Travail Gravité (équation intégro-différentielle?)

[invite425270e0]

Bonjour à tous,

Depuis quelques temps je cherche à calculer le travail de la gravité mais relativiste. C'est à dire:
F = -GMm₀ / (r²racine(1-v²/c²))

Je n'arrive pas à l'intégrer, car la vitesse varie en fonction de la distance r, et la vitesse est la dérivée de la distance par rapport au temps... Si quelqu'un pouvait m'aider...?

Universmaster.
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[Magnétar]

Bon en fait il y a un problème déjà v dépend de r et tu ne connaît pas cette dépendance, pour la trouver il te faudra résoudre l'équation différentielle du mouvement.

Bon autre problème (enfin je crois) qui lui me semble beaucoup plus grave c'est que tu mélange des concepts de relativité restreinte et des concepts Newtonien, et de plus avec la gravité qui c'est bien connu à posé de sérieux problème à Einstein quand il a voulu l'intégrer à la relativité restreinte (à tel point qu'il a "abandonner" et est passer à la relativité générale qui elle intègre la gravité). Donc si tu veux mon avis c'est pas du tout comme ça qu'il faut s'y prendre (mais bon je ne suis qu'un amateur).

Bon sinon je te remets le lien du topic précédent :

http://forums.futura-sciences.com/po...2.html#1061942

Et si tu veux te renseigner sur la relativité restreinte je te conseille de lire :
La relativité par notre cher Albert

et Le premier tome du cours de physique de Feynman Chapitre 15 à 17

Voilà

[invite425270e0]

Bonjour,

Ok merci pour ces informations. Mais tu me dis que je mélange la relativité restreinte et mécanque newtonienne. Mais non, car je cherche à trouver une masse M avec m donnée, en y appliquant le théorème de l'énergie cinétique relativiste. Donc je cherche à résoudre Ec = W(gravité)

La force de gravité est connu, sauf qu'elle s'exprime avec m0, la masse au repos. Donc sahant que m=gamma * m0, il me suffit de remplace m par gamma* m0 et nous voilà avec le travail relativiste non?

Bon dans ce cas j'vais jeter un oeil dans la relativité général pendant les vacances et essayer recommencer le calul. Mai c'est faut ce que je viens de d'exprimer au dessus?

Cordialement, Universmaster.

[Magnétar]

Bonjour,

Voilà en fait ce qui me pose problème c'est la validité de la formule donnant la force de gravité dans le cadre de la relativité restreinte (elle est bonne dans le cadre Newtonien mais je ne suis pas sur qu'elle le soit dans le cadre de la RR).

Bon maintenant en supposant que ce soit bon il faudrait que tu résolve d'abord l'équation différentielle du mouvement soit :



où


et je précise .

et là je t'avoue que je suis totalement incompétent pour résoudre ce genre d'horreur. En fait je sais même pas si l'on est capable de la résoudre analytiquement.

Une fois que tu as fait ça (bon courage !!!) tu obtiendras la fonction r(t) tu pourras en déduire v(t) en dérivant et sachant que dr = v dt en remplaçant r, v et dr par les expressions que tu en auras trouvés dans l'intégrale qui exprime W peut - être que tu pourras trouver (si elle est intégrable exactement) l'expression du travail de la gravité relativiste (toujours en supposant que la formule newtonienne est exacte en RR).

Ah oui j'oubliais ceci n'est valable (enfin j'espère) que si pour tout t.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite425270e0]

Bonjour,

Je ne comprends pas ton premier calcul, pourquoi je dois résoudre cela...?

Ok merci pour la suite... mais quand tu parles du cas Newtonnien et Relativiste, tu parles de la gravité F = -GMm/r² ?

Donc si je comprends bien, il est possible que cette formule n'est pas résolvable en RR. Avec la RG cela sera-t-il possible?

Cordialement, Universmaster.

[Magnétar]

Salut,

Je ne comprends pas ton premier calcul, pourquoi je dois résoudre cela...?

