Petit problème de balançoire

[mamono666]

oui, car on suppose la corde tjrs tendu. donc c'est un cercle, mais apres, il faut s'amuser à l'exprimer selon tel ou tel repere.... un peu long...
mais le mieux, je crois, est de prendre le point fixe comme origine comme le disais Ouk A Passi.
-----

[GalaxieA440]

Ouais je suis en train d'essayer ça.

J'ai R² = (x-xa)²+(y-ya)². On connait xa et ya, qui correspondent au point de lacher en fait, donc ça pas de problème. Ensuite je développe, je passe les y à gauche et boum, j'ai un nouveau plynôme un peu pourrave. Je suis en train de faire péter delta la pou voir les solution, ensuite je simule ça pour voire

[mécano41]

Bonjour,

Si x=Lsin(beta) beta variant de theta à moins theta mais on quitte la trajectoire à beta=alpha
y=h+L-Lcos(beta)

Tu as tout cela dans les fichiers que j'ai donnés.

[GalaxieA440]

Et comment est-ce que tu obtiens ça, car en remplaçant dans l'équation du cercle, il me reste du y² ? Tu ne te sert pas de l'équation du cercle ?

[mécano41]

Si tu traces la courbe avec l'équation paramétrique x=Rcos(a) et y=Rsin(a) tu as bien un cercle de rayon R centré sur l'origine du repère considéré. Ici, j'ai simplement décalé l'origine puisque le repère qui nous intéresse a pour origine D et non O. O se trouve à h+L de D

Tu as du x² et du y² si tu traces y²=R²-x²

[GalaxieA440]

Ah ok, je ne connaissait pas ces équationsparamétriques. Grosse lacune réparée, merci encore mécano

[pmdec]

Bonjour,

Et bien comme je l'ai expliqué dans les précédents posts : l'équation d'un trajectoire parabolique de ce type est :
y = -2g/(2(Vicosa)²) x² + tana x + yo
Il s'agit bien la d'un trinôme , or on veut connaitre x, quand la fillette touche le sol, autrement dit que y = 0. Donc il faut résoudre le trinôme ci dessus = 0. Ainsi on exprime très simplement x en fonction de alpha. La seule différence avec vos méthode, c'est qu'on trouve la distance depuis le point de lacher, pas depuis le point d'attache. Mais le problème est finalement résolu, par ajout de la distance entre le point d'attache et celui de lacher : Lsina.
Donc finalement cette méthode donne bien les mêmes résultats que vous trouvez par vos méthodes. Seulement je n'ai pas encore calculer de moi même la dérivé (pour le plaisir de jouer avec les symboles et pour satisfaire mon esprit, qui me rappelle sans cesse que Newton n'avait point accès au solveur excel ).

Je posterai très prochainement un récapitulatif de tous ça avec une belle simulation excel corrigée et améliorée.

Cordialement

Arthur

Ca dépend de ce que tu appelles "ajout" de Lsina : si tu "intègres" cette donnée supplémentaire avant de résoudre, c'est OK.
Mais si tu ajoutes Lsina après avoir résolu, NON : l'angle optimal n'est pas celui pour lequel on obtient la plus grande portée par rapport au point de lâcher :
La portée maxi par rapport au point de lâcher est de 1,113 pour un angle de 17,294° (portée par rapport à la verticale des attaches de 1,5589 m.).

Pour l'angle optimal (27,948°), la portée par rapport au point de lâcher n'est que de 0,9967 m. (à laquelle en ajoutant Lsina soit 0,7030 m. on obtient un total de 1,6997 m.).

Le tout pour des cordes de 1,5 m., une hauteur de balançoire à l'arrêt de 0,5 m. et un angle de départ de 45°.

Il est "rentable" d'attendre au-delà du point de portée maxi car on gagne à la fois de la distance et du "temps de vol".

