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Petit problème de balançoire



  1. #1
    GalaxieA440

    Petit problème de balançoire


    ------

    Bonjour!

    Je m'amuse un peu avec les pendules en ce moment, et je cherche à déterminer, si on considère une balançoire sur laquelle est assise une fillette, si celle-ci prend un angle de -45° (élan), se lache, passe à la verticale, à quel angle elle doit ensuite "sauter" de la balancoire, qui est à une certaine distance du sol, pour ratterir le plus loin possible.

    Pour l'instant j'ai tout réussi à exprimer en tenant compte des deux paramètres variables, à savoir la longueur des cordes qui tiennent la balançoire, et l'angle pour lequel la fillette saute de la balançoire. Ramener à une fonction mathématique, je trouve que la fillette atteint va sauter de la balançoire avec une vitesse maximale au moment ou elle passe à la verticale (angle de 0°).

    Le problème, c'est que je ne parvient pas à calculer la longueur (horizontale) de son saut. Je connais sa variatin de hauteur, sa vitesse initiale, et sa vitesse finale, quel que soit l'angle, mais le théorme de l'énergie cinétique ne me permet pas de trouver la longueur de son saut.

    Je suppose qu'il me faut utiliser la seconde loi de Newton, or on a encore pas réellement vu son appplication en cours. D'autre part, pour utiliser v=d/t, je ne sais n'ai aucune idée de la notion du temps pendant son saut, ni aucune idée de comment la prendre en compte.

    Quelqu'un pourrait il m'aider à résoudre ce problème, simplment l'histoire de calcul de la longeur du saut, pour le reste je me débrouillerai ensuite tout seul et je posterai mes résultats avec un peu plus de détails, une fois que j'aurais terminé....

    Merci bien

    Arthur

    -----

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  3. #2
    Ledescat

    Re : Petit problème de balançoire

    Bonjour.
    Il s'agit en fait d'une étude ballistique (pauvre fillette).
    Il faut tenir compte de la norme dela vitesse v0, de l'angle initial alpha de cette vitesse, et de la position initiale (x0,z0).

    D'après, d'après la 2nde loi de Newton, tu as:

    Tu décomposes cette relation sur x puis sur z. Et tu intègres jusqu'à trouver l'expression x(t) et y(t).
    Au passage, tu utiliseras l'angle alpha pour exprimer la vitesse initiale horizontale, et la vitesse initiale verticale de la fillette.
    Enfin, tu détermines les solutions en t de l'équation z(t)=0, Tu reportes dans x(t) et cela te donnera la portée. Ouff
    Si tu veux plus de détails demande.

    ps: tu parles de v=d/t . As-tu déjà vu que la vitesse est la dérivée par rapport au temps de la position. Et as-tu vu l'intégration surtout ?
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    yat

    Re : Petit problème de balançoire

    Les éléments dont tu auras besoin sont vx, vy et h, les composantes horizontale et verticale de la vitesse de la fillette et son altitude au moment du saut...

    ...et savoir intégrer une fonction polynome. Dans le cas contraire, je ne sais pas vraiment comment il faudrait s'y prendre.

    Soit f(t) l'altitude de la fillette à l'instant t (l'instant 0 étant l'instant du saut), f''(t)=-g, donc en intégrant, f'(t)=-gt+c1. Comme f'(0)=vy, c1=vy.
    En intégrant une deuxième fois, f(t)=-gt²/2+vyt+c2. Comme f(0)=h, c2=h.

    L'altitude de la fillette en fonction du temps est donc -gt²/2+vyt+h. En résolvant l'équation tu vas obtenir deux solutions, une avant et une après le saut. La deuxième te donne donc la durée d du vol.

    La vitesse horizontale étant constante, la distance horizontale entre le point du saut et l'impact est tout simplement vxd.

