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Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac



  1. #1
    Seirios

    Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac


    ------

    Bonjour à tous,

    Dans nombre d'ouvrage de mécanique quantique, on retrouve presque systématiquement comme l'un des premiers exemples la molécule d'ammoniac.

    L'auteur introduit alors en général deux états et d'énergies respectives et . On a alors :



    Et

    Néanmoins, je ne vois pas d'où viennent ces expressions...

    Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

    Merci d'avance
    Phys2

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  3. #2
    Rincevent

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    salut,

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Néanmoins, je ne vois pas d'où viennent ces expressions...
    qu'est-ce que tu ne comprends pas exactement ?
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  4. #3
    Seirios

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    qu'est-ce que tu ne comprends pas exactement ?
    Je ne comprends pas pourquoi nous avons les expressions précédemment citées de |a> et |s>. Pourquoi cette expression et non une autre ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  5. #4
    Cassano

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Probablement de la diagonalisation du sous-espace propre associé à l'énergie du système. La matrice doit sûrement être anti-diagonale, ce qui fait qu'en diagonalisant tu trouve |0>-|1> et |0>+|1>. après les racines de 2 viennent de la normalisation des kets du SEV.
    "Vous qui entrez, laissez toute espérance" Dante

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Rincevent

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Pourquoi cette expression et non une autre ?
    on cherche des états propres de l'opérateur de parité. Ils sont donc inchangés ou changés en leur opposé si on inverse la droite et la gauche. Si on impose en plus que la transformation les reliant aux états droit et gauche est unitaire [les états restent orthonormés], il y a pas 50 solutions...

    ça éclaire ou c'est à côté de ce que tu comprends pas ?
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  8. #6
    deep_turtle

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Pour rajouter un détail, tout état peut se decomposer comme une combinaison linéaire d'un état pair et d'un état impair. Ces états sont eux-même plus faciles à étudier qu'un état quelconque, alors on travaille effectivement plutôt sur les états de parité bien définie.
    « D'avoir rejeté le néant, j'ai découvert le vide» -- Yves Klein

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  10. #7
    Thwarn

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Bonjour à tous,

    Dans nombre d'ouvrage de mécanique quantique, on retrouve presque systématiquement comme l'un des premiers exemples la molécule d'ammoniac.

    L'auteur introduit alors en général deux états et d'énergies respectives et . On a alors :



    Et

    Néanmoins, je ne vois pas d'où viennent ces expressions...

    Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

    Merci d'avance
    Phys2
    Une autre façon de proceder est de faire l'inverse.
    On resoud l'equation de S indépendante du temps, ce qui donne deux états |s> et |a> (on donne ces noms car quand on les traces, une et symetrique et l'autre est antisymetrique).
    Et on introduit ensuite |g> et |d> (on donne ces noms car quand on calcule la proba de presence, elle est quasi uniquement présente à gauche ou à droite).

    Sinon, il y a au moins deux topics à ce sujet (dont un de moi qui doit avoir 2 ans , et un autre qui a environ 1 ou 2 mois).
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  11. #8
    Seirios

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Citation Envoyé par Rincevent
    on cherche des états propres de l'opérateur de parité.
    Qu'est-ce qu'est exactement que l'opérateur de parité ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  12. #9
    Karibou Blanc

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Qu'est-ce qu'est exactement que l'opérateur de parité ?
    C'est l'opérateur qui représente la permutation de deux éléments. ex: la droite et la gauche, l'atome d'azote en haut ou en bas du plan des hydrogènes, etc...
    Well, life is tough and then you graduate !

  13. #10
    Seirios

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    on cherche des états propres de l'opérateur de parité. Ils sont donc inchangés ou changés en leur opposé si on inverse la droite et la gauche. Si on impose en plus que la transformation les reliant aux états droit et gauche est unitaire [les états restent orthonormés], il y a pas 50 solutions...

    ça éclaire ou c'est à côté de ce que tu comprends pas ?
    Je pense que cela répond bien à ma question, mais j'ai du mal à comprendre l'explication

    Les états propres de l'opérateur de parité sont donc simplement et

    Ensuite je ne comprends pas vraiment la deuxième phrase...
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  14. #11
    Coincoin

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Non, la parité revient à échanger la gauche et la droite, donc P|gauche>=|droite> donc |gauche> n'est pas un état propre.

    Par contre, tu as P|s>=|s> donc |s> est un état propre de la parité, de valeur propre +1 (symétrique). De même, |a> est un état propre de valeur propre -1 (antisymétrique).

