Condition de roulement sans glissement d'une roue sur un sol

[invite383328c4]

Bonjour à tous,

je ne suis plus étudiant mais je travaille sur la robotique mobile et je m'intéresse actuellement à l'odométrie pour repérer un robot mobile dans un repère absolu à partir des déplacements élémentaires de chaque roue (équipées d'un codeur incrémental).

J'ai lu pas mal de thèses sur ce sujet et j'essaye de redémontrer certaines propriétés et là je bloque sur la toute première qui consiste à exprimer la condition de roulement sans glissement d'une roue (assimilée à un contact ponctuel) sur le sol (on considère bien sûr également que la roue est indéformable ce qui implique un rayon constant).

Alors on introduit un repère absolu quelconque R(O, x, y, z) et un repère mobile associé au plan de la roue R'(O', x', y', z') la roue étant centrée en O'.

J'appelle P le point de contact entre la roue et le sol. La condition de r.s.g revient à dire que la vitesse du point P dans R est égale à 0.

donc après je suis reparti des "bases" (ça m'a fait révisé parce que pour moi la méca ça remonte un peu )

relation de chasles : OP=OO' + O'P soit en dérivant, VP/R=VO'/R + la dérivée de O'P dans R. Cette dérivée peut être exprimée en faisant intervenir la base R' en utilisant la formule de dérivation d'un vecteur d'une base dans une autre. la dérivée de O'P dans R est égale à la dérivée de O'P dans R' + w vectoriel O'P ou w représente la vitesse de rotation angulaire de R' par rapport à R.

Donc au final on retrouve la loi de composition des vitesses :

Vitesse absolue de P dans R = Vitesse relative de P dans R' + Vitesse d'entrainement.

avec vitesse d'entrainement = VO'/R + W vectoriel O'P

Conclusion : condition de r.s.g : Vitesse relative de P dans R' + Vitesse d'entrainement = 0.

Et bien dans toutes les thèses ils disent que la condition c'est VO'/R + W vectoriel O'P = 0... ou est passée la vitesse relative ? pourtant le point P tourne à la vitesse w dans le repère R' il y a donc bien un vecteur vitesse tangent à la trajectoire circulaire, je ne comprend pas , est ce que quelqu'un aurait une idée ?

Merci d'avance.

Francesco
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[invite786a6ab6]

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J'appelle P le point de contact entre la roue et le sol. La condition de r.s.g revient à dire que la vitesse du point P dans R est égale à 0.
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Ce ne serait pas, par hasard, une question de définition du point P. Ce point n'appartient ni à la roue ni au sol et il se déplace avec l'axe de la roue (O') puisqu'il est toujours la sur perpendiculaire au sol abaissé de O' ?

[invite383328c4]

Et bien la définition du point P intervient dans l'étape juste après lorsque l'on passe de la condition vectorielle à l'écriture en projection sur les différents axes, on considère alors que le point a une composante nulle vu qu'il est en contact avec le sol.

Alors après, en vectoriel est-ce qu'il faut considérer que le point P est fixe dans R' et donc que la dérivée du vecteur position dans R' (O'P) est nulle ? Pour moi non étant donné que dans l'écriture "générale" le point P est en fait un point quelconque de la périphérie de la roue et donc il tourne ...

[invite383328c4]

Bon j'ai encore cherché un peu, j'ai une autre piste

si on assimile la roue à un solide on peut utiliser la notion de torseur cinématique et utiliser la formule de transport de la vitesse d'un point à un autre du solide

si on considère VO' la vitesse du centre de la roue alors on peut écrire en utilisant ce principe que la vitesse du point P = Vitesse de O' + W vectoriel O'P et on arrive au résultat attendu.

Est ce que le raisonnement est bon ? et qu'est ce qui cloche dans ce que j'ai voulu faire plus haut (qui correspond en fait à la cinématique du point et non du solide) ?

merci de vos réponses

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

Et bien la définition du point P intervient dans l'étape juste après lorsque l'on passe de la condition vectorielle à l'écriture en projection sur les différents axes, on considère alors que le point a une composante nulle vu qu'il est en contact avec le sol.