    EDIT : grillé par Ledescat

  5. #4
    mamono666

    Re : Petit problème de balançoire

    Alors ca fait combien pour une fillette de 30kg et une longueur de corde de 1m50

    (histoire que je m'amuse avec ma ptite soeur ^^)
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  6. #5
    Ledescat

    Re : Petit problème de balançoire

    Si tu n'as jamais vu la 2nde loi de newton (ou ses applications) et que tu ne maîtrises pas l'intégration, je crains que ce soit quand même assez compliqué.
    Si je ne me suis pas trompé, j'arrive à la fin à une formule de portée très moche avec une racine de racine et des racines un peu partout.
    En effet, une première racine intervient pour déterminer la norme de la vitesse initiale (1/2mv0²), et le calcul de la portée fait intervenir une résolution d'équation de degré 2...
    Cogito ergo sum.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mamono666

    Re : Petit problème de balançoire

    Deja rien qu'en regardant le z(t) = -1/2 gt ^2 ...etc puis trouvé les racines. puis déterminé à partir des solution la distance x(t_racine) . Apres faut voir quelle parametre permet de maximiser le x(t) et donc remonter à la vitesse initiale adéquate et donc à l'angle initial adéquate...ca en fait des calculs

    faudrait un beau ptit logiciel qui fait ca tt seul
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

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  10. #7
    Ledescat

    Re : Petit problème de balançoire

    D'après ce que j'ai fait, la portée maximale est quand même lorsqu'elle se lâche à l'horizontale.
    Mais j'ai un petit problème quant à la vitesse initiale.

    edit: oula, j'ai fait une méchante erreur de signe , c'est bien connu que le poinds est vertical dirigé vers le haut!
    Cogito ergo sum.

  11. #8
    GalaxieA440

    Re : Petit problème de balançoire

    Salut à tous

    J'ai pas encore vu les intégrations en cours, mais j'ai déja fait quelques exos de bases et leçons sur les intégrales et primitives. Cela dit tout cela me semble un peu complexe, donc je vais essayer de relire tout ça attentivement dans la soirée...
    Merci en tout cas pour vos réponse

    En réponse à Ledescat, je trouve que le vetceur vitesse au moment du saut ayant la plus grande valeur, c'est bien quand la fillette passe à la verticale (pas à l'horizontale ).

    Pour Mamono666, la masse ne change rien à l'affaire, que la fillette pèse 30kg ou 1 tonne, elle arrivera à la verticale à la même vitesse (je néglige les frottements de l'air la...)
    La vitesse pour 1m50 de corde, c'est donc :

    1/2 m (vf)² = mg (Delta h)
    donc Vf² = 2g(Delta h)

    La variation de hauteur se trouve pas trigonométrie (on suppose qu'elle prend 45° comme élan )

    Donc (delta h ) = 1.5-1.5cos45°

    Donc Vitesse à la verticale (vitesse max) = RACINE(toulebordelaudessus) = 2.94 m/s = 10.6 km/h

    Voila donc j'essais ce soir et si je n'y arrive pas je poste pour redemander de l'aide

    Merci en tout cas

    Arthur

  12. #9
    GalaxieA440

    Re : Petit problème de balançoire

    ouais alors j'ai beaucoup de mal à suivre la méthode :

    J'ai tout de même une question, permet-elle de calculer la longueur de la courbe parcourue par la fille, ou alors , supposant qu'elle lache en A, et qu'elle raterrisse en B, la longueur horizontale du triangle rectangle d'hypothénuse AB ????

  13. #10
    Ledescat

    Re : Petit problème de balançoire

    En fait quand je disais qu'elle lâchait à l'horizontale, je voulais dire que sa vitesse était horizontale (donc lorsque la balançoire est à la verticale ).
    Notre méthode te donne les équations horaires: à un temps t, y vaut..., x vaut...
    Quand je résoud y=0, je cherche le temps pour lequel l'altitude s'annule. En reportant ce temps dans l'expression x(t), ça te donnera la distance horizontale, la longueur horizontale du triangle...
    Cogito ergo sum.

