Quelques questions sur les équations de Maxwell

[Seirios]

Bonjour à tous,

Si on considère le théorème d'Ampère-Maxwell, définit par l'équation suivante :

,

avec respectivement le champ magnétique, le vecteur déplacement élémentaire, la perméabilité du vide, la permittivité du vide, le champ électrique et le courant passant dans le circuit fermé,

je ne vois pas comment on pourrait avoir une valeur non nul pour la variation du flux électrique tout en ayant une valeur nulle pour le courant.

Dans quels cas est-ce possible ?

Une seconde question : dans mon cours, les équations de Maxwell sont toutes définies par des intégrales fermées. Est-ce une obligation ?

Parce que pour le théorème de Gauss, d'un point de vue électrique et magnétique, on peut définir une surface de Gauss arbitraire, sans que cela porte conséquence. Mais pour la loi de Faraday et le théorème d'Ampère-Maxwell, est-on obligé d'avoir forme fermée ? Ne peut-on pas avoir, par exemple, un fil rectiligne ?

Et puis une petite autre question pour la route () : Quel est le domaine de validité des équations de Maxwell ?


Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2
-----

[mamono666]

Tu as du faire une erreur de frappe, mais il me semble que c'est .

Dans le vide, le courant est nul et il peux y avoir un champ electrique variable.

Quant tu les ecrits de maniere local, tu as par exemple pour celle que tu donnes:



Pour passer aux equations non local on utilise le theoreme de Stokes:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...A8me_de_Stokes

et le theoreme de green-ostrogradski:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...lux-divergence

Je crois que mathématiquement quand on fait ces transformations, il faut passer à des surfaces ou chemin fermés. Si quelqu'un en sait plus.... ? mais moi je pense vraiment que c'est dûe aux hypotheses mathématiques.

Et oui il faut obligatoirement que ce soit fermé.

Pour le domaine de validité, je ne sais pas exactement.

[gatsu]

Bonjour à tous,

Si on considère le théorème d'Ampère-Maxwell, définit par l'équation suivante :

,

avec respectivement le champ magnétique, le vecteur déplacement élémentaire, la perméabilité du vide, la permittivité du vide, le champ électrique et le courant passant dans le circuit fermé,

je ne vois pas comment on pourrait avoir une valeur non nul pour la variation du flux électrique tout en ayant une valeur nulle pour le courant.

Dans quels cas est-ce possible ?

Ba dans le vide de charge tu peux avoir un courant de déplacement électrique non nul et un courant de charge nul .

Une seconde question : dans mon cours, les équations de Maxwell sont toutes définies par des intégrales fermées. Est-ce une obligation ?

Parce que pour le théorème de Gauss, d'un point de vue électrique et magnétique, on peut définir une surface de Gauss arbitraire, sans que cela porte conséquence. Mais pour la loi de Faraday et le théorème d'Ampère-Maxwell, est-on obligé d'avoir forme fermée ? Ne peut-on pas avoir, par exemple, un fil rectiligne ?

Et puis une petite autre question pour la route () : Quel est le domaine de validité des équations de Maxwell ?


Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2

Plusieurs remarques s'imposent :
1) Oui c'est obligé qu'on ai des surfaces ou des contours fermé pour exprimer les equations de Maxwell en termes de circulations et de flux.

2)Fondamentalement, les equations de Maxwell ne se mettent pas sous forme intégrale, ce sont des equations locales.
C'est juste que en utilisant des théorèmes de math sur les opérateurs différentiels on peut en déduire des formulations intégrales mais qui sont "particulières" puisqu'elles font intervenir un domaine d'intégration dans l'espace.

3)En ce qui concerne le théorème d'Ampère, il semble que tu n'ai pas compris, à juste titre, comment ça marche, tu vas peut être un peu vite .
Le contour sur lequel on fait la circulation pour le champ d'induction magnétique est a priori quelconque dans l'espace (et le théorème d'Ampère marche dans tous les cas !), il ne correspond pas à un fil où on a du courant électrique.

D'ailleurs, es tu vraiment sûr de savoir ce qu'est une circulation d'un champ de vecteur sur unc chemin ?

4)Les equations de Maxwell sont toujours vraies tant que l'aspect quantique n'est pas trop important j'imagine.

