Exercice sur les vitesses

[Soo]

J'ai un exo de physique qui me pose un peu problème. Voici l'énoncé:

Des particules solides, de forme sphérique, sont placées en suspension au voisinage de la surface d'un liquide où elles sont insolubles. Le liquide, de masse volumique p0 et de viscosité n est immobile. On désigne par g l'accélération de la pesenteur, par p la massa volumique des particules (p>po) et par r leur rayon (variable d'une particule à l'autre). On admet qu'il n'existe aucunr intéraction entre les particules et que leur présence, en suspension, ne modifie pas la viscosité du liquide.
Le liquide exerce sur les particules animées d'une vitesse v une force de frottement visqueux f=-6pinrv (et bien entendu la poussée d'Archimède). Sous l'effet de la pesenteur, les particules vont se déplacer vers l'intérieur du liquide.
Les particules osnt assez grosses (r>=10um) pour qu'il soit possible de négliger l'agitation thermique.

1. a. Ecrire la loi fondamentale de la dynamique pour une particule animée de la vitesse v:
Alors je commence par dire que la somme des forces extérieures est égale à ma.
Puis je fais le bilan des forces:
-force de frottement visqueux f=-6pinrv
-poussée d'archimède Pa=-poV avec V le volume déplacé
-le poids des particules P

Première question; comment trouver le poids des particules?

Après, d'après la loi fondamentale de la dynamique, j'ai:
f+Pa+P=ma (le tout avec des vecteurs biensur).
Or la particule est animée de la vitesse v, que je suppose constante, d'où ma=o
J'ai donc au final: f+Pa+P=0 (avec des vecteurs).

Pouvez vous me dire si jusque là c'est juste?

b. Montrer que les particules se déplacent parallèlement à la verticale du lieu, si les vitesses initiales sont nulles.

On repart de la loi fondamentale de la dynamique. Les vitesses initiales étant nulles, alors ma=0 et f=0.

Il ne reste que le poids et la poussée d'archimède comme force.
On fait une projection (j'ai choisi l'axe des y vers le bas, des x vers la droite).
Sur Ox Pa et P sont perpendiculaire à x, d'où Pa=P=0
Sur Oy, Pa est dans la direction opposée à y, on a donc: -poVg+P=0

Je conclue en disant que comme les particules se déplacent seulement par rapport à l'axe des y, alors elles se déplacent bien parallèlement à la verticale du lieu.

Y a-t-il des choses à corriger?

Merci
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[Soo]

La nuit porte conseille, je me suis apperçue que j'ai fait quelques erreures!
Déjà j'ai trouvé le poids des particules: P=pVg.
Ensuite:
1.a. D'apres la loi fondamentale: f+Pa+P=ma (avec des vecteurs)
1.b. Sur Ox: Pa et P sont perpendiculaires à x; d'où ma=0
Sur Oy: pVg-PoVg=ma
L'accélération se fait selon l'axe des y, donc les particules se déplacent bien parallèlement à la verticale du lieu.
Quelqu'un pour confirmer?
Merci

[pephy]

bonjour,
la vitesse initiale est nulle mais dès que les particules se déplacent elle ne l'est plus
Dans l'écriture de la RFD (à un instant t quelconque) il faut mettre la force de frottement ....

[Soo]

Merci pephy.
Donc si j'ai bien compris, à t=0 p=Po et à t pVg-PoVg-6pinrv=ma ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Soo]

3. Dans cette question, on me demande de montrer qu'au cours du temps t l'expression de la vitesse est de la forme:
v(t)= A[1-exp(-t/T)]

Je pense qu'il faut partir de la loi fondamentale, donc:
pVg-PoVg-6pinrv=ma
comme m=pV=(4/3)pipr^3, alors a+(9n/2r²p)v=g(1-Po/p)
d'où v=[g(1-Po/p)-a](2r²p/9n)

Je bloque ici, je n'arrive pas à trouver le lien entre ce que j'ai calculé et la formule à trouver. Peut être que ma méthode n'est pas la bonne? Qui pourrait me donner une indication?