  14. #11
    GalaxieA440

    Re : Petit problème de balançoire

    ok

    Bon de toutes façon je pense que je vais attendre d'être en TS pour pouvoir gérer ca correctement (encore faudra t il que je n'oublie pas qu'il y aura le bac à la fin de l'année).

    Et donc vous êtes d'accord avec le fait que c'est au moment ou la balançoire est verticale que la fille à le vecteur vitesse le plus important. Donc c'est si elle lache à ce moment qu'elle atterrira le plus loin de la balançoire ??? Je doutais parce que sa tracecoire n'est "qu'une moitiée" d'une parabole. Si l'angle n'est pas nul, alors elle aura vraiment une trajetoire parabolique.

    Excel peut beacoup aider à visualiser

    Merci en tout cas

    Arthur

  15. #12
    Ledescat

    Re : Petit problème de balançoire

    Ton problème est intéressant et la réponse pas si évidente que ça.
    Le mouvement sera en effet un morceau de parabole.
    Seulement, plus elle lâchera proche de la verticale, plus sa vitesse initiale sera importante, mais moins l'angle de départ le sera.
    Plus elle lâchera loin de la verticale, moins sa vitesse sera importante mais plus l'angle de départ sera important.
    Je m'y pencherai peut-être un peu plus .
    En tout cas merci pour l'idée !
    Cogito ergo sum.

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  17. #13
    GalaxieA440

    Re : Petit problème de balançoire

    Mais de rien de rien
    Normalement je pense qu'on peut répondre à ça uniquement en se ramenant à l'étude d'une fonction. Néammoins il serait plus simple de simuler sur excel, et de visualiser les trajectoires en modifiant les paramètres.

    Dans tous les cas, tes résultats m'intéressent

    Pour ma part, voici un résumé de l'étude que j'ai faite.
    Départ d'un angle de -45°, balancoire suspendue par des cordes de longueurs L0.
    Avec le th de l'énergie cinétique, on trouve que le vitesse a la verticale = RACINE(2g(L0-L0cos45°)). Après quoi la balançoire remonte.

    Ainsi j'exprime la vitesse de la balançoire en fonction de l'angle (x) lors de la remontée :
    V = RACINE(2g(-(L0-L0cosx)+(L0-L0cos45°)))
    En prenant n'importe quelle valeure de L0, on peut simplifier l'écriture, puis tracer la courbe, qui admettra un maximum pour x=0, qui correspond à la valeur de la vitesse à la verticale (vitesse max).

    Après quoi on garde x=0°, puisque c'est la valeur pour laquelle la vitesse sera la plus grande, et donc on a :
    V = RACINE(2g+(L0-L0cos45°)), on trouve une droite croissante strictement, donc on en conclut que la vitesse sera d'autant plus grande que la corde est longue.
    Donc voila tout ce que je peux faire à mon niveau.

    C'est vrai que se serait sympa d'avoir les résultats du problème...

    ++

  18. #14
    Ledescat

    Re : Petit problème de balançoire

    Citation Envoyé par GalaxieA440 Voir le message
    Mais de rien de rien
    Normalement je pense qu'on peut répondre à ça uniquement en se ramenant à l'étude d'une fonction.
    Oui c'est exactement ça.
    A cette heure-ci j'ai un peu de mal , mais j'essaierai de m'y pencher.
    Tu verras un peu plus tard qu'en revanche, pour trouver la fonction theta(t) (l'angle que fait ton pendule avec la verticale par exemple en fonction du temps), il faudra faire des approximations de petits angles. Sans ça, on est incapable de modéliser cette fonction avec les fonctions usuelles mathématiques (cosinus,sinus, polynômes etc...).
    Mais c'était une apparté, tu t'y prends plutôt pas mal pour le moment.
    Tu as juste besoin de quelques connaissances sur le tir ballistique (chute libre). D'ailleurs en TS, la portée ou la flèche (hauteur maxi) seront les questions les plus compliquées en rapport avec le sujet. Donc pas de panique si tu as un peu de mal pour le moment !
    Cogito ergo sum.

