Tenseur d'inertie

[invite4b31cbd7]

Bonjour, j'ai quelques petites questions bien simple par rapport au tenseur d'inertie.

1) Le tenseur d'inertie est spécifié par rapport à un point, et non par rapport à un axe ? (oui ou non hehe)

2) Si I(xx) représente le moment d'inertie du corps autour de l'axe des x, que représente I(xy), soit un des termes qui n'est pas sur la diagonale du tenseur d'inertie.

3) Si j'ai en tenseur d'inertie pour un corps par rapport à son centre de masse, et que je cherche le moment d'inertie de ce corps par rapport à un axe qui fait un angle alpha par rapport à l'axe des z par exemple, comment je procède ?
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[Jeanpaul]

Un tenseur d'ordre 2, tout comme un vecteur est spécifié par rapport à un référentiel, ce qui nécessite :
- une origine
- 3 directions d'axes orthonormés de préférence.
Les éléments diagonaux sont la somme des m x², m y² etc..
Les éléments non diagonaux sont les sommes des m x y, etc..
On voit bien que tous ces éléments vont dépendre de l'origine et de l'orientation des axes.
Pour changer de référentiel, on applique les formules de changement de répère des matrices d'ordre 2.
Dans la pratique, vu les symétries, il existe souvent un repère qui s'impose logiquement. Il est lié au solide.

[invite4b31cbd7]

Merci, ça répond un peu à mes questions. En fait, j'ai encore une question qui reste nébuleuse à mes yeux.

Si j'ai le tenseur d'inertir d'un corps, par exemple d'un ellipsoid, de façon que les axes soient bien positionné pour que mon tenseur soit diagonal. Je cherche le moment d'inertie d'un axe qui sera déplacé par rapport à l'axe Z d'un angle alpha. Je doit donc appliqué une matrice de rotation, mais je l'applique à quoi ? mon tenseur au complet ? Puis une fois que ma matrice de rotation est appliquée, je me retrouve avec une matrice ou un vecteur, alors que je m'attendais à n'avoir qu'un élément, puisque je spécifi l'axe de rotation ..??? (ai-je tord d'affirme que lorsque l'axe est spécifié je devrais avoir un élément, un sclaire et pas un tenseur ou un vecteur ?)

[Jeanpaul]

Tu appliques la matrice de passage au tenseur complet bien entendu. Ensuite tu isoles la composante ZZ si tu veux mais tu ne dois pas parler de scalaire (un scalaire est invariant par changement d'axes, ce qui n'est pas le cas de la composante d'un vecteur ou d'un tenseur)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Si j'ai le tenseur d'inertir d'un corps, par exemple d'un ellipsoid, de façon que les axes soient bien positionné pour que mon tenseur soit diagonal. Je cherche le moment d'inertie d'un axe qui sera déplacé par rapport à l'axe Z d'un angle alpha. Je doit donc appliqué une matrice de rotation, mais je l'applique à quoi ? mon tenseur au complet ? Puis une fois que ma matrice de rotation est appliquée, je me retrouve avec une matrice ou un vecteur, alors que je m'attendais à n'avoir qu'un élément, puisque je spécifi l'axe de rotation ..??? (ai-je tord d'affirme que lorsque l'axe est spécifié je devrais avoir un élément, un sclaire et pas un tenseur ou un vecteur ?)

Bonjour,

Essayons de faire simple, mais ce n'est pas facile. On peut montrer que, sauf cas particuliers, il n'y a que trois directions pour lesquelles appliquer le tenseur d'inertie donne un résultat, un vecteur, dans la même direction à laquelle on l'applique. On parle des "vecteurs propres" de l'opérateur. Ils forment une base orthogonale.

Quand on aborde ce sujet dans l'enseignement, on se restreint à ces directions particulières, on se garde bien de regarder tout de suite les autres directions.

Dans ces directions particulières, l'inertie en rotation se résume à un chiffre, le moment d'inertie selon la direction (la "valeur propre" correspondant à la direction propre considérée; les trois valeurs sont en général différentes).

Si maintenant tu appliques l'opérateur à autre chose qu'une direction propre, il te faut trois chiffres (les trois composantes du résultat) pour indiquer ce qui se passe: on peut y retrouver une sorte de moment d'inertie, mais il faut aussi connaître le décalage entre la direction de rotation et l'inertie. En pratique on va parler de "balourd" ou d'effet gyroscopique.

Si tu regardes le mouvement d'un gyroscope, ou d'un anagyre (cherches sur le web!), tu peux réaliser que la mécanique d'un solide en rotation n'est pas simple du tout. Et une bonne partie de la complexité des mouvements de solides comme un anagyre est "cachée" dans l'opérateur d'inertie, dans ce qui se passe quand le solide ne tourne pas autour d'un axe principal. Alors, au début, on se contente du cas simple: la rotation autour d'un axe principal...

Cordialement,

[invite4b31cbd7]

Merci bien,

Mais Jean-Paul, le probleme si j'isole la composante ZZ apres l'application de la matrice de rotation c'est que je me retrouve avec quelque chose qui est proportionnelle a cos(alpha), ce qui me donnerait un inertie nulle dans le cas ou mon angle alpha est pi/2, ce qui n'a aucun sens non ! (de plus en applicant la matrice de rotation je n'ai plus un tenseur diagonale, donc est-ce que c'est encore vrai de dire que l'inertie autour de mon axe est une simple composante ^ )

[Jeanpaul]

Ca ne donnera pas zéro car les autres composantes vont intervenir, comme XX, YY, XY, etc..; sauf le cas d'un morceau de fil infiniment fin par exemple.