[gatsu]

Tu as du faire une erreur de frappe, mais il me semble que c'est .

Dans le vide, le courant est nul et il peux y avoir un champ electrique variable.

Quant tu les ecrits de maniere local, tu as par exemple pour celle que tu donnes:



Pour passer aux equations non local on utilise le theoreme de Stokes:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...A8me_de_Stokes

et le theoreme de green-ostrogradski:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...lux-divergence

Je crois que mathématiquement quand on fait ces transformations, il faut passer à des surfaces ou chemin fermés. Si quelqu'un en sait plus.... ? mais moi je pense vraiment que c'est dûe aux hypotheses mathématiques.

Et oui il faut obligatoirement que ce soit fermé.

Pour le domaine de validité, je ne sais pas exactement.

Heu non il n'a pas fait d'erreur de frappe vu que là c'est une circulation, il faut bien un chemin fermé pour que ça marche .

[A voir en vidéo sur Futura]

[mamono666]

ah oui, c'est le "s" qui m'a fait penser à surface...

J'ai rien dit Phys2

[Seirios]

Dans le vide, le courant est nul et il peux y avoir un champ electrique variable.

Ba dans le vide de charge tu peux avoir un courant de déplacement électrique non nul et un courant de charge nul

Oui effectivement

Fondamentalement, les equations de Maxwell ne se mettent pas sous forme intégrale, ce sont des equations locales

Malheureusement, c'est sous cette forme que mon cours introduit les équations de Maxwell...Mais je vais faire une petite recherche du côté des théorèmes indiqués par mamono666

Le contour sur lequel on fait la circulation pour le champ d'induction magnétique est a priori quelconque dans l'espace (et le théorème d'Ampère marche dans tous les cas !), il ne correspond pas à un fil où on a du courant électrique.

Oui je suis bien d'accord, mais dans le cas d'un fil rectiligne placé dans un champ électrique variant, comment détermine-t-on la valeur du magnétique induit ?

[gatsu]

Oui effectivement



Malheureusement, c'est sous cette forme que mon cours introduit les équations de Maxwell...Mais je vais faire une petite recherche du côté des théorèmes indiqués par mamono666



Oui je suis bien d'accord, mais dans le cas d'un fil rectiligne placé dans un champ électrique variant, comment détermine-t-on la valeur du magnétique induit ?

C'est pour ça que je dis que tu vas un peu trop vite parce que tu ne connais pas les bases de l'élecrostatique et de la magnétostatique .

De manière générale, il faut trouver le chemin d'intégration le plus simple possible pour calculer en utilisant les symétries du système générateur du champ.

En outre la question que tu poses n'est pas si simple que ça (elle est très simple en statique) parce que d'une part ton problème dépend du temps et d'autre part je ne connais pas le champ électrique donc la solution n'est pas triviale a priori.

[b@z66]

Heu non il n'a pas fait d'erreur de frappe vu que là c'est une circulation, il faut bien un chemin fermé pour que ça marche .

2-1 pour corriger la formulation de Phys2, l'intégrale est bien sur un contour puisque, pour son rotationnel, elle est sur une surface.

PS: Oups, je viens de voir aussi le rond sur l'intégrale, il n'y a donc pas de problème. C'était juste le s qui m'avait aussi perturbé.

[Seirios]

En outre la question que tu poses n'est pas si simple que ça (elle est très simple en statique) parce que d'une part ton problème dépend du temps et d'autre part je ne connais pas le champ électrique donc la solution n'est pas triviale a priori.

Alors prenons un exemple :

Considérons un condensateur créant un champ électrique uniforme, variant avec le temps, entre ses deux plaques. Entre ces plaques, on place un cercle de rayon r. Le champ électrique rentre dans le plan du cercle, et le champ magnétique est tangent au cercle (dans le sens horaire). On peut alors écrire, pour déterminer le champ magnétique induit sur le cercle de rayon r :

et

On a donc

Dans ce cas c'est simple. Même si on doit considérer un disque à la place d'un cercle, on pose :

, puis on intègre sur [0;r]et on obtient :



Et même si on devait considérer une épaisseur au cercle précédent, il suffirait de changer le domaine d'intégration.