  19. #15
    planck

    Re : Petit problème de balançoire

    on montre que la trajectoire d'un point dans ce type de tir est:

    avec z la hauteur/altitude de ton point, x la distance parcourue horizontalement, l'angle de tir avec l'horizontale, le module de la vitesse initiale, l'altitude initiale.

    La portée se calcule en résolvant selon x l'équation (abscisse x en lequel le point a une altitude nulle!).

    L'altitude initiale dépendra de l'angle d'où ton point (ou ta fillette ) partira. La vitesse initiale, idem.
    Finalement, la portée est une des solutions à l'équation du second degré que je t'ai proposée, et tu peux t'arranger pour que cette portée ne s'exprime qu'en fonction de l'angle . Il faut ensuite dériver la relation liant portée et angle, et trouver qui annule cette dérivée (et vérifier que c'est bien un maximum, éventuellement)
    .

    Pas certain que tu arrives à résoudre explicitement en fonction de . Dans ce cas, il faut résoudre numériquement!

    Bon, j'espère que j'ai pas dit trop de bêtises, et que je suis suffisamment clair, il est tard, enfin, je suis surtout fatigué...
    Si t'as d'autres questions, n'hésite pas

    ++
    Dernière modification par planck ; 19/07/2007 à 23h32.

  20. #16
    mamono666

    Re : Petit problème de balançoire

    en tout cas si elle pese une tonne faudra bien choisir la corde

    Sinon, GalaxieA440, sans calcul tu pouvais savoir que ca vitesse la plus grande est pour la position verticale de la corde. Car tu sais que l'energie mécanique se conserve (on neglige les frottements)...

    mais ce n'est pas forcement pour cette position que l'on va le plus loin...car ca dépend aussi de la hauteur du siege de la balancoire par rapport au sol....

    bref, calcul assez long...le mieux c'est de tester ^^
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  21. #17
    mécano41

    Re : Petit problème de balançoire

    Bonjour,

    En numérique, j'arrive à cela (sauf erreur!). J'ai mis arbitrairement le siège à 0,75 m du sol en position basse.


    Cordialement
    Fichiers attachés Fichiers attachés

  22. #18
    GalaxieA440

    Re : Petit problème de balançoire

    Salut

    Merci pour le boulot mécano 41, j'y jette un oeil dès que la pièce jointe est validée.

    D'après les dires de Planck (hier 23h28), il faut en fait résoudre :

    -0.5g(x²/(2g(-(L0-L0cosa)+(L0-L0cos45°)))cos²a)+xtana+L = 0

    où L est la distance balançoire sol, qui est égal à L1+deltaH, ou L1 est la distance balancoire sol à la verticale, et delta h bien sur la variation de hauteur, soit

    L = L1 + (L0-L0cosa)

    Même si on prend une valeur pour L0 disons 10), l'équation semble bien balèze à résoudre...

    J'ai hate de voir les résultats de mécano...

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  24. #19
    GalaxieA440

    Re : Petit problème de balançoire

    Ca y est vu

    Donc tu trouve un angle de 32° pour atteindre la distance max : assez surprenant...

    Ma question est, cet angle est il le même quel que soit la distance minimale sol-balancoire ?
    Merci en tout cas de t y être penché

    Arthur

  25. #20
    mécano41

    Re : Petit problème de balançoire

    Pour compléter ce que j'ai donné plus haut...

    Pour l'expression de la vitesse en B on a :





    d'où : avec :



    d'où :

    donc la vitesse initiale V_i pour la trajectoire parabolique est égale à V_b :



    Pour la trajectoire parabolique :

    On résoud l'équation de la trajectoire ci-dessous (c'est la même que Planck a donnée plus haut) pour Y = 0 :



    on arrive à deux racines dont seule celle-ci correspond au cas traité (l'autre correspond au point d'intersection de la parabole avec l'axe X avant le point de départ)



    Pour trouver l'angle permettant la portée maximale il faudrait trouver pour quel angle alpha X est maxi donc pour quelle valeur de alpha la dérivée de X s'annule.