En fait pour t'expliquer ça j'ai besoin d'en savoir plus sur tes connaissances actuelles alors voilà connait tu la notion de dérivation et d'intégration (bon ça il me semble évident que oui mais c'est pour être sur), connais-tu les trois lois de Newton et si oui sous quelle forme les as tu apprises (donne moi les énoncés et les formules) et pour finir sais tu ce qu'est une équation différentielle ?

Ok merci pour la suite... mais quand tu parles du cas Newtonnien et Relativiste, tu parles de la gravité F = -GMm/r² ?

Donc si je comprends bien, il est possible que cette formule n'est pas résolvable en RR. Avec la RG cela sera-t-il possible?

Voilà alors il se trouve que quand tu es dans le cadre Newtonien, c-à-d que tu parles d'objets ayant une petite masse (enfin petite disons plutôt qu'on évitera la mécanique newtonienne dans le cas d'une étoile à neutron par exemple) et une vitesse faible par rapport à celle de la lumière, ta formule donnant la force gravitationelle est bonne, le seul problème c'est que Newton à supposé (en fait ça ne lui plaisait pas trop comme idée selon la légende) que l'interaction gravitationelle se propageait instantanément (ce qui est possible dans le cadre newtonien) et qu'il n'y avait donc pas de limite pour la vitesse d'un objet (toujours dans le cadre newtonien), sauf que, c'est totalement faux dans la relativité restreinte, l'interaction gravitationelle ne peut pas se propager instantanément (au maximum à la vitesse de la lumière et il semblerait que ce soit bien le cas) ce qui doit fausser la formule.

De plus chez Newton tu es dans un espace euclidien à trois dimension (celui que tu utilise tous les jours quand tu fait de la géométrie) et le temps est un "paramètre" qui est le même pour tout le monde, alors qu'en RR tu n'es plus dans un espace euclidien à trois dimension mais (et là on me corrige si je me trompe) dans un espace dit de Minkowski à 4 dimensions (3 d'espace et une de temps), donc en fait d'après moi les cadres de la RR et de Newton (ou plutôt Galilée mais bon) sont trop différents pour que tu puisse utiliser la formule de la gravité que tu connais, qui a été établie dans le cadre newtonien donc sans prendre en compte les effets de la relativité (d'Einstein).

Sachant que de toutes façons pour une bonne description de la gravité dans le cadre relativiste tu es obligé de passer non pas par la RR (qui reste simple) mais par la RG (et la niveau mathématiques on passe dans une autre sphère quand même), donc oui avec la RG c'est possible mais c'est beaucoup trop dur pour moi (en tout cas pour l'instant).

Voilà désolé pour le poste un peu long, et j'espère ne pas avoir dit de bétises (en tout cas pas trop).


PS : d'ailleurs je ne sais pas si le sujet est toujours bien placé ???...

[invite425270e0]

Bonjour, (oui le sujet a été déplacé )

Oui je connais la dérivation. Je n'est pas encore vu les intégrales en cours, mais j'ai lu quelques cours sur internet et fait deux trois exos de bases, je pense avoir compris un minimum. De même pour les équations différentielles, mais vraiment la base pour ceux-la.
Ensuite, les trois lois de Newton:
Principe d'inertie, somme des forces = 0
Seconde loi (dont je ne me suis jamais servi ) Somme forces extérieur = mv/d
Dernière loi, F(a vers b) = -F(b vers a)

Pas grave pour ton long post, il n'y a que des choses intéressantes alors aucun problèmes pour lire .

J'ai jeté un oeil dans un cour de RG, vraiment trop dur pour l'instant. Encore la RR après quelques temps d'études ça allait mais pour la RG... rien que le fait de ne pas avoir les outils mathématiques nécessaire .

Encore merci,
Cordialement, Universmaster.