Alors après, en vectoriel est-ce qu'il faut considérer que le point P est fixe dans R' et donc que la dérivée du vecteur position dans R' (O'P) est nulle ? Pour moi non étant donné que dans l'écriture "générale" le point P est en fait un point quelconque de la périphérie de la roue et donc il tourne ...

Il faut faire attention quand on parle de rsg. Il y a bien plusieurs point qui se cache derrière ce que tu appelle P (3 en fait, par ex le point lié à la roue qui fait contact à un instant t, le point géométrique etc...)
Ceci fait que tu ne peu pas (ou difficilement) utiliser toutes les relations que tu connais et seule la composition des vitesses est vraiment la plus sûr.

[invitea29d1598]

salut,

je vais répondre de manière un peu plus "large" car même si je pense avoir cerné où est ton erreur de raisonnement, j'en vois une deuxième possible

Alors on introduit un repère absolu quelconque R(O, x, y, z) et un repère mobile associé au plan de la roue R'(O', x', y', z') la roue étant centrée en O'.

là tu as un premier problème : "associé au plan de de la roue" ne nous dit rien sur les axes primés : restent-ils parallèles aux pas primés ou pas ? autrement dit : ton référentiel R' est-il collé à la roue ou bien la suit-il avec une éventuelle rotation ? (je sais ce que tu avais en tête mais te montre les ambiguïtés)

J'appelle P le point de contact entre la roue et le sol. La condition de r.s.g revient à dire que la vitesse du point P dans R est égale à 0.

comme le dit Scorp, là tu as un autre problème : tu as (au minimum) 3 points P : le point P_r qui appartient à la roue, le point P_s qui appartient au truc sur lequel elle roule, et le point géométrique P_g (en fait tu peux avoir jusque 3 points géométriques mais on s'en fiche ici).

La condition de roulement sans glissement est à strictement parler que la vitesse du point physique de la roue P_r (qui à l'instant t est en contact avec le truc sur lequel elle roule mais ne le sera plus un instant plus tard) est égale à celle du point physique P_s qui est en contact avec la roue au même instant (mais ne le sera plus un instant plus tard). Ces deux points physiques ne doivent cependant pas être confondus avec le point "géométrique" de contact avec lequel ils coïncident à l'instant t considéré (ce point géométrique de contact étant lui-même au minimum double puisqu'il y en a un pour la roue et un pour le sol).

Par définition, les points P_r et P_s appartiennent aux solides physiques et ont donc une vitesse nulle par rapport à ces derniers et par rapport à des référentiels strictement collés à ces solides (en clair si R' est collé à la roue et que tes axes primés sont en rotation). Par exemple si tu prends une roue de vélo et qu'à un moment l'endroit où se trouve la valve est au contact avec le sol, tu as à ce moment P_v=P_g (valve coïncide avec "point de contact géométrique"), mais un peu plus tard, ces points ne coïncident plus. Or, celui qui compte pour la condition de roulement sans glissement, c'est le point physique (P_r ou P_v dans le cas du vélo), pas le point géométrique (qui lui est en mouvement dans le référentiel R' collé à la roue).

Dans ton cas, le truc sur lequel roule la roue étant le sol qui est immobile si l'on se place dans le référentiel qui lui est collé, alors tu as bien P_r=0 comme condition. Mais c'est un résultat (imagine par exemple ta roue sur un tapis roulant qui n'a pas une vitesse constante : le référentiel le plus simple pour étudier ton système serait celui du labo, inertiel, mais dans celui-ci la vitesse de P_s ne serait pas nulle et la condition ne serait donc pas P_r=0).

w représente la vitesse de rotation angulaire de R' par rapport à R.

j'en conclus que tes axes primés sont collés à la roue et donc en rotation.

pourtant le point P tourne à la vitesse w dans le repère R'

là tu as un problème : si tu dis que P tourne dans R', ça veut dire :

- soit que tu parles bien de P_r mais considères des axes primés qui restent parallèles aux pas primés

- soit que tu parles du point P_g alors qu'il te faut considérer le point P_r (le point physique de la roue qui est en contact avec le sol à un instant donné mais ne le sera plus juste après).