Mais je ne vois pas comment on pourrait déterminer le champ d'un fil rectiligne entre ces deux plaques. Si on supposait que le fil rectiligne était un diamètre du cercle de rayon r, comme calculerait-on le champ magnétique induit ?

[mamono666]

Non, mais il faut utilisé un chemin fermé imaginaire. ce n'est pas le champ dans le fil. C'est un moyen mathématique d'arrivé au bout du calcul.

Donc pas de disque ou autre, le chemin est imaginaire et doit etre fermé. ^^.

Si tu mets reellement un fil de cuivre par exemple entre les deux plaques, je ne sais pas exatement ce que cela donnerais.

[Seirios]

Non, mais il faut utilisé un chemin fermé imaginaire. ce n'est pas le champ dans le fil. C'est un moyen mathématique d'arrivé au bout du calcul.

Donc pas de disque ou autre, le chemin est imaginaire et doit etre fermé. ^^.

Si tu mets reellement un fil de cuivre par exemple entre les deux plaques, je ne sais pas exatement ce que cela donnerais.

Finalement je crois que je suis en train de me perdre tout seul

Je pense tout de même avoir compris : Le chemin fermé "imaginaire" (bon ça j'avais compris), ne sert qu'à effectuer des calculs, exactement comme une surface de Gauss.

C'est bien ça ?

[invite9399e0b0]

Finalement je crois que je suis en train de me perdre tout seul

Je pense tout de même avoir compris : Le chemin fermé "imaginaire" (bon ça j'avais compris), ne sert qu'à effectuer des calculs, exactement comme une surface de Gauss.

C'est bien ça ?

Oui c'est exactement cela. Il ne s'agit que d'un "artifice" mathématique pour calculer le champ de façon simple à l'aide des symétries, sans passer par le calcul direct.

Si tu mets réellement un fil de cuivre par exemple entre les deux plaques, je ne sais pas exactement ce que cela donnerais.

Si tu relies les deux plaques par un fil, tu perds l'effet des condensateur, vu que le courant passe sans s'accumuler, si le fil ne touche pas les plaques, alors tu calcules le champs du fil et celui des plaques, et tu les sommes grâce au théorème de superposition.

[Seirios]

D'accord, j'ai finalement compris

Merci à tous les trois

[mamono666]

Pour bien comprendre tu devrais prendre des bouquins d'exercice. A priori on voit ca dans les deux premiere année de licence (anciennement en DEUG).

Meme si tu as compris la théorie, il faut voir comment faire en pratique.

[gatsu]

Considérons un condensateur créant un champ électrique uniforme, variant avec le temps, entre ses deux plaques. Entre ces plaques, on place un cercle de rayon r.
Le champ électrique rentre dans le plan du cercle, et le champ magnétique est tangent au cercle (dans le sens horaire). On peut alors écrire, pour déterminer le champ magnétique induit sur le cercle de rayon r

Je suis impressionné (même si la phrase "place un cercle" me parait bizarre), c'est effectivement le raisonnement qu'il faut faire dans ce cas mais juste pour être sûr pourquoi le champ magnétique est tangent au cercle et pourquoi ne dépend il pas de l'angle ?

et

On a donc

C'est super, si t'as compris je dois reconnaitre que c'est cool !

Dans ce cas c'est simple. Même si on doit considérer un disque à la place d'un cercle, on pose :

, puis on intègre sur [0;r]et on obtient :



Et même si on devait considérer une épaisseur au cercle précédent, il suffirait de changer le domaine d'intégration.

Bon là par contre c'est n'importe quoi mais les autres te l'ont déjà dit.

Mais je ne vois pas comment on pourrait déterminer le champ d'un fil rectiligne entre ces deux plaques. Si on supposait que le fil rectiligne était un diamètre du cercle de rayon r, comme calculerait-on le champ magnétique induit ?

mamono666 et Aekold t'ont en grande partie répondu mais la réponse d'Aekold n'est valable que si le champ électrique entre les plaques ne modifie pas le courant dans ton fil auquel cas le courant dans ton fil doit être très grand devant la variation de courant induite par le champ électrique variable.

