Valeur propre d'un hamiltonien

[invite61042d5d]

Donc voila mon probleme:
Il s'agit plus d'un probleme de physique stat que de quantique d'ailleurs.

Considérez une chaines de N spins qui se referme sur elle même (ce qui veut dire que le spin N+1 coïncide avec le spin 1). On comprend facilement que le systeme est compsé de N paires de spins.

Ces spins sont soit up soit down.

On nous donne maintenant l'expression du hamiltonien du systeme:



Les sigmas ne peuvent prendre que les valeures + ou - 1, ils sont liés à la projection selon Oz du moment cinetique de Spin par :



Je cherche maintenant à déterminer l'énergie fondamentale du systeme ainsi que celle du premier état exité:

Si on raisonne de manière purement physique (c'est à dire si on y va au nez^^), on se dit (et c'est la correction officielle) que l'énergie vaut:

E0 = -J/2 * N (pour l'instant il y a cohérence entre les maths et la physique).

Car dans l'état fondamental on a N paires de spins dans le meme sens (ça ça ne me pose pas de probleme). Les ennuis viennent au premier etat exité:

E1 = -J/2 * (N-2)

Et la c'est vrai que du point de vue purement physique il y a N-2 paires de spins parrallèles et donc N-2 * -J/2.
Le probleme est qu'advient il des deux paires antiparrallèles? Ne doivent elles pas etre considérées dans le calcul de E1?

En effet si on a (N-2) paires qui contribues à l'énergie chacune pour -J/2, il y en à quand meme 2 qui contribues à l'énergie pour +J/2. Cela reviend à un premier niveau d'énergie différent:

E1= -J/2 * (N-4)

Si maintenant on essais de passer par le hamiltonien on retombe sur
E1= -J/2 * (N-4)

Ayant posé la question à mes cammarades je me suis fait rembarrer, et traité de matheux finit, qu'une somme ne se calcul pas comme ça, qu'il faut tenir compte du poids des sigmas (le poids des sigmas???)...

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider et me donner une réponse claire, et me dire enfin ou est ce que je me trompe (car étant le seul à penser ce que je pense la seule chose dont je soit sur c'est de me tromper ^^, mais encore faut il savoir où pour ne plus recommencer).


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[invite7ce6aa19]

Donc voila mon probleme:
Il s'agit plus d'un probleme de physique stat que de quantique d'ailleurs.

Considérez une chaines de N spins qui se referme sur elle même (ce qui veut dire que le spin N+1 coïncide avec le spin 1). On comprend facilement que le systeme est compsé de N paires de spins.

Ces spins sont soit up soit down.

On nous donne maintenant l'expression du hamiltonien du systeme:



Les sigmas ne peuvent prendre que les valeures + ou - 1, ils sont liés à la projection selon Oz du moment cinetique de Spin par :



Je cherche maintenant à déterminer l'énergie fondamentale du systeme ainsi que celle du premier état exité:

Si on raisonne de manière purement physique (c'est à dire si on y va au nez^^), on se dit (et c'est la correction officielle) que l'énergie vaut:

(pour l'instant il y a cohérence entre les maths et la physique).

Car dans l'état fondamental on a N paires de spins dans le meme sens (ça ça ne me pose pas de probleme). Les ennuis viennent au premier etat exité:

E1 = -J/2 * (N-2)

Et la c'est vrai que du point de vue purement physique il y a N-2 paires de spins parrallèles et donc N-2 * -J/2.
Le probleme est qu'advient il des deux paires antiparrallèles? Ne doivent elles pas etre considérées dans le calcul de E1?

En effet si on a (N-2) paires qui contribues à l'énergie chacune pour -J/2, il y en à quand meme 2 qui contribues à l'énergie pour +J/2. Cela reviend à un premier niveau d'énergie différent:

E1= -J/2 * (N-4)

Si maintenant on essais de passer par le hamiltonien on retombe sur
E1= -J/2 * (N-4)

Ayant posé la question à mes cammarades je me suis fait rembarrer, et traité de matheux finit, qu'une somme ne se calcul pas comme ça, qu'il faut tenir compte du poids des sigmas (le poids des sigmas???)...

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider et me donner une réponse claire, et me dire enfin ou est ce que je me trompe (car étant le seul à penser ce que je pense la seule chose dont je soit sur c'est de me tromper ^^, mais encore faut il savoir où pour ne plus recommencer).

.
Bonjour,

.
E0 = -J/2 * N

C'est correcte.

E1= -J/2 * (N-4)

Ca c'est correcte pour representer le cout de retournement d'un spin.

Le problème c'est que ce ne peut pas être le premier état excité.


