Statistiques quantiques

[benjgru]

bonjour ,

je n'arrive pas à faire le lien entre les fonctions de distribution de Fermi-Dirac et Bose-Einstein avec le comportement des bosons (grégaires, condensats) et des fermions (principe d'exclusion de Pauli)

en particulier faut-il étudier la courbe f(E-µ) ou la courbe f(T) pour retrouver les propriétés particulières (genre condensats à basse T) ?
E: energie
µotentiel chimique
T: température

l'interprétation n'est pas immédiate... et je m'embrouille avec le terme en exp((E-µ)/kT)

d'avance merci.
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[invite1091d7f6]

Bonjour,

De manière générale, on trace f(E-µ) (la probabilité de trouver une particule dans un état d'énergie E) et on regarde son évolution en fonction de T. Perso, je trace des courbes bleues pour T proche de 0 et des courbes rouges pour de hautes températures: ça permet bien de cerner l'évolution. En tout cas, rassure-toi la physique statistique c'est vraiment fino!

Fermi-Dirac décrit le comportement des fermions (particules qui ne peuvent pas être deux dans le même état d'énergie et de spin).
Pour T=0: Dans la formule, la valeur de f(E-µ) dépend du signe de E-µ. C'est 1 pour E-µ<0 et 0 pour E-µ>0. Cela signifie que tous les états d'énergies inférieurs à µ sont remplies à tous les coups. En effet, les fermions ne pouvant se superposer, ils s'empilent étant donné qu'il ne sont pas perturbés par l'agitation thermique! D'où le remplissage pour E<µ! Je te laisse ensuite tracer les courbes pour T différent de 0. En l'occurence, les états d'énergie inférieurs à µ sont remplies mais les fluctuations statistiques causées par l'agitation thermique rend les états d'énergie E>µ accessibles.

Pour l'évolution de Fermi-Dirac, voici une petite aide: http://www.univ-bechar.dz/Boutiche/F...miDirac_fr.htm

Bose-Einstein décrit le comportement des bosons(particules qui peuvent être deux dans le même état d'énergie et de spin). Dans ce cas, E>µ.
Pour T=0: Les particules se condensent dans l'état de plus basse énergie (ici c'est l'état d'énergie µ). Pour T différent de 0, la courbe s'étale (à partir d'un dirac en µ) vers les énergies plus grandes (par fluctuations statistiques).

Bon j'ai bien assez parlé, je te laisse posé les questions aux endroits qui font mal s'il y en a.

@+

[benjgru]

merci beaucoup co-grenoblois

alors pour fermi dirac ok je crois avoir compris...

pour bose einstein un peu moins :

- pourquoi E < µ est impossible ?

- comment voir sur la courbe les condensats à tres basse T ? ça correspond à F(E) tend vers l'infini quand T->0 car tous les atomes sont dans le meme etat ?

merci.

[invite1091d7f6]

Salut,

Bon, j'ai du remuer pas mal de souvenir pour répondre à tes questions, mais au final je crois que c'est bon... et puis ça m'a surtout fait du bien Cependant, je te préviens, je te livre ici ce que j'ai compris et que je pense donc vrai. Mais des subtilités peuvent peut-être manquer.

- pourquoi E < µ est impossible ?
merci.

Alors la toute première raison est liée au maths: Si E < µ, alors tu obtiens une probabilité d'occupation négative. Donc a priori, la démonstration te l'impose. Et malheureusement pour nous, dans le cas des bosons, "c'est comme ça et c'est pas autrement" (ah qu'est-ce que je deteste cette phrase).

En fait, ce qui choque le sens commun quand on compare fermions et les bosons c'est que pour les bosons on ait E < µ et pas pour les fermions. Alors voilà LA subtilité dans tous ça: µ est une fonction de la température et en plus il est différent pour les bosons et les fermions. Et ça, ça change tout. Il faut prendre ses précautions quand on prend une limite en T=0 ou T= par exemple!!!!

