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Exercice sur les vitesses



  1. #1
    Soo

    Exercice sur les vitesses


    ------

    J'ai un exo de physique qui me pose un peu problème. Voici l'énoncé:

    Des particules solides, de forme sphérique, sont placées en suspension au voisinage de la surface d'un liquide où elles sont insolubles. Le liquide, de masse volumique p0 et de viscosité n est immobile. On désigne par g l'accélération de la pesenteur, par p la massa volumique des particules (p>po) et par r leur rayon (variable d'une particule à l'autre). On admet qu'il n'existe aucunr intéraction entre les particules et que leur présence, en suspension, ne modifie pas la viscosité du liquide.
    Le liquide exerce sur les particules animées d'une vitesse v une force de frottement visqueux f=-6pinrv (et bien entendu la poussée d'Archimède). Sous l'effet de la pesenteur, les particules vont se déplacer vers l'intérieur du liquide.
    Les particules osnt assez grosses (r>=10um) pour qu'il soit possible de négliger l'agitation thermique.

    1. a. Ecrire la loi fondamentale de la dynamique pour une particule animée de la vitesse v:
    Alors je commence par dire que la somme des forces extérieures est égale à ma.
    Puis je fais le bilan des forces:
    -force de frottement visqueux f=-6pinrv
    -poussée d'archimède Pa=-poV avec V le volume déplacé
    -le poids des particules P

    Première question; comment trouver le poids des particules?

    Après, d'après la loi fondamentale de la dynamique, j'ai:
    f+Pa+P=ma (le tout avec des vecteurs biensur).
    Or la particule est animée de la vitesse v, que je suppose constante, d'où ma=o
    J'ai donc au final: f+Pa+P=0 (avec des vecteurs).

    Pouvez vous me dire si jusque là c'est juste?

    b. Montrer que les particules se déplacent parallèlement à la verticale du lieu, si les vitesses initiales sont nulles.

    On repart de la loi fondamentale de la dynamique. Les vitesses initiales étant nulles, alors ma=0 et f=0.

    Il ne reste que le poids et la poussée d'archimède comme force.
    On fait une projection (j'ai choisi l'axe des y vers le bas, des x vers la droite).
    Sur Ox Pa et P sont perpendiculaire à x, d'où Pa=P=0
    Sur Oy, Pa est dans la direction opposée à y, on a donc: -poVg+P=0

    Je conclue en disant que comme les particules se déplacent seulement par rapport à l'axe des y, alors elles se déplacent bien parallèlement à la verticale du lieu.

    Y a-t-il des choses à corriger?

    Merci

    -----

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  3. #2
    Soo

    Re : Exercice sur les vitesses

    La nuit porte conseille, je me suis apperçue que j'ai fait quelques erreures!
    Déjà j'ai trouvé le poids des particules: P=pVg.
    Ensuite:
    1.a. D'apres la loi fondamentale: f+Pa+P=ma (avec des vecteurs)
    1.b. Sur Ox: Pa et P sont perpendiculaires à x; d'où ma=0
    Sur Oy: pVg-PoVg=ma
    L'accélération se fait selon l'axe des y, donc les particules se déplacent bien parallèlement à la verticale du lieu.
    Quelqu'un pour confirmer?
    Merci

  4. #3
    pephy

    Re : Exercice sur les vitesses

    bonjour,
    la vitesse initiale est nulle mais dès que les particules se déplacent elle ne l'est plus
    Dans l'écriture de la RFD (à un instant t quelconque) il faut mettre la force de frottement ....

  5. #4
    Soo

    Re : Exercice sur les vitesses

    Merci pephy.
    Donc si j'ai bien compris, à t=0 p=Po et à t pVg-PoVg-6pinrv=ma ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Soo

    Re : Exercice sur les vitesses

    3. Dans cette question, on me demande de montrer qu'au cours du temps t l'expression de la vitesse est de la forme:
    v(t)= A[1-exp(-t/T)]

    Je pense qu'il faut partir de la loi fondamentale, donc:
    pVg-PoVg-6pinrv=ma
    comme m=pV=(4/3)pipr^3, alors a+(9n/2r²p)v=g(1-Po/p)
    d'où v=[g(1-Po/p)-a](2r²p/9n)

    Je bloque ici, je n'arrive pas à trouver le lien entre ce que j'ai calculé et la formule à trouver. Peut être que ma méthode n'est pas la bonne? Qui pourrait me donner une indication?

    Merci

  8. #6
    pephy

    Re : Exercice sur les vitesses

    Il faut établir l'équation différentielle en v et l'intégrer en tenant compte des conditions initiales:

    mettre l'équation sous la forme:

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  10. #7
    Soo

    Re : Exercice sur les vitesses

    J'avoue que c'est assez confus...mon équation différentielle c'est bien v=[g(1-Po/p)-a](2r²p/9n)?