    Ça c'est l'explication de la somme et de la différence. Le facteur racine de 2 vient du fait que tu veux un état normalisé. Or tu peux voir que la norme de |gauche>+|droite> vaut 2 si |gauche> et |droite> sont normés. Donc il faut diviser par racine de 2 pour que quand tu prennes la norme, tu retombes sur 1.
    Encore une victoire de Canard !

  15. #12
    Karibou Blanc

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Les états propres de l'opérateur de parité sont donc simplement et
    1/ applique P à un état |gauche> tu obtiens quoi ?
    2/ vu la réponse de 1/ et la définition d'un état propre, es-tu convaincu que |gauche> et |droite> ne sont pas des états propres ?
    3/ essaie de reconstruire les deux états propres de P, en les "devinant".
    Well, life is tough and then you graduate !

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  17. #13
    Seirios

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Donc on trouve P(|gauche>+|droite>) = 1.(|gauche>+|droite>) et P(|gauche>-|droite>) = -1.(|gauche>-|droite>), d'où deux états propres (après normalisation) : et .

    Et ensuite, on résoud l'équation de Schrödinger et on remarque que ces deux états ont une énergie déterminée ? Et pourquoi l'opérateur de parité ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  18. #14
    Coincoin

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    L'idée, c'est que par symétrie du problème, la parité est conservée : un état symétrique va rester symétrique. Du coup, ça veut dire que l'opérateur parité et l'hamiltonien commutent, et donc qu'ils ont les mêmes états propres.

    Traduction : t'as beaucoup plus de chances d'avoir des trucs intéressants avec des choses qui respectent bien les symétries de ton problème.
    Encore une victoire de Canard !

  19. #15
    Seirios

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    D'accord merci
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  20. #16
    Seirios

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Je voudrais revenir sur le sujet pour obtenir une petite précision sur cette phrase :

    Citation Envoyé par Coincoin
    la parité est conservée : un état symétrique va rester symétrique. Du coup, ça veut dire que l'opérateur parité et l'hamiltonien commutent
    Comment passe-t-on de la première phrase à la seconde ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  21. #17
    Thwarn

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    En fait, ça va plutot de la seconde a la premiere

    En representation d'Heisenberg, l'evolution de l'operateur parité s'ecrit idP/dt=[H,P] avec un hbar quelque part et potentiellement un signe moins.
    Mais si [H,P]=0, alors l'operateur parité n'evolue pas et donc la parité est conservée.
    C'est comme dans tout les cas de grandeur concervé, cela provient du fait que l'operateur associé commute avec H.
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  22. #18
    Seirios

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Citation Envoyé par Thwarn
    En representation d'Heisenberg, l'evolution de l'operateur parité s'ecrit idP/dt=[H,P] avec un hbar quelque part et potentiellement un signe moins.
    Mais si [H,P]=0, alors l'operateur parité n'evolue pas et donc la parité est conservée.
    Sur wikipédia j'ai trouvé la relation : . Il s'agit bien de la relation à laquelle tu fais référence ? (Tu n'as pas mentionné le , à quoi correspond-il ?)
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  24. #19
    Coincoin

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Ta relation me fait penser au théorème d'Ehrenfest : http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d'Ehrenfest
    Mais il parle des moyennes des observables.

    Le truc c'est qu'il y a 2 manières d'aborder les choses : soit tu considères des opérateurs constants et des états qui dépendent du temps (représentation de Schrödinger) et dans ce cas ça n'a pas de sens de parler de variation de l'opérateur parité, la variation des états est alors donnée par l'équation de Schrödinger, soit tu considères au contraire que les états sont constants et tu mets toute la dépendance temporelle dans les opérateurs (représentation de Heisenberg), l'équivalent de l'équation de Schrödinger est alors l'équation de Thwarn (même si elle n'est pas connue sous ce nom ).
    Encore une victoire de Canard !

  25. #20
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Sur wikipédia j'ai trouvé la relation : . Il s'agit bien de la relation à laquelle tu fais référence ? (Tu n'as pas mentionné le , à quoi correspond-il ?)
    Bonjour,

    C'est une variation propre de l'opérateur au cours du temps. Indépendamment de l'évolution du système.

    Bien entendu, l'opérateur parité est constant. D'où le terme "négligé".

    Comme le fait remarquer Coincoin, c'est évidemment dans la représentation de Heisenberg (dans celle de Schrödinger les opérateurs sont toujours constants).

    Le passage d'une représentation à l'autre se fait par une simple transformation unitaire.

    Il y a même des représentation mixte ! Comme la représentation dite "en interaction".
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  26. #21
    Thwarn

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    En représentation de S, le moyen de montrer que la parité est conservée serait peut-etre de dire :
    [H,P]=0, donc meme si H et P ne sont pas un ECOC (ce qui est peut être le cas ici, j'ai pas vérifié), on peut ecrire H comme une matrix ayant deux sous espaces, l'un de "valeur propre" +1 de parité et l'autre -1.
    Et donc l'evolution produit par H ne melange pas les deux sous-espace, donc si on commence avec un etat paire (ou impaire), on a toujours plus tard un état paire (ou impaire).