J'ai le "sentiment" que l'angle optimal doit pouvoir être trouvé par une méthode très différente qui consisterait à comparer les courbes avant et après le lâcher (cercle + équation horaire fonction de cos(theta) et de rac(L) vs coefficient de forme de la parabole + H), mais je ne sais pas par quel bout la prendre ... la seule donnée certaine est que la portée est proportionelle à H/L mais je trouve pas de rapport simple avec theta : Excel donne y = 8E-07x^3 - 0,0001x^2 + 0,0001x + 0,7744 pour la courbe de tendance du rapport angle optimal/angle de départ, mais je ne l'ai pas vérifiée (Malgré un R²=1, Excel fait parfois de grosses erreurs dans ce calcul).

A+
PM

[mamono666]

Bonjour,Ca dépend de ce que tu appelles "ajout" de Lsina : si tu "intègres" cette donnée supplémentaire avant de résoudre, c'est OK.
Mais si tu ajoutes Lsina après avoir résolu, NON [...]

oui, il a raison

[GalaxieA440]

Et ba écoutez la tout de suite je ne vois pas encore pourquoi ça n'irai pas, mais je regarderai ça ce soir. En attendant vous pouvez poster 3 ou 4 valeurs de x max trouvées avec différentes valeures de L et h, comme ça je rechercherai les mêmes ce soir....

A ce soir alors

[GalaxieA440]

JE ne vois vraiment pas pourquoi ça n'irai pas comme méthode. Considérons la chose en deux étapes :
1), la gamine reste assise sur la balancoire, elle lache à alpha, donc elle parcoure une distance Lsina.
2), elle saute de la planche, elle parcoure une trajectoire x=le polynome que j'ai posté (et qui marche aucun problème la dessus )

Donc si elle lache à alpha, elle parcourt une distance de Lsina + X depuis l'abscisse du point d'attache...

[GalaxieA440]

bon alors je post une nouvelle version de mon programme tout corrigé, libre à vous de jouer avec, mais je ne pense pas qu'il y ait d'erreur la dessus...

Par contre j'ai encore un peu de mal à représenter la trajectoire depuis la prise d'élan de la balancoire, et l'antivirus m'empêche de retélecharger les pièces jointes (je suis sur un nouvel ordi). J'attendrais quelques jours pour pouvoir avoir à nouveau accès aux progr de mécano... j'ai un peu de mal avec le changement de repère

Cordialement

[invitea250c65c]

Bonsoir,

Excuse moi je n'ai pas lu tous les messages du post (je viens de le decouvrir ) mais j'ai essayé il y a deux semaines de faire un tel programme de balistique sur ma calculatrice : on a un canon (ou autre) qui tire un boulet a une vitesse v0, a une hauteur h0 et qui fait un angle a avec l'horizontale (comme toi en fait), j'ai déterminé des équations qui donnent la hauteur en fonction de la longueur (je trouve le même trinome que toi), l'altitude du sommet, le temps au bout duquel le sommet est atteint, la portée, ... (je ne suis pas sur de tout, il y a trois équations dont je n'ai pas confirmation, mais je pense que c'est bon, pour les autres je sais qu'elles sont bonnes (j'ai un livre dans lequel c'est confirmé) ) , si ca t'interesse je peux te poster ca, j'ai essayer de t'envoyer un message privé mais ca ne marche pas.

A+

[GalaxieA440]

salut

J'ai moi aussi un prgr excel de la trajectoire d'un boulet de canon, mais sans la notion du temps. Donc ton prgr m'intéresse. Si le MP ne marche toujours pas, tu peux le poster en ZIP sur ce fil

Cordialement

[pmdec]

Bonjour,

JE ne vois vraiment pas pourquoi ça n'irai pas comme méthode. .../...

Ta feuille Excel donne effectivement les mêmes résultats*** que la mienne en utilisant aussi ... le solveur !

Je pensais que tu voulais arriver au résultat sans utiliser le solveur (cf. ton post #99 : "La seconde est la solution de l'équation du trinome qui permet directement de trouver (par résolution graphique pour l'instant, je me ferai plus tard la dérivéel'angle alpha par lecture du maximum")").

Avec la méthode que tu annonçais (annulation la dérivée de "ta" fonction (en choisissant éventuellement l'intervalle qui va bien)), ajouter Lsina après ne pouvait pas donner le bon résultat (cf. mon post #127).