De plus quand je te dis qu'un problème n'est pas simple ce n'est pas que pour faire joli . Tu as sans doute proposé un des cas les plus simples que l'on pouvait traité et tu n'as fait qu'une partie du boulot en fait en croyant l'avoir fait en entier...
Si tu cherches vraiment le champ total crée par un condensateur entre deux plaques alors il faut aussi tenir compte du fait que le champ magnétique que tu vient de calculer va varier et va générer un nouveau champ électrique qui dépend du temps et ce champ va varier dans le temps également pour générer un autre champ magnétique et ainsi de suite et les champs électrique et magnétique résultant sont la somme de toutes les contributions dont je viens de parler.
(On pourra arguer dans certains cas que la solution que tu proposes suffit car les autres termes sont négligeables mais ce n'est pas toujours vrai a priori)

[Seirios]

pourquoi le champ magnétique est tangent au cercle et pourquoi ne dépend il pas de l'angle ?

Franchement, j'en sais rien du tout. Pour prendre l'exemple, je me suis inspiré d'une illustration prise dans un cours de physique qui donnait déjà la direction du champ magnétique Quand j'ai essayé de trouver une explication, j'ai lu "la direction du champ magnétique est prouvée par l'expérience"...

[mamono666]

quand tu regardes les equations de maxwell tu as:


ce qui peut s'ecrire: (car E est variable)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Onde_%C...agn%C3%A9tique



donc E et B sont perpendiculaire (dans le vide normalement, donc cela dépend aussi de ce qu'il y a entre les armatures du condensateur)

[gatsu]

Franchement, j'en sais rien du tout. Pour prendre l'exemple, je me suis inspiré d'une illustration prise dans un cours de physique qui donnait déjà la direction du champ magnétique Quand j'ai essayé de trouver une explication, j'ai lu "la direction du champ magnétique est prouvée par l'expérience"...

C'est parce que le système qui va générer le champ magnétique (plaque+champ éléctrique) est invariant par rotation donc cela implique via le principe de Curie (qui dit que les symétries d'un système se répercute sur les champs qu'il génère) que le champ d'induction magnétique est indépendant de l'angle. Ensuite on peut montrer que le champ magnétique est perpendiculaire aux plans de symétries du système générateur et comme tout plan contenant l'axe du condensateur plan (à plaques circulaires) est plan de symétrie alors le champ magnétique ne peut être que tangent au cercle comme tu l'as dit....mais c'était pas si évident que ça a priori.
La remarque de mamono666 te permet aussi de savoir qu'en aucun cas le champ magnétique n'est colinéaire avec le champ électrique.

[Seirios]

J'ai appliqué le théorème de Stockes pour passer de à , mais j'aurais quelques questions :

Peut-on définire la densité de courant et le flux électrique en fonction d'un volume ? C'est-à-dire : et ?

Et une seconde question, plutôt d'ordre mathématique : peut-on écrire ? (il me semble que oui dans certaines conditions)

[gatsu]

J'ai appliqué le théorème de Stockes pour passer de à , mais j'aurais quelques questions :

Peut-on définire la densité de courant et le flux électrique en fonction d'un volume ? C'est-à-dire : et ?

Non désolé ça veut rien dire, sinon tu changes les définitions des grandeurs

Et une seconde question, plutôt d'ordre mathématique : peut-on écrire ? (il me semble que oui dans certaines conditions)

Oui en gros si ta fonction est deux fois dérivables par rapport à x et y.

[invite9399e0b0]

Et une seconde question, plutôt d'ordre mathématique : peut-on écrire ? (il me semble que oui dans certaines conditions)

Oui à la condition que les fonctions soient de classe C^2, donc deux fois dérivables, et donc les dérivées sont continues sur le domaine étudié.

Pour la définition de la densité de courant, il suffit de retrouver la définition du courant électrique élémentaire di. Pour cela, tu prends une surface élémentaire dS et tu calcules le nombre de charges qui la traverse. Tu devrais obtenir di=nqv.dS et de cela tu en déduis j=nqv (avec n le nombre de charge par unité de longueur, et v la vitesse des charges mobiles, j la densité de courant)
Pour le flux électrique, c est par définition en fonction de la surface.

