemble minimal de mesures nous permettant de connaître tout ce qui est possible de connaître sur l'objet qu'on étudie. Cet ensemble minimal de mesure est représenté par l'ensemble complet d'observables commutantes (ECOC).

[A voir en vidéo sur Futura]

[LoicM]

Merci de cette dernière réponse.

En effet dans mon esprit, les interprétations que tu évoques étaient compatibles dans le cadre de la théorie de la MQ. Mais d'après ce que tu expliques ce n'est pas le cas. Je vais réfléchir à tout ça à tête reposée, et je pense qu'après je pourrai mieux distinguer les différentes manières de considérer les transformations passives et actives.

Merci encore.