Mais en utilisant le solveur pour "maximiser" x, tout calcul (exact) de x en fonction de a fait l'affaire, bien sûr, le "tien" en particulier !

Reste, comme tu disais : "[...] mon esprit, qui me rappelle sans cesse que Newton n'avait point accès au solveur excel" ... Il faudrait donc trouver le résultat sans le solveur, par exemple en annulant la dérivée de x = F(a) et ceci dans l'intervalle qui va bien (soit 0<=a<=theta) s'il y a plusieurs racines à F'(a) = 0. Newton ne faisait pas non plus d'artillerie : la fonction que tu utilises provient de l'application à un cas particulier des équations de mouvement en chute libre. Elle est donc moins "fondamentale" que celles déjà utilisées dans ce fil.

Bref, pour l'instant, il n'y a que mécano41 qui a proposé une vraie solution au problème !

***les différences sur les derniers chiffres proviennent sans doute d'un réglage différent du solveur.

PS : j'ai remis ta feuille en pièce jointe : il y avait des simplifications possibles dans les formules, mais je ne suis pas allé jusqu'au bout : g doit disparaître du calcul de distance (car n'intervient pas dans le résultat), et j'ai l'impression que le terme (h0 + L) devrait pouvoir se mettre en facteur (car la distance est proportionnelle à h0 + L).

[invitea250c65c]

Bonjour,

Moi en fait je n'ai pas fait de programme sur l'ordi, j'en ai un petit sur ma calculette mais il est pas fini et je n'ai pas de cable donc je ne peux pas poster ca ici.
Par contre quand je disais que je pouvais "poster ca" je parlais des équations et formules que j'ai déterminé.
Voici plusieurs formules, je te les donne directement sans explication, si tu as besoin que je t'explique comment je suis arrivé a telle ou telle formule n'hésite pas.

L'objet est lancé avec une vitesse , à une hauteur et il fait un angle (au temps t0, car l'angle varie au cours du temps) avec l'horizontale.h c'est la hauteur (axe des y), l c'est la longueur (axe des x), t bien sur le temps, l'angle formé avec l'horizontale, v la vitesse instantannée, P la portée de l'objet (c'est à dire la distance horizontale (longueur) qu'il parcourt avant de retomber par terre (et pas la distance qu'il parcourt avant de repasser a la même hauteur que celle a laquelle il a été lancé)), le temps total qui s'est écoulé entre le lancer et la chute de l'objet à terre. g=accélération de la pesanteur =-9.8m/s² dans les conditions normales (attention à ne pas oublier le "moins"). Voir piece jointe pour un schéma de la situation.
















(hauteur maximale atteinte)

(longueur au bout de laquelle hmax est atteinte)

(temps au bout duquel hmax est atteinte)






J'espere que ca a pu t'aider, je vais essayer de faire un petit programme sur l'ordi, je te previens quand je l'ai fini (ca ne sera peut etre pas tout de suite parce que j'ai pas mal de choses a faire en ce moment).

A+

[invitea250c65c]

Ah pardon petite erreur , c'est ( pas )

[mamono666]

eh ben, lol, il devient long ce sujet

sinon, pour GalaxieA440, finallement je retire, ta méthode doit fonctionner à priori. c'est juste qu'il faut pas faire l'erreur de résoudre ton polynome et dire: voila tel theta est optimal puis d'ajouter L sin(theta).

Il faut résoudre le polynome puis ajouter L sin(theta) et conclure....bref, c'est ce que tu avais du faire en fait.

[pmdec]

Bonsoir,

eh ben, lol, il devient long ce sujet

sinon, pour GalaxieA440, finallement je retire, ta méthode doit fonctionner à priori. c'est juste qu'il faut pas faire l'erreur de résoudre ton polynome et dire: voila tel theta est optimal puis d'ajouter L sin(theta).

Il faut résoudre le polynome puis ajouter L sin(theta) et conclure....bref, c'est ce que tu avais du faire en fait.