Edit: oups grillé par gatsu

[Seirios]

Voilà comment je procède : Je pose d'après le théorème de Stockes. Et j'obtiens :



Alors je ne sais pas comment arriver au résultat final

[invite9399e0b0]

Voilà comment je procède : Je pose d'après le théorème de Stockes.

C est la ton erreur, tu as mal exprimé ton théorème de Stockes.

[gatsu]

Voilà comment je procède : Je pose d'après le théorème de Stockes. Et j'obtiens :



Alors je ne sais pas comment arriver au résultat final

Alors déjà le problème c'est que le théorème que tu écris est faux....et donc mamono666 avait bien raison tu parlais d'un élément de surface apparament.
Le théorème de Stockes s'écrit :

où est une surface et est le contours fermé de cette surface (autrement dit une courbe paramétrée).
L'intégrale du membre de gauche est une intégrale dite de circulation du champ le long du circuit fermé et ce n'est pas super simple à calculer en général. L'intégrale du membre de droite est le flux du rotationnel de au travers de la surface .

pour retrouver l'equation locale, il te faut un peu plus que l'équation d'où tu veux partir, il te faut relier l'intégrale de circulation du champ magnétique avec les sources du champ; c'est à dire les courants.
Le théorème de Stockes-Ampère te dit que :

où

est une somme sur les courants qui se trouvent à l'intérieur du contours fermé (i.e. qui passent au travers de ).
Une fois que tu as compris ça tu peux recommencer ton raisonnement, et si tu n'y arrive pas reviens nous voir pour qu'on t'aide.

[Seirios]

J'ai trouvé le bon résultat avec tes indications, mais il y a sûrement plusieurs fautes de rigueur :

En combinant le théorème Stockes-Ampère et le théorème de Stoches, on a :

,

puis (là je suis pas vraiment sûr de moi, mais comme j'ai trouvé le bon résultat, cela ne doit pas être totalement faux) :

,

où on avait (courant déplacement et courant intérieur).

Et en dérivant le flux électrique d'abord pas , on obtient le résultat final :



Où ai-je fais des fautes ?

[gatsu]

J'ai trouvé le bon résultat avec tes indications, mais il y a sûrement plusieurs fautes de rigueur :

En combinant le théorème Stockes-Ampère et le théorème de Stoches, on a :

,

puis (là je suis pas vraiment sûr de moi, mais comme j'ai trouvé le bon résultat, cela ne doit pas être totalement faux) :

,

où on avait (courant déplacement et courant intérieur).

Et en dérivant le flux électrique d'abord pas , on obtient le résultat final :



Où ai-je fais des fautes ?

Le soucis c'est que, à ma connaissance, n'existe pas .
En fait il faut faire des égalité intégrales et se rendre compte que si :

alors

[Seirios]

Le soucis c'est que, à ma connaissance, n'existe pas .

C'est vrai que cela n'a pas vraiment de sens de dériver par rapport à un vecteur de surface...

Par contre j'ai une nouvelle lacune de mathématique (c'est promis je vais commander un cours de maths ) : L'égalité suivante est bien correcte ? :



Si c'est le cas, j'obtiens finalement :



Le fait qu'on ait une intégrale double et une intégrale simple pose-t-il problème ?

[gatsu]

C'est vrai que cela n'a pas vraiment de sens de dériver par rapport à un vecteur de surface...

Par contre j'ai une nouvelle lacune de mathématique (c'est promis je vais commander un cours de maths ) : L'égalité suivante est bien correcte ? :



Si c'est le cas, j'obtiens finalement :



Le fait qu'on ait une intégrale double et une intégrale simple pose-t-il problème ?

Le truc c'est que dans le membre de droite c'est une intégrale double que tu as et pas une intégrale simple (tu calcule un flux) donc il n'y a pas de problème en fait.

[Seirios]

Le truc c'est que dans le membre de droite c'est une intégrale double que tu as et pas une intégrale simple (tu calcule un flux) donc il n'y a pas de problème en fait.

Mais un flux se définit avec une intégrale simple, non ? (Flux (mathématiques))

[mamono666]

De facon général pour passer une dérivé dans une intégral, il faut quelle soit uniformément continue il me semble (souvenir de deug, donc plus tres sur)