Métrique en physique

[Bruno0693]

Bonjour,

J'essaye de m'initier à la Relativité et, pour cela, je commence par me replonger dans les cours de mécanique newtonienne (j'ai oublié pas de notions depuis le temps...).

Je me heurte à un problème de vocabulaire. Dans le chapitre d'introduction du livre que je consulte, je trouve un sous-chapitre initulé "Métrique" et dans lequel je peux lire :

" Si {e_1, e_2, e_3} est une base de l'espace euclidien E^3, les composantes de la métriques dans cette base sont données par les produits scalaires :



Si G est la matrice (symétrique) de ces composantes (matrice 3x3), X la matrice colonne constituée des composantes du vecteur x et Y la matrice colonne des composantes du vecteur y, on a :

"

suivi de propriétés qui me font conclure que G est la matrice d'une forme bilinéaire symétrique définie-positive sur E^3, soit un produit scalaire sur E^3. (en fait, E^3 est l'espace affine associé au R-espace-vectoriel R^3)
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Je ne suis pas à l'aise avec ce terme de métrique employé ici. Pour moi (qui fais des études de maths), une métrique est une distance sur un ensemble quelconque X, c'est-à-dire une application :

,

où :





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Ainsi, si je comprends bien, en physique, une "métrique" désigne également un produit scalaire sur un R-espace vectoriel ?
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[mariposa]

Bonjour,

J'essaye de m'initier à la Relativité et, pour cela, je commence par me replonger dans les cours de mécanique newtonienne (j'ai oublié pas de notions depuis le temps...).

Je me heurte à un problème de vocabulaire. Dans le chapitre d'introduction du livre que je consulte, je trouve un sous-chapitre initulé "Métrique" et dans lequel je peux lire :

" Si {e_1, e_2, e_3} est une base de l'espace euclidien E^3, les composantes de la métriques dans cette base sont données par les produits scalaires :



Si G est la matrice (symétrique) de ces composantes (matrice 3x3), X la matrice colonne constituée des composantes du vecteur x et Y la matrice colonne des composantes du vecteur y, on a :

"

suivi de propriétés qui me font conclure que G est la matrice d'une forme bilinéaire symétrique définie-positive sur E^3, soit un produit scalaire sur E^3. (en fait, E^3 est l'espace affine associé au R-espace-vectoriel R^3)
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Je ne suis pas à l'aise avec ce terme de métrique employé ici. Pour moi (qui fais des études de maths), une métrique est une distance sur un ensemble quelconque X, c'est-à-dire une application :

,

où :





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Ainsi, si je comprends bien, en physique, une "métrique" désigne également un produit scalaire sur un R-espace vectoriel ?

Bonjour,

Tout ce que tu dis est correcte. La définition d"une distance à partir d'une forme bilinéaire symétrique n'est qu'un exemple pour définir une distance sur les espaces vectoriels. L'axiome de la distance ne dépend pas de la structure espace vectoriel.

[Bruno0693]

Salut,

Merci pour ta réponse.

Ok. Je crois que je vois.

Finalement, à partir du produit scalaire f sur l'espace-vectoriel E, on définit une norme :

, et E devient un espace normé

Puis, à partir de la norme, on définit une distance :

, et E devient un espace métrique : on peut alors calculer la distance entre deux points.