Pareil pour moi (= mon post #134).
A+
PM

[GalaxieA440]

Donc voila tout s'arrange

D'autre part j'ai posté sur la rubrique maths : j'observe que la distance x en fonction de alpha est une parabole (ou semble l'être). Le truc c'est que si la fonction x(alpha) pouvait s'écrire sous la forme d'un trinôme, alors on pourrait déterminer les coordonées du sommet, et donc le maximum, très facilement, sans résoudre x'=0. Mais je n'ai pas encore réussir à modifier l'écriture de la sorte.

++

[pmdec]

Bonsoir,

.../...j'observe que la distance x en fonction de alpha est une parabole .../...

Amha, impossible (sauf, peut-être, pour des valeurs particulières de L, H et théta (mais je n'y crois même pas, a priori)). En tout cas, entre la verticale des attaches et le point de lâcher, la concavité de la trajectoire est tournée vers le haut ...
A+
PM

[invitea250c65c]

Bonjour,

on pourrait déterminer les coordonées du sommet, et donc le maximum, très facilement, sans résoudre x'=0. Mais je n'ai pas encore réussir à modifier l'écriture de la sorte.

Excuse moi par avance, je n'ai peut etre pas tres bien compris ce que tu cherchais.

Quand tu dis que tu cherches les coordonnées du sommet, tu veux bien parler de la hauteur y et de la longueur x ? Parce que c'est possible de le faire sans résoudre x'=0, je peux te montrer comment on fait si tu veux.
Tu as les coordonnées du sommet dans les équations que je t'ai envoyé, sauf que moi j'ai écrit (toi x) et h (toi y). Il y a aussi le temps.

Si tu cherches l'équation de moi je trouve quelque chose de la forme , avec a et b des coefficients qui dependent de g, v0 et (l'angle initial avec l'horizontale) et de. Si tu veux que je t'explique comment j'arrive a ca n'hésite pas parce que quand on voit les formules comme ca ca ne parle pas beaucoup.

++

[GalaxieA440]

En fait ma fonction n'exprime pas y=f(x), mais x = f(alpha) ou alpha est l'angle pour lequel on lache. LA courbe de cette fonction a l'allure d'une parabole, mais l'écriture n'est pas du tout celle d'un trinôme. Effectivement si j'arrive à l'écrire sous forme d'un trinôme je pourrais avoir très facilement les coordonées du sommet, mais pour l'instant pour avoir le max, je ne peux que calculer x'=0.

Si tu as une méthode pour avoir au moins l'abcisse du sommet de la parabole avec l'écriture actuelle, je suis intéressé en effet...

[mamono666]

je comprend pas trop pourquoi tu veux l'abscisse du max? enfin, le but?

[GalaxieA440]

En fait j'ai ma fonction x en fontion de alpha, donc le maximum de cette fonction est la valeure de alpha (abcsisse) pour laquelle x est maximale (ordonnée). Or cette fonction ayant une parabole comme courbe, les coordonnées x et y du max seraient faciles à trouver avec un trinôme. Autrement dit alpha optimal serait beacoup plus simple à trouver.

Compris ? je ne sais pas si je suis très claire...

[mamono666]

oui, je crois comprendre. Maintenant je vais essayer de calculer ca pour voir

EDIT: oh mince mon age à changer :-/

[GalaxieA440]

aaaaah

Et ben joyeux anniversaire mamono666 (au fait le 666 c'est pourquoi ?). 26 ans ça paye bien , ya déja eu le temps d'en faire des choses (mais crois moi je viens de me faire opérer des dents de sagesses, ya des choses qu'on fait dans la vie et qu'on recommencerai pas ). Alors bonne 26° année ...

Sinon pour en revenir au problème, le tout est de réussir à exprimer la fonction de x=f(a) sous la forme d'un trinome, après le tour est joué...

