Equation du mouvement de deux astres?

[neokiller007]

Salut,

Je suis en TS et on a étudié les mouvements plan (chute libre avec vitesse intiniale).
J'aimerais savoir si j'ai le niveau pour trouver les équation du mouvement de deux astres soumis à leur force de gravitation?

On a un astre, de centre d'inertie G₁ centré sur l'origine du repère orthonormal .
Le deuxième astre est a une distance D du premier, son centre d'inertie G₂ est sur l'axe .
Les deux astres sont alors soumis à une force de norme
Et
Voici le schéma de tout ce blabla:

Le repère nous sert de base pour un référentiel galiléen.
Donc on a
Donc a on
Or Donc
D'où
Or Donc Donc

Bon après même chose pour l'astre 2, on obtient
La seul problème c'est que D est une fonction du temps.
Et je ne sais pas comment la déterminer, le peut-on?
Sinon il faut peut être le faire par itération?


Merci de votre aide
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[neokiller007]

On dirait que ça passionne pas les foules la mécanique classique.

[invitec053041c]

Salut.

Je n'ai pas trop regardé tes calculs, mais je doute que le niveau de TS soit suffisant.
Disons que 2 difficultés s'offrent à toi: tu ne connais pas les mouvements à force centrale (terre autour du soleil, mouvement elliptique, parabolique, hyperbolique ...), et tu ne connais pas l'étude des systèmes à 2 corps (bon ça, ça irait encore).

Je t'invite donc à étudier d'abord assez sérieusement les mouvements à force centrale, où 1 astre est fixé, et l'autre bouge (Terre autour du soleil considéré fixe, ou électron autour du noyau d'hydrogène).
Tu verras que tu auras déjà du pain sur la planche, car ça aborde sérieusement les coniques (ie courbes elliptiques, paraboliques, hyperboliques)...

[invitec053041c]

Euh, j'ai peut-être dit une bêtise: est-ce que tu considères les mouvements généraux de 2 astres (rotations l'un autour de l'autre etc.), ou bien tu ne considères que leurs chutes rectilignes l'un sur l'autre ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[neokiller007]

Ben ici vu qu'il n'y a pas de vitesse initiale les mouvement vont être forcément rectiligne.
Donc l'équation du mouvement est ici très simple: y=0
Donc ici ce qui est intéressant ce serait d'avoir les équation horaire du mouvement. Et pour les calculer il me faudrait D, c'est ce que je cherche.
Après avoir résolu ce cas simple je voudrais trouver les équations de mouvement avec une vitesse initiale, ce qui pourra nous amener à des rotations de ces astres.

Mais vu ce que tu me dis c'est loin d'être de mon niveau, donc j'attendrais encore.

[chrisric]

bonsoir, on ne peut pas écrire v = a *t + cste, car a n'est pas une constante du mouvement comme vous l'avez remarqué. D est dépendant du temps et vous gêne. On ne peut pas connaître a priori son expression, donc on ne peut pas intégrer a pour trouver v et a fortiori x1.
En fait, on obtient deux équations différentielles couplées non linéaires. Ce n'est pas en premier cycle universitaire qu'on les étudie.....
J'ai obtenu, en écrivant xi abscisse de l'astre i :
x2"*(x2^2+x1^2-2x1*x2) = G*M2 et pareil en permutant les indices.
On a les conditions initiales x2 (0) = D et x1 (0) = 0. Leurs dérivées sont initialement nulles, comme vous l'avez judicieusement remarqué.

Bravo pour votre curiosité. Bonne continuation.

[chrisric]

petite erreur dans la formule :
lire plutôt :

x2"*(x2^2+x1^2-2x1*x2) = G*M1 et pareil en permutant les indices 1 et 2.

[neokiller007]

Ah oui effectivement, grosses erreurs de ma part, lors de mes intégrations j'ai considéré D constant...
Donc effectivement c'est encore plus compliquée que ce que je ne le pensais.
Comment quoi utiliser la force de gravitation c'est pas évident...