Du coup, je me sens un peu obligé de t'en dire un peu plus sur µ, les fermions et les bosons. Je te laisse relier le précédent post avec cela.

Dans le cas des fermions (des électrons sur des couches atomiques par exemple), µ tend vers le niveau de Fermi pour T => 0. Le niveau de Fermi correspondant à l'énergie des électrons bien rangés à l'aide du principe d'exclusion de Pauli. La distribution de Fermi-Dirac te dit donc (pour T=0) que les particules se rangent parfaitement à l'aide du principe d'exclusion de Pauli (encore heureux!).

Dans le cas des bosons (des photons par exemple), µ tend vers E₀, E₀ correspondant à la plus basse énergie. La suite est la réponse à:

- comment voir sur la courbe les condensats à tres basse T ? ça correspond à F(E) tend vers l'infini quand T->0 car tous les atomes sont dans le meme etat ?

Oui, mais pour une énergie donnée. Donc, sur un graphique F(E) en fonction de E, tu obtiendras un pic de dirac en E₀, E₀ correspondant à la plus basse énergie POUR T=0.

Pour en revenir à µ (parce que c'est lui le gredin), il est différent pour des bosons et les fermions. Ainsi, la condition E > µ pour les bosons ne peut pas être vue comme une différence entre bosons et fermions (µ ne correspondant pas à la même chose dans les deux cas). Et comme µ décroît lorsque T croît, il est toujours inférieur à l'énergie la plus petite de ton système de bosons: tout va bien!

Voici un lien qui m'a permis de te répondre: Phy Stat mais il y'en a d'autres!

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[benjgru]

ok merci beaucoup pour toutes tes explications !!

il est vrai que c'est le potentiel chimique µ qui me semble la notion la plus délicate à comprendre...
d'ailleurs j'ai jamais bien compris ce que ça représentait physiquement à part dG/dn etc qui ne me parle pas beaucoup

et d'ailleurs pour la loi de Planck on a une statistique de Bose Einstein mais µ=0 !
encore un mystère pour moi...

[Gwyddon]

il est vrai que c'est le potentiel chimique µ qui me semble la notion la plus délicate à comprendre...
d'ailleurs j'ai jamais bien compris ce que ça représentait physiquement à part dG/dn etc qui ne me parle pas beaucoup

Justement : mu est la mesure de la réaction du système à un ajout de matière (comment changent ses paramètres si l'on rajoute des particules ?). Plus mu est élevé, plus ce changement va engendrer des variations importantes.

et d'ailleurs pour la loi de Planck on a une statistique de Bose Einstein mais µ=0 !
encore un mystère pour moi...

Le système est à l'équilibre thermo à tout point de vue, c'est pourquoi mu=0 (pas de variation de l'énergie libre interne si on rajoute des particules).

Si ça t'intéresse :

http://www.eleves.ens.fr/home/baglio...Corps_noir.pdf

[benjgru]

ok merci beaucoup...

[Gwyddon]

ok merci beaucoup...

Je ne te sens pas super super convaincu

[gatsu]

Le système est à l'équilibre thermo à tout point de vue, c'est pourquoi mu=0 (pas de variation de l'énergie libre interne si on rajoute des particules).

http://www.eleves.ens.fr/home/baglio...Corps_noir.pdf

Je en suis pas sûr que la simple notion d'équilibre permette de justifier le fait que . C'est une caractéristique spécifique associée aux particules de masse nulle comme les photons (et pour les quasi-particules comme les phonons) car le nombre total de photons dans une enceinte ne peut être fixé. En conséquence, les variables fixées caractérisant un gaz de photons dans une enceinte pourront être l'energie, le volume, la pression ou la température selon l'ensemble d'étude mais jamais le nombre total de photons. Il en résulte que la définition même du potentiel chimique n'a plus de sens et cela se traduit naturellement par .

[yahou]

Dans ce fil, j'avais essayé de justifier la valeur du potentiel chimique à température nulle pour différents systèmes (bosons, fermions, particules classiques).

