relativité générale et énergie

[mariposa]

Ce que dit la symétrie de la RG c'est que l'espace-temps n'est pas un objet physique "usuel" (représenté par une variété, un "background"), mais que le "véritable objet physique" est en quelques sortes une classe d'équivalence de variétés et non une banale variété.

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Bonjour,

Je prend le problème "à l'envers" (cad des maths vers la physique). Supposons que je dispose d'un ensemble de variétés. sur cet ensemble je défini une partition en classes. Tu dis que ce qui est l'objet physique c'est une classe. Bien.
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La même chose "à l'endroit" tu pars de l'équation d'Einstein. Comment faire pratiquement faire apparaitre des classes d'un ensemble de variétés?

Et pour aller où? vers LQG?
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[invité576543]

Quand on presente une variété A et que lui associe des cartes C1 et C2 qui se recoupent, (on a donc en dessin 3 bulles!). Le fait que 2 cartes se recoupent traduit l'idée que l'on peut representer ce qui se passe en un point de la variété par un changement de base. C'est tout naturellement une transformation passive. Maintenant on peut réinterpreter ce schéma en introduisant une nouvelle variété B dont les coordonnées sont representer par la carte C2. Il y a alors un morphisme F entre les variétés A et B qui est representé par une application f (C1) = C2. Dans ce cas il s'agit d'une transformation active, cad un difféomorphisme actif. Dans ce cas a partir d'une variété on a autant de variété qu'il y a de diffeormorphisme qui forment un évidemment un groupe.

Est-cela correspond a ta description?

Oui, sauf la dernière phrase que j'ai mis ci-après:

Dans ce cas la fonction f represente une évolution du champ et non pas un changement de coordonnées.

Ce que j'en comprends:

C'est une sorte de changement de coordonnées, mais qui ne conserve pas la structure d'espace de Riemann: en particulier f ne conserve pas nécessairement toutes les géodésiques.

Ce n'est pas une évolution, c'est une fonction de jauge, comme ajouter une constante à un potentiel électrique, ou changer de référentiel galiléen en newtonien, ou faire tourner toutes les phases d'une même valeur en phy Q: ça change des valeurs, mais ça ne change aucune des prédictions qu'on peut faire avec le modèle.

Cordialement,

[invite54165721]

Bonjour,

Une question sur le mot "jauge".
On peut dire que pour parler d'énergie en RR il faut se définir un repère. On a un groupe de symétrie de Lorentz et le choix de la jauge est dans ce sens celui d'un élément du groupe donc d'un repère.
On parle aussi de théorie de jauge quand on fait apparaitre un boson médiateur
avec une symétrie locale. Emploie t on encore dans ce cas l'expression "choisir une jauge"

[mariposa]

Oui, sauf la dernière phrase que j'ai mis ci-après:



Ce que j'en comprends:

C'est une sorte de changement de coordonnées, mais qui ne conserve pas la structure d'espace de Riemann: en particulier f ne conserve pas nécessairement toutes les géodésiques.

Ce n'est pas une évolution, c'est une fonction de jauge, comme ajouter une constante à un potentiel électrique, ou changer de référentiel galiléen en newtonien, ou faire tourner toutes les phases d'une même valeur en phy Q: ça change des valeurs, mais ça ne change aucune des prédictions qu'on peut faire avec le modèle.

Cordialement,

Bonjour,
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Alors si ce n'est pas une évolution, donc un changement de jauge la question simple est: A quoi çà sert? Il faudrait pouvoir expliquer quelquechose qui soit opérationnel. Le role du groupe U(1) dans QED nous donne un exemple simple.