  11. #8
    Soo

    Re : Exercice sur les vitesses

    Bon en reprenant je trouve comme équation différentielle:
    dv/dt+(9n/2r²p)v=g(1-Po/p)
    C'est de la forme dv/dt + v/T=A avec T=2r²p/9n et A=g(1-Po/p)

    d'où v(t)= A[1-exp(t/T)]
    = g(1-Po/p)[1-exp(-t/(2r²p/9n))]

    Est-ce que c'est le résultat qu'il fallait trouver?

  12. #9
    pephy

    Re : Exercice sur les vitesses

    c'est çà

  13. #10
    Soo

    Re : Exercice sur les vitesses

    Merci pephy! Par contre je ne vois pas d'où vous sortez la formule dv/dt+v/T=constante, je ne l'ai pas dans mon cours...

  14. #11
    Soo

    Re : Exercice sur les vitesses

    Bon dans la suite du problème on me demande de montrer que v tend rapidement pour chaque particule vers une valeur limite vl.
    Suffit-il de dire que si la valeur limite vl est atteinte, alors dv/dt=0, d'où vl=g(1-Po/p)(2r²p/9n)? Ou bien il faut repartir de l'expression de la vitesse trouvée plus haut?

  15. #12
    pephy

    Re : Exercice sur les vitesses

    Je ne sors pas l'équation de mon chapeau, c'est l'écriture de la RFD qui la fait apparaître.Quant à la forme:

    est une équation différentielle classique;la solution de l'équation dite "sans 2d membre" est v(t)=A*exp(-k*t) et il est commode de faire apparaître la constante de temps tau=1/k
    Une intégrale particulière de l'équation complète est C/k=C*tau (dans l'exo c'est justement la vitesse limite)
    D'où l' intégrale générale:
    v(t)=C*tau+A*exp(-t/tau)

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  17. #13
    Soo

    Re : Exercice sur les vitesses

    D'accord pephy.
    Et pour vl, mon raisonnement est-il bon?

  18. #14
    pephy

    Re : Exercice sur les vitesses

    oui;
    régime permanent, vitesse constante

  19. #15
    Soo

    Re : Exercice sur les vitesses

    Bon après un petit moment de mutisme du à ma santé fragile, me revoilà.

    Concernant la vitesse, toujours...on me demande de représenter graphiquement la vitesse v=f(t).
    Je pars de l'équation v(t)=A[1-exp(t/T)] pour tracer la courbe?
    On me donne à la fin de l'exercice les données numériques, dois-je les utiliser pour tracer la courbe?

    Merci

  20. #16
    Soo

    Re : Exercice sur les vitesses

    Je reprend cet exercice après 3 mois d'absence désolée! Mais mon dernier message date du 30/10, et le soir même je partais pour la maternité!

    En me replongeant dans cet exercice, je m'apperçois qu'il y a quelque chose de bizarre...il ne manquerait pas quelque chose à cette équation: v(t)=A[1-exp(t/T)] ?
    Car v(t) est en m.s-1 et le membre de droite en m.s-2...

  21. #17
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Exercice sur les vitesses

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    Je reprend cet exercice après 3 mois d'absence désolée! Mais mon dernier message date du 30/10, et le soir même je partais pour la maternité!
    Félicitations

    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    En me replongeant dans cet exercice, je m'apperçois qu'il y a quelque chose de bizarre...il ne manquerait pas quelque chose à cette équation: v(t)=A[1-exp(t/T)] ?
    Car v(t) est en m.s-1 et le membre de droite en m.s-2...
    En effet, il y a quelque chose qui s'est perdu en route.
    Plus haut tu écrits :

    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    Bon en reprenant je trouve comme équation différentielle:
    dv/dt+(9n/2r²p)v=g(1-Po/p)
    C'est de la forme dv/dt + v/T=A avec T=2r²p/9n et A=g(1-Po/p)
    Prenons par exemple p>> pour simplifier, tu as :
    dv/dt=A
    Soit v(t) = At

    Mais pour p>> :
    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    d'où v(t)= A[1-exp(t/T)]
    = g(1-Po/p)[1-exp(-t/(2r²p/9n))]
    Ca donne v(t)=A

    Il y a donc bien un 't' qui s'est perdu en route.
    Il faudrait revérifier tes calculs.
    Keep it simple stupid

  22. #18
    Soo

    Re : Exercice sur les vitesses

    Félicitations
    Merci!

    Ca ne serait pas plutôt v(t)=At[1-exp(t/T)]?

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