    La dérivée est :



    mais là, je ne sais pas sortir alpha (si quelqu'un sait faire... je prends ). J'ai donc laissé tomber et je l'ai fait en numérique à partir de l'équation de x donnée précédemment.

    Cordialement

  26. #21
    mécano41

    Re : Petit problème de balançoire

    Citation Envoyé par GalaxieA440 Voir le message
    Ca y est vu

    Donc tu trouve un angle de 32° pour atteindre la distance max : assez surprenant...

    Ma question est, cet angle est il le même quel que soit la distance minimale sol-balancoire ?
    Merci en tout cas de t y être penché

    Arthur
    Non, l'angle varie un peu. Si tu veux t'amuser avec l'application EXCEL sans la refaire, laisse-moi une adresse E-mail en message privé.

    Cordialement

  27. #22
    GalaxieA440

    Re : Petit problème de balançoire

    ok alors attend, j'essais de reprogrammer seul l'application excel. Si je n'y arrive pas je t'envoie mon email

    Pour l'équation, je soumet ça à un pote à qui ça peut plaire, mais avec la tronche qu'elle a, faut aimer manipuler pour oser s'y attaquer...

    ++

  28. #23
    GalaxieA440

    Re : Petit problème de balançoire

    Il me semble détecter une erreur pour Vi : cosa-cosa = 0, soit tu voulais mettre 45°, soit il faut changer de variable pour l'angle qui sert de prise d'élan.
    Ou me tromps-je ?

  29. #24
    mécano41

    Re : Petit problème de balançoire

    Erreur de recopie ! c'est bien :



    pour VB et pour Vi

    Désolé !

  30. Publicité
  31. #25
    GalaxieA440

    Re : Petit problème de balançoire

    et y0 ça correspond à quoi, c'est la distance la plus courte sol-balançoire ?

  32. #26
    mécano41

    Re : Petit problème de balançoire

    Non, Yo c'est BE. C'est le départ de la trajectoire parabolique. La hauteur la plus courte c'est h.

    Je viens de me rendre compte d'un truc a priori bizarre mais qui est bon "mathématiquement" : si tu mets h =0, tu as quand même une distance de chute, ce qui est normal puisque le "pendule" remonte quand même en B puisque mathématiquement, on ne connaît pas le sol.

    ...mais comme le point A ou B représente le CdG du corps, ne fais pas faire ça à ta frangine, elle ne te le pardonnerait pas!

  33. #27
    GalaxieA440

    Re : Petit problème de balançoire

    Ca y est j'ai fini de programmer excel, mais je trouve des valeurs qui semblent différentes.

    Pour 10 m de longueur de cordes, et h = 0.75, je trouve x=4.307 et y=-2.186. Ca te semble bon ?

    Sinon tu peux m'envoyer ton programmer, je regarderai les sources et je m'amuserai avec, mais tu devrais aussi le poster sur FSG

    Mon mail ; GalaxieA440@aol.com
    Cimer en tout cas

  34. #28
    mécano41

    Re : Petit problème de balançoire

    Non, pour L = 10 m, h =0,75 m et theta = 45° je trouve :

    Vi = 4,972 m/s
    EC = 2,648 m
    DC = 8,179 m

    Je ne mets pas le fichier ici car les modérateurs demandent d'éviter les .zip (et c'est le seul moyen d'envoyer de l'EXCEL ici)

    A l'avenir, ne mets pas ton adresse E-mail ici mais en message privé (attention aux malveillances!)

  35. #29
    mécano41

    Re : Petit problème de balançoire

    J'ai oublié : c'est censé correspondre à quoi ton Y = - 2,186 ?

  36. #30
    GalaxieA440

    Re : Petit problème de balançoire

    c'est les valeurs de x et y que je trouve en appliquant les formules que tu as posté plus haut , pas les longueurs EC.

    Simpa ton programme dis donc, tu gères bien avec excel
    Merci pour l'aide en tout cas

    Arthur

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