[invitea29d1598]

salut,

Entre les deux, des cas "plus souples" qu'une variété Riemanienne, mais moins que la topologie.

un truc que tu n'as pas cité, c'est un espace muni d'une connexion. Après, y'a aussi d'autres généralisations comme par exemple la théorie de Weyl qui s'oppose à celle d'Einstein en ne gardant pas le "ds" constant par transport parallèle [en pratique ça rend équivalents tous les espace-temps munis de métriques qui s'obtiennent l'une l'autre par transformation conforme]. C'est d'ailleurs une théorie qui est très intéressante pour diverses raisons historiques même si on voit tout de suite très bien qu'elle ne tient pas la route car elle prédit que si on a deux horloges identiques au même endroit, qu'on en prend une, la promène puis la ramène au point de départ, elle n'aura plus le même rythme que la seconde, ce qui n'est pas vérifié expérimentalement [ce contre-argument a été donné par Einstein à Weyl] :

- c'est l'une des premières théories unifiant gravitation et électromagnétisme. Weyl a en effet remarqué qu'autoriser un changement du ds par transport parallèle implique modifier la connexion par ajout d'un terme qui se comporte comme un vecteur et qu'on a beaucoup de raisons d'identifier avec le potentiel vecteur [un peu dans l'esprit des théories Kaluza-Klein]

- les variations de ds peuvent être paramétrées par une grandeur (qui s'obtient comme un flux au travers de la boucle le long de laquelle se fait le transport parallèle, cf. l'effet Bohm-Aharonov ou les boucles de Wilson) et écrites sous la forme . On a donc un changement de l'échelle de mesure des longueurs (ou des durées) et c'est de là que vient le mot "jauge" (naturel dans ce contexte) introduit par Weyl lui-même dans ce cadre

- dans les années 30, diverses personnes (dont Weyl et London) ont remarqué que si on remplaçait le par un truc imaginaire pure ( donc), on obtenait quelque chose de très sympa à mettre dans l'équation de Schrödinger... c'est de là que résultent le traitement de l'électromagnétisme comme une théorie de jauge et l'importance de ce point de vue en MQ

Qu'est-ce qui peut être "conservé" dans ces cas?

dans une variété munie d'une connexion mais pas d 'une métrique tu n'as pas de notion de longueur mais peut définir des courbes auto-parallèles... la notion de parallélisme survit donc.

Dans un domaine proche (et peut-être très proche ?), je m'interroge sur les variétés différentielles sans métrique, avec les deux cas que j'arrive à identifier, celui suffisant pour définir des flux, et celui où existe une mesure de volume.

Est-ce que le premier cas est celui du groupe d'invariance correspondant au sous-groupe C1 du groupe topologique? Peut-on le voir comme la restriction du groupe topologique du fibré tangent (variété de dimension 8 dans le cas de l'espace-temps)?

je vois pas ce que tu veux dire par ton "premier cas suffisant pour définir les flux"...

Quand au deuxième cas (variété différentielle munie d'un volume mais libre pour la métrique), je n'arrive pas à le "visualiser". Les "déformations" possibles sont celles conservant le volume, mais ça ne donne pas une image aussi parlante que conserver des géodésiques.

pourquoi ?

Question, est-ce que fixer le tenseur de Ricci fixe le volume?

tu peux voir ici le lien entre ce tenseur et le volume...

Si oui, l'espace-temps est quelque chose entre une variété munie d'un 4-volume et une variété munie d'une métrique. (Entre, parce que le 4-volume, c'est 6 coefficients, le tenseur de Riemann 20, et qu'on en a 10 de fixés, non?)

En allant un peu plus loin dans la tentative de saut conceptuel, peut-on dire qu'une métrique fixe le 1-volume pour toute sous-variété de dimension 1? Peut-on alors dire quelque chose sur les 2-volumes et les 3-volumes pour l'espace-temps? (Si le 4-volume est fixé, mais pas les 1-volumes, la question de 2 et 3 se pose, non?)