[Magnétar]

Bonjour (ou plutôt bonsoir mais on va pas pinailler),

Bon alors pour commencer on va reprendre au loi de Newton :
- Première loi on est d'accord (à condition que tu rajoute les petites flèches de vecteur :

- Deuxième loi je suis pas sur que c'est ce que tu voulais taper donc :

- Troisième loi il semblerait que l'on soit aussi d'accord :

Bon tu remarque que la seconde loi fait apparaître une dérivée, celle de la vitesse (que l'on appelle accélération) donc les équations obtenues grâce à la seconde loi de Newton seront des équations différentielles (car une équation différentielle n'est rien d'autre qu'une équation faisant intervenir une grandeur et sa dérivée), bon maintenant ce qui m'embête un peu c'est que tu ne te soit jamais servi de la seconde loi de Newton, mais on va essayer quand même deux trois petits trucs pour en arriver à ce qui t'interesse .

Alors la seconde loi de Newton te dit :



soit en français que les sommes des forces appliquées à un solide est égales à la masse (constante chez Newton) que multiplie l'accélération de ce solide.

Mais comme chez Newton m est une constante on peut la passer à l'intérieur de la dérivée :



Or le produit est appelée la quantité de mouvement et se note .
Donc on peut réécrire cette seconde loi comme :



Bon en fait en RR on trouve un résultat très semblable (même si les concepts sont différents) :
(c'est en RR)

Sauf qu'ici mais m n'est pas constante comme chez Newton (et donc on ne peut pas écrire comme chez Newton que ) c'est pour ça que j'ai fait tout ce bazar pour écrire la loi de newton en fonction de plutôt qu'en fonction de m et pour que tu vois qu'il y a tout de même une analogie.

Bon maintenant tu veux calculer le travail de la gravité en RR (bon je redis que j'ai quand même de gros doutes sur la validité de cette idée). Le problème comme tu nous l'as dit c'est que tu as dans ton intégrale v qui dépend de r et donc pour calculer ton intégrale tu dois trouver v en fonction de r ou plutôt tu dois trouver r en fonction d'une variable (le temps par exemple, surement même) et v en fonction de cette même variable (donc le temps toujours), c'est en quoi cette loi (toujours en RR) devrait t'aider (enfin t'aider vu l'équa diff qu'on obtient c'est bof mais c'est pour expliquer l'idée).

Car si on prend ta situation tu as ton point matériel de masse m (avec ) qui est soumis à la force gravitationelle d'une masse M tel que où est un vecteur unité (sa norme vaut 1) qui "part" de M et pointe vers la position de m.
Donc la somme des forces est bien égale à la seule force de gravité s'exerçant sur m, d'où (n'oubliant pas ça ) :



Et comme on est en une seule dimension (le mouvement de m se fera uniquement dans l'axe de on peut "enlever" la notation vectorielle de façon à obtenir une équation faisant intervenir des grandeurs scalaires (pour faire plus simple des nombres plutôt que des vecteurs) soit :



ça c'est le pourquoi de mon équation précédente, car si tu trouve la fonction solution de cette équation différentielle (c'est à dire r(t)) tu pourras en dérivant r(t) trouver v(t) et sachant que écrire que dr = v(t)dt et donc intégrer ton équation (tu sais celle donnant le travail) en fonction de t.

Mais bon je rajouterais quand même que l'on ne sait pas résoudre toutes les équations différentielles (en fait on sait en résoudre qu'un petit nombre, c'est pour ça que l'on utilise les ordinateurs pour faire des calculs approchés).
Et de la même manière on ne sait pas non plus intégrer toutes les fonctions.

Bon enfin je te conseille quand même de trouver des exercices (même simples) qui te ferait utiliser la seconde loi de Newton (donc non relativiste) de façon à t'habituer à ce genre de calcul avant de passer à la RR, un exemple serai de trouver l'équation du mouvement d'un point de masse m en chute libre dans le vide (pas de frottement donc seulement soumis à son poids) à la surface de la terre (le cas de base par excellence, sa résolution ne demande pas tellement de connaitre les équations différentielles mais juste de savoir intégrer) juste histoire d'appliquer l'idée.

PS :

(en fait on sait en résoudre qu'un petit nombre, c'est pour ça que l'on utilise les ordinateurs pour faire des calculs approchés).

Je dis "on" mais c'est plutôt les scientifiques qualifiés qui font ça moi je n'y suis pas encore.