Si ton référentiel est collé à la roue (et a ses axes qui tournent par rapport à R), alors ton point P_r y est immobile et tu n'as plus de problème. Si ton référentiel n'est pas exactement collé à la roue (seule son origine la suivant mais ses axes restant parallèles à ceux pas primés), alors ton point P_r possède dans ce référentiel une vitesse qui est reliée à celle de P_g par rapport à la roue, mais dans ce cas tu n'as pas de rotation w pour ton référentiel R' et tu retrouves donc bien le même résultat.

si on considère VO' la vitesse du centre de la roue alors on peut écrire en utilisant ce principe que la vitesse du point P = Vitesse de O' + W vectoriel O'P et on arrive au résultat attendu.

Est ce que le raisonnement est bon ? et qu'est ce qui cloche dans ce que j'ai voulu faire plus haut (qui correspond en fait à la cinématique du point et non du solide) ?

ça marche car en utilisant cette formule tu assures par définition à la fois que :

- R' est collé au solide et a ses axes en rotation par rapport à R

- P est un point du solide (P_r en l'occurence) et est donc immobile dans R'

[invite786a6ab6]

On peut peut-être aussi aborder le problème en considérant la roue comme étant formée seulement d'un grand nombre de rayon (sans jante) ; le point de contact d'un rayon avec le sol étant alors de façon évidente un point fixe de pivotement. En passant à la limite avec un nombre infini de rayons, chacun subissant un pivotement infinitésimal, on obtient une "vraie roue".

[invitea29d1598]

salut,

On peut peut-être aussi aborder le problème en considérant la roue comme étant formée seulement d'un grand nombre de rayon (sans jante) ; le point de contact d'un rayon avec le sol étant alors de façon évidente un point fixe de pivotement. En passant à la limite avec un nombre infini de rayons, chacun subissant un pivotement infinitésimal, on obtient une "vraie roue".

je crois que le problème principal de Francess c'est qu'il considérait comme "point devant avoir une vitesse nulle" le point géométrique de contact, c'est-à-dire (en prenant ta roue formée de rayons) un point qui change de rayon avec le temps. Or, ce n'est pas lui sur lequel la condition doit être appliquée.

[invite383328c4]

Bonsoir à tous!

Merci pour toutes vos commentaires, je commence à comprendre où est l'erreur, c'est pas extrêmement clair dans ma tête vu que j'ai pu trop l'habitude de faire de la physique mais j'ai relu à tête reposée ce soir et c'est vrai qu'il y a des ambiguïtés dans ce que je raconte!

La première ambiguïté concerne le repère R' c'est vrai que je ne donne pas assez de précisions et c'est pour ça que je ne fais pas les bonnes considérations. (et c'est surtout que je n'ai pas pensé à ça en fait ...)

Effectivement, si on considère que le repère R' est attaché a la roue, cela implique que les axes primés du repère orthonormé de la base mobile ne sont pas colinéaires aux axes non primés et donc qu'ils "tournent" avec le déplacement de la roue.

Après c'est la où j'ai le plus de mal à "voir", en faisant abstraction des équations, c'est à propos du point de contact que j'ai appelé P.

N'importe quel point de la périphérie de la roue va se retrouver à un instant particulier en contact avec le sol, mais à un instant t il n'existe qu'un seul point "géométrique" coïncident pour cette condition.

Donc dans ces conditions, la vitesse relative de ce point P physique appartenant à la roue a une vitesse nulle dans R' ce qui simplifie l'équation en disant que la vitesse relative de P dans R' est nulle et donc au final on arrive à la condition Vitesse de P dans R = Vitesse de O' dans R + W vectoriel O'P

Ai je bien compris en reprenant vos réponses, est ce que mes propos sont cohérents (ou un peu plus qu'avant) maintenant ?

Merci de votre aide

Francesco

[invitea29d1598]

Ai je bien compris en reprenant vos réponses, est ce que mes propos sont cohérents (ou un peu plus qu'avant) maintenant ?

pour moi ce que tu dis maintenant est cohérent et j'aurais donc tendance à croire que tu as dû comprendre

[invite383328c4]

Merci à tous pour votre aide !

Je serais bientôt de retour avec une nouvelle question sur la modélisation cinématique d'un robot à deux roues différentielles

[invite897678a3]

Bonjour à tous,

Je m'inquiète pour la suite...

C'est quoi:
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