(J'ai cru comprendre que les twistors de Penrose sont une tentative de "juste ce qu'il faut" de définition de la variété. Je ne comprends pas bien son approche, mais ça me fait penser que ce qu'il y a en plus du 4-volume -les 4 coefficients manquants- est en rapport avec les cônes de lumière. Clairement fixer un 4-volume ne fixe pas les cônes de lumière, mais ceux-ci ne semblent pas (?) à eux seuls déterminer une structure Riemannienne. D'un autre côté, je ne vois pas pourquoi le tenseur de Ricci, qui est une trace symétrique, fixerait les cônes de lumière )

pour tout ça je préfère prendre le temps de réfléchir un peu off-line

.Je prend le problème "à l'envers" (cad des maths vers la physique). Supposons que je dispose d'un ensemble de variétés. sur cet ensemble je défini une partition en classes. Tu dis que ce qui est l'objet physique c'est une classe. Bien.
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La même chose "à l'endroit" tu pars de l'équation d'Einstein. Comment faire pratiquement faire apparaitre des classes d'un ensemble de variétés?

je suis pas certain de comprendre la question... elles apparaissent en ce sens où si tu as une solution des équations d'Einstein qui représente ce qu'on appelle usuellement un "espace-temps muni d'une métrique", alors il existe une infinité d'autres "espace-temps munis d'une métrique" qui représente la même physique... ça répond à ta question ?

Et pour aller où? vers LQG?

bah non, tout simplement vers la RG y'a rien de quantique ici... cette invariance de jauge est à la base de la RG et elle fait partie des choses sur lesquelles a pas mal lutté Einstein. Le truc c'est que naïvement, on la conçoit juste comme une invariance sous les changements de coordonnées. Mais c'est plus que ça car ça dit que les seules grandeurs qui ont une "existence physique" sont celles qui sont indépendantes de la jauge (ce qui en pratique pour une carte locale donnée est équivalent à invariantes sous un changement de coordonnées).

Une question sur le mot "jauge".
On peut dire que pour parler d'énergie en RR il faut se définir un repère. On a un groupe de symétrie de Lorentz et le choix de la jauge est dans ce sens celui d'un élément du groupe donc d'un repère.
On parle aussi de théorie de jauge quand on fait apparaitre un boson médiateur
avec une symétrie locale. Emploie t on encore dans ce cas l'expression "choisir une jauge"

on parle de symétrie de jauge dès qu'il existe des transformations qui laissent invariantes les grandeurs observables et changent des grandeurs physiques pas directement observables. En pratique, la situation est donc grossièrement la suivante :

- si tu fais des calculs avec des grandeurs qui sont invariantes de jauge, aucun problème (par exemple les champs E et B)

- si tu fais des calculs avec des grandeurs qui dépendant de la jauge (par exemple le potentiel vecteur), alors ton système d'équations n'est pas "soluble" directement et tu dois ajouter à la main des équations supplémentaires [on appelle ça fixer une jauge], mais qui n'ont aucune influence sur les grandeurs observables.

En RG, fixer une jauge c'est grossièrement se donner un système de coordonnées (quasi-équivalent à un ensemble d'observateurs).

Alors si ce n'est pas une évolution

ce n'est pas une évolution car il n'y a pas de notion de temps ici... en RG il faut penser aux objets physiques (dont l'espace-temps) de manière 4d et donc "figée". Les difféomorphismes changent la variété (l'espace-temps, pas juste l'espace) dans son ensemble.

donc un changement de jauge la question simple est: A quoi çà sert? Il faudrait pouvoir expliquer quelque chose qui soit opérationnel. Le role du groupe U(1) dans QED nous donne un exemple simple.

oui et non : si je vois bien ce que tu veux dire, la réponse que tu attends est probablement "ça permet de rendre les grandeurs physiques et les équations du mouvement identiques pour tous les observateurs indépendamment de leur état de mouvement"... mais le problème, c'est que ça, c'est un point de vue local, de la même façon que l'est la transformation de jauge où on change la phase de la fonction d'onde. Autrement dit, la différence entre "invariance sous les changements de coordonnées" et "invariance sous les difféomorphismes" est du même niveau que celle qui consiste à dire que l'invariance de jauge de la QED n'est pas juste un simple changement de phase et à la reformuler dans le cadre des espaces fibrés [différence importante par exemple pour le problème du monopôle de Dirac comme l'ont montré Wu et Yang].