Disons que le volume est constant, on a alors .

Lorsque l'on rajoute une particule, tous autres paramètres constants, on augmente en général le nombre de microétats accessibles, et donc l'entropie. De même lorsque l'on augmente l'énergie, on augmente l'entropie (sauf systèmes à température négative que je laisse de côté ici). Pour maintenir l'entropie constante (puisque la dérivation se fait à constant), il faut donc nécessairement diminuer l'énergie du système, soit ou encore .

Ca c'était le cas général (classique). En effet on ne peut avoir que si il existe des états d'énergie faible innocupés permettant aux particules de se réorganiser pour faire diminuer l'énergie globale. Ce n'est pas le cas à température nulle, ni pour un gaz de Fermi, ni pour un condensat de Bose Einstein.

Pour le premier, le niveau le plus bas accessible est le niveau de Fermi, donc on peut au mieux augmenter l'énergie totale de par particule ajoutée, soit . On peut vérifier que ce faisant on a pas augmenté l'entropie, puisque qu'on connaît toujours exactement les nombres d'occupations des états, qui sont fixés par le principe de Pauli (2 particules par état jusqu'au niveau de Fermi, 0 après).

Pour le second, toutes les particules étant déjà dans l'état fondamental, on ne peut ne peut pas non plus diminuer l'énergie globale, on peut au mieux la maintenir constante en ajoutant les nouvelles particules dans l'état fondamental, soit . Là encore l'entropie est resté constante puisqu'on sait que toutes les particules sont dans le fondamental.

[benjgru]

et pourquoi dans la stat de Maxwell Boltzmann y a pas de µ dans le facteur exponentiel ??

...il vaut 0 ? ah...

[benjgru]

Je ne te sens pas super super convaincu

si si mais il me faut rassembler mes idées...la phys stat c'est dur (du moins pour moi !!)

[yahou]

et pourquoi dans la stat de Maxwell Boltzmann y a pas de µ dans le facteur exponentiel ??

...il vaut 0 ? ah...

Non non, il n'est pas nul. Même plutôt négatif.

S'il n'apparaît pas la plupart du temps, c'est parce qu'on travaille dans l'ensemble canonique (à nombre de particules fixé). Dans l'ensemble grand canonique, on retrouve le potentiel de la même façon que pour les autres statistiques ( devient ).

[benjgru]

Non non, il n'est pas nul. Même plutôt négatif.

S'il n'apparaît pas la plupart du temps, c'est parce qu'on travaille dans l'ensemble canonique (à nombre de particules fixé). Dans l'ensemble grand canonique, on retrouve le potentiel de la même façon que pour les autres statistiques ( devient ).

ça paraît con mais ça veut dire quoi "canonique" pour finir ??

jamais pigé ce mot...encore moins en physique !

[yahou]

ça veut dire quoi "canonique" pour finir ??

jamais pigé ce mot...encore moins en physique !

Ca veut dire pas mal de choses différentes suivant le contexte. Il me semble qu'il y a souvent (en maths aussi, pour ce que j'en sais) l'idée d'un choix "naturel", communément admis comme étant plus "simple" ou plus "logique". Maintenant je ne crois pas qu'il faille chercher du côté de l'éthymologie pour comprendre ce qu'est l'ensemble canonique.

Les différents ensembles courants et leur définition sont résumés ici . La différence se fait sur les variables que l'on considère comme fixées.

Pour le passage du canonique au grand canonique, l'idée c'est qu'on ne fixe plus le nombre de particules mais le potentiel chimique ; à l'équilibre le système s'ajuste pour avoir le potentiel imposé, et cela fixe le nombre moyen de particules.

De la même façon quand on passe du microcanonique au canonique, on ne fixe plus l'énergie mais la température, et le système en ajustant sa température fixe l'énergie moyenne.

[benjgru]

ok merci beaucoup...ça commence à venir !!