[mamono666]

merci le 666 c'est pour mon coté rebelle ^^ (et moi ma premiere dent de sagesse commence à poussée tt juste...et coup de bol j'en ai que 2 selon les radios...parait que c'est l'evolution lol)

Pour le pb: l'expression je suis parti de mon trinome...et pour sortir le alpha, euh, je crois pas qu'on puisse...mais j'ai pas cherché longtemps non plus. Donc si tu as l'expression je suis preneur

[invitea250c65c]

Bonjour,

En fait ma fonction n'exprime pas y=f(x), mais x = f(alpha) ou alpha est l'angle pour lequel on lache. LA courbe de cette fonction a l'allure d'une parabole, mais l'écriture n'est pas du tout celle d'un trinôme. Effectivement si j'arrive à l'écrire sous forme d'un trinôme je pourrais avoir très facilement les coordonées du sommet, mais pour l'instant pour avoir le max, je ne peux que calculer x'=0.

Si tu as une méthode pour avoir au moins l'abcisse du sommet de la parabole avec l'écriture actuelle, je suis intéressé en effet...

OK maintenant je comprends mieux, enfin je crois .
Je croyais que quand tu parlais de l'angle tu parlais de l'angle que le projectille faisait a un moment donné (ou a une distance donnée ou a une hauteur donnée, ca depend en fonction de quoi on l'exprime) avec l'horizontale, mais en fait il s'agit de l'angle avec lequel on lance l'objet.
Donc en fait tu recherches l'angle pour lequel la portée sera maximale.
En effet y'aura besoin de la dérivée je pense, je ne pense pas qu'on puisse mettre ca sous forme d'un trinome :

Bon déja on est d'accord que (sans résistance de l'air ...):



Avec h la hauteur (y), la longueur (x), g=-9.8m/s², la vitesse initiale, la hauteur du lancer par rapport au sol et l'angle (par rapport a l'horizontale) avec lequel on a lancé l'objet.
Nous on veut connaitre la portée, c'est à dire la distance () que va parcourir l'objet avant de retomber au sol.
Quand l'objet tombe au sol, on a h=0.
On veut donc trouver quand h=0.
Il nous faut donc résoudre l'équation
On a donc .
Equation du second degré en , on peut simplifier cela en effectuant la division par 2 du dénominateur et en remarquant que , on obtient alors
On remarque que est toujours positif : le denominateur est toujours positif (nul pour =90° ou mais ce sont des cas particuliers ou il est facile de voir que la portée est de 0), et le numerateur aussi (car le est négatif étant donné que g<0). L'équation admet toujours deux solutions.
Si on se fait un petit schéma, on voit que la hauteur est nulle dans deux cas : avant que l'on ait lancé l'objet (donc négatif), mais ce cas ne nous interesse pas et le cas positif qui nous interesse.
Ecrivons les solutions :


On remarque que (ne pas oublier que g<0).
On montre de même que et que (on on peut montrer que donc que le numérateur est positif et donc que est négatif (le denominateur g est négatif)), ce qui nous assure bien que la solution qui nous interesse est .

La portée est donc donnée par l'expression et en devellopant un peu on trouve que la portée P en fonction de l'angle est :



Donc on est loin du trinome, même si graphiquement ca y ressemble peut être un peu.
Apres il y a peut être moyen de faire plus court ou mieux, ca c'est ma méthode dans le cas général, je ne vois pas trop comment faire autrement ou mettre ca sous forme d'un trinome même c'est vrai qu'à dériver après c'est un peu long et puis avec les fonction trigo une petite erreur de signe dans la derivation du sinus ou cosinus suffit pour tout faire planter.
Normalement on trouve que la portée est maximale (en théorie, parce qu'en pratique ce n'est pas tout à fait ca en général, avec la résistance de l'air ...) pour =45°, du moins quand (on lance l'objet a partir du sol, de l'origine, sans hauteur initiale), ca simplifie beaucoup les calculs. Je ne l'ai pas fait dans le cas général ou n'est pas forcément nul je vais essayer de voir ca mais je pars en vacances demain donc je ne suis pas sur de pouvoir le faire.


C'est bien ce que tu voulais? J'espere que j'ai répondu à ta question .

A+ et bon anniversaire avec un peu de retard mamono666

[invitec053041c]

ya des choses qu'on fait dans la vie et qu'on recommencerai pas

[tchat]

Oui comme l'appendicite la deuxième semaine de sa rentrée en sup .

[/tchat]

[mamono666]

2 semaines

en 2 semaines tu remplis 3 classeurs en prepa...courage