bonjour à toutes et tous,
je débute dans des cours de mecanique analytique et j'aimerais qu'on me synthétise le principe ...
a quoi celà sert comparé à la mecanique newtoniennes par exemple.
on parle de forces internes et externes, de mouvement virtuels (j'y comprends rien !), mais sinon ???
on parle de coordonnées généralisées ok, mais encore ?
merci grandement
Un des intérêts de la mécanique lagrangienne est qu'elle constitue une bonne introduction à la mécanique quantique, mais ce n'est pas tout.
Elle permet de résoudre élégamment les problèmes à plusieurs variables (ou coordonnées généralisées qui sont le plus souvent des positions ou des angles), notamment quand il s'agit de chercher les équations de petits mouvements de part et d'autre d'une position d'équilibre.
Un autre mérite est de mettre en évidence la relation entre symétrie et conservation d'une grandeur. Par exemple quand le lagrangien est invariant par rotation, il y a conservation du moment cinétique et ça se voit très bien sur les coordonnées généralisées ; une combinaison est invariante.
D'un point de vue pratique, on se trompe moins sur les signes avec le lagrangien. Autrement, on doit toujours faire super-attention quand on étudie les relations entre 2 corps.
En fait, mais ça dépend du niveau, il suffit de savoir que L = T - V et l'équation de Lagrange.
La mécanique analytique est au départ un autre formulation de la mécanique newtonienne (qui permet de dériver les equations du mouvements à partir de la minimisation d'une quantité qu'on appelle l'action). Elle a des avantages et des inconvénients. Elle ne marche pas super bien pour les systèmes dissipatifs (introduction de lagrangiens effectifs etc..) mais marche très bien pour les systèmes conservatifs. En particulier elle permet de dériver la dynamique du système en ne se basant que sur les symétries du système a priori à travers une equation du mouvement du second ordre par degré de liberté.Envoyé par ti_ouf
Il existe une formulation hamiltonienne de la mécanique basée également sur les symétries et qui fait intervenir deux equations differentielles du premier ordre associées à des coordonnées généralisées correspondant au degrés de liberté du système.
Cette formulation est très pratique pour l'étude des systèmes dynamiques en général et conduit ultérieurement à la définition des systèmes intégrables, non intégrables, chaotiques etc...
En outre en mécanique hamiltonienne, on introduit les crochets de Poisson ainsi que les coordonnées et leur moment généralisés qui sont d'une importance capitale en mécanique quantique via des principes de correspondance (introduits historiquement au départ et interprétés de façon plus fondamentale par la suite).
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Bonjour,
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Mécanique analytique pour les systèmes dissipatifs?
Oui ça peut se faire mais ce n'est pas effectivement pas très fréquent. Comme je l'ai dit en coup de vent, il faut faire intervenir soit des lagrangiens effectifs soit d'autres methodes que je connais moins bien et c'est pas super pratique.
On peut trouver un petit paragraphe sur cette question ici.
merci pour cette synthèse, j'y vois un peu plus claire, malgrès quelque points noirs concernant le fait que le lagrangien est conservatif ...
de plus je ne comprends pas comment on peut se passer des variables, pour en avoir des independants?
merci
Qu'entends-tu par "se passer des variables" ? On a autant de variables qu'en mécanique newtonienne mais on les traite différemment.
Le lagrangien n'est pas forcément conservatif, il dépend du temps et des variables. Si le système est invariant par translation dans le temps, c'est l'énergie qui se conserve T+V.
je cite :
je n'arrive pas à comprendre ce passage, en faitL'idée de la mecanique analytique est de se débarasser des forces inconnues en employant des coordonnées indépendantes qui seront soumises à aucunes contraintes.
Par exemple pour le pendules double :
Il y a à priori 6 parametres pour décrire le système.Les contraintes diminuent considérablement la dimensionabité du problème.
On ramene le problème pour qu'il ne reste que 2 variables indépendantes qui décrivent le mouvement.
un choix naturel de coordonées généralisées est les angles théta ...
En effet, en mécanique newtonienne on a souvent "trop" d'équations, et trop de variables qui peuvent s'exprimer en fonction des autres. Elles ne sont donc pas indépendantes et ne jouent aucuns rôles fondamentales quand à la description d'un système. On pourrait les omettre complétement car elles n'apportent aucunes informations supplémentaire, si ce n'est une équation différentielle de plus à résoudre. Un système peut être totalement connu si on dispose des bonnes variables : celles liées aux degrès de liberté.
Résultat, la mécanique analytique avec le formalisme Lagrangien (mais surtout Hamiltonien) se débarasse de ces variables en trop pour faciliter la résolution de problèmes conservatifs. On ne garde plus que ce que l'on appelle des coordonnées généralisées, au nombrede degrès de liberté.
Le formalisme Lagrangien permet de retrouver les équations du mouvement. On aura donc, pour f degrès de liberté, f équations différentielle du 2nd ordre à résoudre. Le formalisme Hamiltonien préfère se ramèner à un système de deux équations différentielle couplées du 1er ordre, ce qui en facilite grandement leurs résolutions.
bonjour et merci beaucoup pour votre apport de clarté, j'y suis un peu mieux ladedans.
par contre,concernant la formule de lagrange/euler et l'equation du mouvement, je n'arrive pas à comprendre le raisonnement analytique suivant :
alors je n'arrive pas à savoir ce que veut dire le (1) et (2) des equations, mais bon j'imagine que çà a un rapport avec :
comment on en arrive a ces résultats ?^
visiblement la premiere equation est la dérivée partielle selon tetha 1,avec un Dt/t, mais je ne comprends pas pourquoi on trouve pas des parties négatives,avec la dérivée du cosinus qui devrait donner un -sinus ....
Simple. Ton lagrangien ne dépend que des coordonnées généralisées et de leurs dérivées temporelles (il peut également dépendre explicitement du temps). Dans ce cas, tu as 2 coordonnées généralisées
La dérivée variationnelle de ton Lagrangien vis à vis d'une coordonnée généralisée ne fait que te redonner les équations du mouvement.
Si tu as f coordonnées généralisées, il te faudra appliquer la dérivée variationnelle vis à vis de ces f variables pour retrouver les f équations du mouvement nécessaire à la résolution de ton problème.
je comprends pas, désolé ...
j'ai bien compris le principe, qui mene a retrouver l'equation fondamentale de la dynamique, en derivant partiellement le lagrangien selon ses coordonnées générales.
mais concernant ce raisonnement, j'avoue que pour l'energie potentielle je ne comprends pas comment ils ont trouvé ce résulat :