En effet les états propres doivent se transformer comme exp(-i.k.T) suite a

un changement de base qui correspond à 1 translation du réseau T.voir

théorème de Bloch ou théorie des groupes.
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Une excitation localisée ne répond pas à cette contrainte.
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Pour la suite Je te sugère de consulter le Kittel (c'est très bien expliqué) car

cela n'est pas facile à expliquer sans de longues écritures mathématiques.

[invite61042d5d]

il est vrai que lorsque l'on résonne sur la particpation de chacune des paires parralleles, l'énergie E1 = -J/2 * (N-4) ne peut pas etre l'énergie du premier niveau exité.

Toutefois, il est possible de dire :

H = H1 + H2 + H3 + .... + Hn

et par conséquent E = E1 + E2 + ... + En (je parle ici de l'énergie de chaque particule, pas des niveaux d'énergie).

On en reviend à l'expression de départ du Hamiltonien.

Si on considère le cas de N-1 spin up et 1 spin down (on evitera de parler des paquets de spins retournés), si on tente de résoudre strictement mathématiquement la somme des sigma i, sigma i+1, cela reviend a faire:

(1+1+1+ ... +1-1-1+1+ ... +1)* -J/2

Et donc (N-4)* (-J/2)

Bien sur, plus le cas se complique et plus cette méthode deviet compliqué, mais pour les premiers niveaux elle est quand meme sensé rejoindre l'interprétation purement physique, non?

Il y a surement une erreure dans ce raisonnement mais je n'arrive pas à trouver laquelle.

PS: aujourd'hui il est un peu tard mais demain je cours a la BU prendre un kittel^^.

[invite7ce6aa19]

il est vrai que lorsque l'on résonne sur la particpation de chacune des paires parralleles, l'énergie E1 = -J/2 * (N-4) ne peut pas etre l'énergie du premier niveau exité.

Toutefois, il est possible de dire :

H = H1 + H2 + H3 + .... + Hn

et par conséquent E = E1 + E2 + ... + En (je parle ici de l'énergie de chaque particule, pas des niveaux d'énergie).

.
je ne crois pas que tu puisses écrire çà car ton hamiltonien n'est pas séparable?

. Coment écris-tu l'expression de H1 par exemple?

Bien sur, plus le cas se complique et plus cette méthode deviet compliqué, mais pour les premiers niveaux elle est quand meme sensé rejoindre l'interprétation purement physique, non?

.
les états que tu décrits sont des états fortement excités. Il y en a de beaucoup plus basse énergie. ceux-ci ont une énergie infiniment voisine de l'état fondamental.

Il y a surement une erreur dans ce raisonnement mais je n'arrive pas à trouver laquelle.

Il te manque comme ingrédient l'apport de l'invariance par translation. je te conseille de bien regarder le théoreme de Bloch et surtout de l'appliquer à la théorie des bandes dans l'approximation des liaisons fortes pour une chaine linéaire (par exemple une orbitale s sur chaque atome).

PS: aujourd'hui il est un peu tard mais demain je cours a la BU prendre un kittel^^.

Oui çà sera plus facile pour discuter.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite61042d5d]

donc voila, ayant eu ma reponse, je me doit de poster un dernier message: j'avais raison ^^.

apres une semaine durant laquelle je suis passé pour un abrutit finit, j'ai enfin obtenu que nous revoyons les calculs, et en effet il est sortit que le premier état excité s'écrit bien:

E1 : - J/2 (N-4)

Plusieurs manières mene à ce résultat, tout d'abord la manière avec les mains:

Pour savoir qui contribue à quoi pou l'énergie, en le faisant avec les main on peut écrire que l'énergie vaut : (le nombre de paire parralèles)*(-J/2) + (le nombre de paires antiparrallèles) * (J/2)

Dans le cas du premier état excité on a 1 spin down et N-1 spin up (et vice versa), ce qui provoque N-2 paires parrallèles et 2 paires antiparrallèles, on obtient:

E1= -J/2 (N-2) + J/2 (2) = -J/2 (N-4)

Une manière plus mathématiques de résoudre ce problème aurait été de passer par la résolution du hamiltonien car la "solution" du hamiltonien donne toujours l'énergie de systeme, on obtient:

Si on calcul le hamiltonien cela reviend à:

E1 = -J/2 * (1+1+1+.....+1-1-1+1+....+1)
les deux -1 annulant deux +1 et la somme allant de 1 à N on obtient bien -J/2 * (N-4) = E1

L'erreur commise par mes compagnons a été d'oublier la contribution en J/2 des paires antiparrallèles, car en effet, on a plus que N-2 paires qui contribues en -J/2, mais en plus on a 2 paires qui contribuent pour J/2, si on fait le compte il n'y aura donc que N-4 contribution en -J/2.