[calculair]

En reprenant la remarque de neokiller07 ,le mouvement se fait sur l'axe des centre de gravité car V° = 0

F = G M m / R²

Tu commences par calculer l'energie potentielle de ton astre m

Ep = G M m / R² dR = G M m /R à prendre entre R0 rayon de l'astre M fixe et Ri la position de l'astre m à t =0

Ep° = GM m ( 1/Ri - 1/R°)

Maintenant quand l'astre m se rapproche de l'astre M

1/2 m V² = EP° - GM m (1/R - 1/R°) = GM m ( 1/Ri - 1/R ) avec V= dR/dt

dR/dt = 2 racine carré GM[ ( 1/Ri -1/R )]

en integrant on aura R(t)

Je m'arrête ici ce soir................

[calculair]

En reprenant la remarque de neokiller07 ,le mouvement se fait sur l'axe des centre de gravité car V° = 0

F = G M m / R²

Tu commences par calculer l'energie potentielle de ton astre m

Ep = G M m / R² dR = G M m /R à prendre entre R0 rayon de l'astre M fixe et Ri la position de l'astre m à t =0

Ep° = GM m ( 1/Ri - 1/R°)

Maintenant quand l'astre m se rapproche de l'astre M

1/2 m V² = EP° - GM m (1/R - 1/R°) = GM m ( 1/Ri - 1/R ) avec V= dR/dt

dR/dt = 2 racine carré GM[ ( 1/Ri -1/R )]

en integrant on aura R(t)

Je m'arrête ici ce soir................

Il faut lire bien sur dR/dt = racine carré [2 G M(1/Ri - 1/R )]

Quelqu'un pourrait trouver R(t) ?

[pephy]

bonjour à tous
l'écriture de la relation fondamentale de la dynamique faite au début de ce fil n'est valable que si le référentiel est galiléen;or a priori les 2 astres se déplacent...Il faut donc se placer dans le référentiel barycentrique qui lui est galiléen. Cela correspond aux équations données par chrisric
Sauf erreur de ma part (çà commence à faire un bout de temps que je ne me suis pas amusé avec ces trucs là ), le système d'équations différentielles se résoud assez simplement:
on doit arriver à:

avec x1 <0 et x2>0
soit:

[neokiller007]

Equation différentielle du second ordre, je sais pas (encore) les résoudre.

[calculair]

Equation différentielle du second ordre, je sais pas (encore) les résoudre.

Je pense qu'en posant D(t) = K exp( wt ) et en identifiant on doit y arruver

dD/dt = K w exp (wt )

d²D/dt² = K w² exp ( wt)

K w² exp (wt ) = G ( M +m ) / ( K²exp( 2wt ))

Pour t = 0 D max = K

K^3 w²exp( 3wt) = G (M +m )

si t = 0

Dmax^3 w² = G( M +m ) d' ou w

[invitec053041c]

Juste une remarque à part: le système {planète 1, planète 2} étant isolé (pas de forces de l'extérieur), leur centre de gravité G ne bougera pas (ou translation rectiligne uniforme, mais on s'en fout).
Donc il peut être judicieux de prendre G comme origine du repère...(donc associé à un rfrentiel galiléen)

[LPFR]

Ledescat a parfaitement raison.
Il faut prendre le centre de masses comme origine des coordonnées. D'ailleurs si l'on prend le centre de masses d'un des deux objets comme origine, le système de référence ne sera pas un système inertiel et on ne peut pas appliquer les lois de Newton. On est obligé d'ajouter des forces fictives.

La deuxième astuce pour ce problème est qu'on n'est pas obligé de résoudre le système pour deux corps. On peut démontrer facilement, que la force d'attraction entre deux corps correspond à une force centrale, dirigée vers le centre de masses et égale à

(pour le corps de masse situé à du centre de masses.

Pour résoudre ce problème le mieux est de travailler en coordonnées cylindriques, avec et comme variables.
Malgré cela, la résolution est un peu longue et demande quelques astuces que d'autres on déjà trouvé pour nous.
Au revoir.