    D'ailleurs, il y a un nom (mathematique) particulier pour les sous espace "attaché" à une valeur propre d'un autre operateur?
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  27. #22
    Gwyddon

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Tu peux le dire comme ça :

    [H,P] = 0 donc H et P sont co-diagonalisables (ils sont diagonalisables car opérateurs normaux - ou plus simplement hermitiens).

    Du coup il existe une base commune de vecteurs propres. Si tu prends un état de parité bien définie au départ, c'est un vecteur propre de P donc de H et donc cet état n'évolue pas au cours du temps (sous H) : sa parité n'aura alors pas changée (puisque c'est le même état, à une phase près).

    Du coup la parité est bien conservée (et tout ça en représentation de Schrödinger).
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  28. #23
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Bonjour,

    Je suis d'accord avec ce que tu expliques à part l'énorme abus de langage. Le sous-espace c'est celui de l'espace de Hilbert, pas de l'hamiltonien ! Ce n'est pas parce que les deux se notent H qu'il faut mélanger.

    Sinon, oui, on peut diagonaliser l'opérateur H qui agit alors par bloc sur les sous-espace correspondant dans l'espace de Hilbert. Et donc évolution indépendante.

    Question peut-être idiote :

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    meme si H et P ne sont pas un ECOC
    C'est quoi un ecoc ?

    Si c'est "commutant", oui, ils le sont et doivent l'être (sinon tu ne peux diagonaliser les deux opérateurs en même temps et H n'agira pas "par bloc" sur les sous-espaces associés à l'opérateur parité).

    Voir le message de Gwyddon qui m'a grillé

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    D'ailleurs, il y a un nom (mathematique) particulier pour les sous espace "attaché" à une valeur propre d'un autre operateur?
    Pas à ma connaissance. C'est juste "sous-espace". Ou les espaces cibles des projecteurs associé à l'opérateur. "(sous-)espace projection" ?
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  29. #24
    Thwarn

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Je suis d'accord avec ce que tu expliques à part l'énorme abus de langage. Le sous-espace c'est celui de l'espace de Hilbert, pas de l'hamiltonien ! Ce n'est pas parce que les deux se notent H qu'il faut mélanger.
    oui bon... je suis physicien moi
    Mais tu as tout a fait raison de me corriger

    C'est quoi un ecoc ?
    Ensemble Complet d'Operateur qui Commutent. C'est a dire qu'il n'y a plus de sous espace degenere, comme ca pourrait etre le cas dans un systeme ou [H,P]=0 mais ou deux etats paire auraient meme energie. Par moyen de faire la difference entre eux, a moins de trouver une autre observable qui commute avec H et P (et qui de preference n'a pas meme valeur propre pour les deux etats, sinon faut encore en trouver une autre).
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

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  31. #25
    Karibou Blanc

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    C'est quoi un ecoc ?
    C'est un moyen de discerner qui a lu Cohen-Tannoudji désolé
    Well, life is tough and then you graduate !

  32. #26
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    Ensemble Complet d'Operateur qui Commutent
    Ah, merci. J'avais deviné juste Je connaissais l'expression (évidemment) mais curieusement je n'aavais jamais vu l'acronyme (évidemment, 90% de mes mes sources sont en anglais). Ou alors il est passé devant mes yeux sans le voir, c'est ça la physique quantique

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    C'est un moyen de discerner qui a lu Cohen-Tannoudji

    Ca n'a pas été mon bouquin d'apprentissage en MQ (bien que j'ai déjà lu d'autres bouquins de CT en électrodynamique quantique). Après la formation trop light, j'ai lu Feynman (facile), puis Leonard Schiff (très complet).
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  33. #27
    Gwyddon

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Le Cohen reste un ouvrage de référence pour les chercheurs ceci dit
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  34. #28
    Thwarn

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Ou plutot, c'est la bible des français.
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  35. #29
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Hej,

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    Ou plutot, c'est la bible des français.
    Il est vrai que je ne suis pas Français
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  36. #30
    Gwyddon

    Re : Etats symétrique et antisymétrique de la molécule d'ammoniac

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    Ou plutot, c'est la bible des français.
    Non non, des physiciens en général... J'en veux pour preuve mon expérience à Stanford où chaque chercheur avait un exemplaire du Cohen (traduit) dans son bureau, qu'il soit américain, français, japonais ou brésilien
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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