Merci

[pephy]

Il faut établir l'équation différentielle en v et l'intégrer en tenant compte des conditions initiales:

mettre l'équation sous la forme:

[Soo]

J'avoue que c'est assez confus...mon équation différentielle c'est bien v=[g(1-Po/p)-a](2r²p/9n)?

[Soo]

Bon en reprenant je trouve comme équation différentielle:
dv/dt+(9n/2r²p)v=g(1-Po/p)
C'est de la forme dv/dt + v/T=A avec T=2r²p/9n et A=g(1-Po/p)

d'où v(t)= A[1-exp(t/T)]
= g(1-Po/p)[1-exp(-t/(2r²p/9n))]

Est-ce que c'est le résultat qu'il fallait trouver?

[pephy]

c'est çà

[Soo]

Merci pephy! Par contre je ne vois pas d'où vous sortez la formule dv/dt+v/T=constante, je ne l'ai pas dans mon cours...

[Soo]

Bon dans la suite du problème on me demande de montrer que v tend rapidement pour chaque particule vers une valeur limite vl.
Suffit-il de dire que si la valeur limite vl est atteinte, alors dv/dt=0, d'où vl=g(1-Po/p)(2r²p/9n)? Ou bien il faut repartir de l'expression de la vitesse trouvée plus haut?

[pephy]

Je ne sors pas l'équation de mon chapeau, c'est l'écriture de la RFD qui la fait apparaître.Quant à la forme:

est une équation différentielle classique;la solution de l'équation dite "sans 2d membre" est v(t)=A*exp(-k*t) et il est commode de faire apparaître la constante de temps tau=1/k
Une intégrale particulière de l'équation complète est C/k=C*tau (dans l'exo c'est justement la vitesse limite)
D'où l' intégrale générale:
v(t)=C*tau+A*exp(-t/tau)

[Soo]

D'accord pephy.
Et pour vl, mon raisonnement est-il bon?

[pephy]

oui;
régime permanent, vitesse constante

[Soo]

Bon après un petit moment de mutisme du à ma santé fragile, me revoilà.

Concernant la vitesse, toujours...on me demande de représenter graphiquement la vitesse v=f(t).
Je pars de l'équation v(t)=A[1-exp(t/T)] pour tracer la courbe?
On me donne à la fin de l'exercice les données numériques, dois-je les utiliser pour tracer la courbe?

Merci

[Soo]

Je reprend cet exercice après 3 mois d'absence désolée! Mais mon dernier message date du 30/10, et le soir même je partais pour la maternité!

En me replongeant dans cet exercice, je m'apperçois qu'il y a quelque chose de bizarre...il ne manquerait pas quelque chose à cette équation: v(t)=A[1-exp(t/T)] ?
Car v(t) est en m.s-1 et le membre de droite en m.s-2...

[Deedee81]

Bonjour,

Je reprend cet exercice après 3 mois d'absence désolée! Mais mon dernier message date du 30/10, et le soir même je partais pour la maternité!

Félicitations

En me replongeant dans cet exercice, je m'apperçois qu'il y a quelque chose de bizarre...il ne manquerait pas quelque chose à cette équation: v(t)=A[1-exp(t/T)] ?
Car v(t) est en m.s-1 et le membre de droite en m.s-2...

En effet, il y a quelque chose qui s'est perdu en route.
Plus haut tu écrits :

Bon en reprenant je trouve comme équation différentielle:
dv/dt+(9n/2r²p)v=g(1-Po/p)
C'est de la forme dv/dt + v/T=A avec T=2r²p/9n et A=g(1-Po/p)

Prenons par exemple p>> pour simplifier, tu as :
dv/dt=A
Soit v(t) = At

Mais pour p>> :

d'où v(t)= A[1-exp(t/T)]
= g(1-Po/p)[1-exp(-t/(2r²p/9n))]

Ca donne v(t)=A

Il y a donc bien un 't' qui s'est perdu en route.
Il faudrait revérifier tes calculs.

[Soo]

Félicitations

Merci!

Ca ne serait pas plutôt v(t)=At[1-exp(t/T)]?