Principe de Fermat, ai-je compris ?

[invitea1110a42]

Bonjour,

Je cherche à comprendre ce principe ET ce qui intrigue les physiciens.
Je m'appuierai sur cette image pour expliquer ma compréhension de ce principe :
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...ir_concave.jpg

La lumière empreinte les 3 chemins de l'image, deux minimum et un maximum, ce sont 3 extremums, ils correspondent à des chemins stationnaires car leur point de réflexion (M, sur le miroir) ont une tangeante horizontale donc des variations d'ordre très grand...

1) La question qui semble intéresser tout le monde est "Comment la lumière reconnait-elle un chemin stationnaire ?"
2) Celle que je me pose en + "A quoi cela lui sert de passer par un chemin stationnaire ?"
3) extremum = minimum OU maximum mais rien d'autre ? Est-ce forcément un extremum qui donne un chemin stationnaire ?
4) la lumière est diffusé tout autour d'elle mais ce principe sous entendrait qu'en partant du point A elle ne suivrait QUE 3 chemins ? elle n'est pas isotrope ?
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[GrisBleu]

Salut

En reponse a la 1, je te dirais bien que la lumiere passe par ce chemin (c est le fait experimental) et que le principe de Fermat nous donne le bon chemin (la loi qui en est tiree). C est le but de la physique en general de predire ce qui se passe. Sinon, il y a la QED qui "explique" plus en deatil ce qui se passe. Feymann a ecrit un tres bon livre la dessus. En gros la lumiere "passe" par tous les chemins, mais le chemin stationnaire est celui qui contribue le plus car la phase y est stationnaire. Les autres chemins sont en interferences destructives.
2- a rien de plus qu'a un phton qui suit le chemin le plus court dans l'espace temps courbe
3- oui
4- En gros, c est le principe de Frenel: La lumiere part dans tous les sens, mais a chaque nouveau point, il y a une source isotrope et au final, seuls les chemins stationnaires ne sont pas detruits.
++

[LPFR]

Bonjour.
Pour expliquer ce comportement on peut passer par les lois de Maxwell et les conditions limites des champs électromagnétiques sur la surface d'un conducteur.
L'autre possibilité est d'étudier cela d'un point de vue interférentiel. Dans ce cas, la lumière se comporte comme si elle empruntait tous les chemins à la fois.
Et au point d'observation on a la somme de tous les rayons qui ont emprunté tous les chemins. Mais c'est une somme an tenant en compte la phase, laquelle dépend de la longueur du chemin parcouru: le chemin optique. La phase change très rapidement quand le parcours change car la longueur change très rapidement. Sauf pour les extrêmes, pour lesquels la longueur optique change peu quand le parcours change. Donc, les rayons qui passent près du parcours extrême s'ajoutent en phase (ou presque) est contribuent au maximum de lumière, alors que ceux qui passent ailleurs s'ajoutent destructivement.

Je vous invite à lire le petit bouquin de divulgation de Feynman "Lumière et matière: une étrange histoire" chez InterEditions. Vous trouverez réponse à vos doutes.

Au revoir.

[invitea1110a42]

Merci vous avez déjà levé beaucoup d'interrogations à ce niveau .

Pour en revenir aux extremums, pourquoi sont-ils les seuls à donner des parcours stationnaires ?

Et aussi, le lien avec la mécanique lagrangienne c'est le fait de passer de la lumière à toutes formes d'énergie ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Re.

Pour en revenir aux extremums, pourquoi sont-ils les seuls à donner des parcours stationnaires ?

Je croyais vous l'avoir dit: parce que les parcours extrêmes correspondent à des chemins optiques proches et que les amplitudes des rayons s'ajoutent en phase.
Mais je n'ai peut-être pas compris ce que vous entendez par stationnaire.

Et aussi, le lien avec la mécanique lagrangienne c'est le fait de passer de la lumière à toutes formes d'énergie ?

Là, je trouve qu'on va un peut trop loin, du moins pour moi. Le principe suivant lequel les systèmes "tendent" vers les états d'énergie potentielle minimum ne me semble pas relié au principe de Fermat. En fait, je n'ai aucune explication sauf que c'est un résultat empirique.

A+

[stefjm]

Là, je trouve qu'on va un peut trop loin, du moins pour moi. Le principe suivant lequel les systèmes "tendent" vers les états d'énergie potentielle minimum ne me semble pas relié au principe de Fermat. En fait, je n'ai aucune explication sauf que c'est un résultat empirique.

Bonjour,
Il y a le principe de Maupertuis, de Lagrange en mécanique.
Ce sont des principes variationels.
@+

[invitea1110a42]

Re.

Je croyais vous l'avoir dit: parce que les parcours extrêmes correspondent à des chemins optiques proches et que les amplitudes des rayons s'ajoutent en phase.
Mais je n'ai peut-être pas compris ce que vous entendez par stationnaire.

Je pourrais reformuler ma question effectivement : "Pourquoi les parcours extrêmes correspondent à des chemins optiques proches ?"

Si vous voulez, en prenant l'image que j'ai mis en lien dans mon post initial, on voit effectivement que des chemins avoisinant les chemins des deux minimums et du maximum donnent quasiment la même longueur d'où l'état "stationnaire" car l'ordre de variation est > ou = à 2. Mais ça ne me dit pas pourquoi ce serait à ces pts et pas à d'autres que cette variation est si faible.


Merci stefjm

[LPFR]

Re.

Je pourrais reformuler ma question effectivement : "Pourquoi les parcours extrêmes correspondent à des chemins optiques proches ?"

C'est la définition même d'extrême. C'est un endroit où la fonction varie peu ou, si vous préférez, la dévirée est presque nulle.

Si vous voulez, en prenant l'image que j'ai mis en lien dans mon post initial, on voit effectivement que des chemins avoisinant les chemins des deux minimums et du maximum donnent quasiment la même longueur d'où l'état "stationnaire" car l'ordre de variation est > ou = à 2. Mais ça ne me dit pas pourquoi ce serait à ces pts et pas à d'autres que cette variation est si faible.

Je ne comprends pas votre problème. Vous venez de trouver les points pour lesquelles la variation est faible et qui donnent donc, des extrêmes, et vous vous demandez pourquoi ces points et pas d'autres?
Je ne vois pas votre problème.
A+

[herman]

Là, je trouve qu'on va un peut trop loin, du moins pour moi. Le principe suivant lequel les systèmes "tendent" vers les états d'énergie potentielle minimum ne me semble pas relié au principe de Fermat. En fait, je n'ai aucune explication sauf que c'est un résultat empirique.

Notre prof en méca lagrangienne a posé une équivalence entre le lagrangien et le principe de fermat, vous etes sur qu'il n'y a aucun rapport ?

[LPFR]

Re.

Notre prof en méca lagrangienne a posé une équivalence entre le lagrangien et le principe de fermat, vous etes sur qu'il n'y a aucun rapport ?

Moi j'ai seulement dit que je ne le pensais pas. Mais Stefjm semble trouver au moins un parallèle.
Dans le Feynman, le principe de Fermat et le principe de moindre action sont dans des chapitres très éloignées et il ne me semble pas qu'il fasse le rapprochement.
A+

[stefjm]

Moi j'ai seulement dit que je ne le pensais pas. Mais Stefjm semble trouver au moins un parallèle.

J'avais été impressionné par le parallèle quand j'étais petit.

Dans le Feynman, le principe de Fermat et le principe de moindre action sont dans des chapitres très éloignées et il ne me semble pas qu'il fasse le rapprochement.

C'est presque étonnant vu son parcours :
Richard Feynman, en 1942, a proposé une nouvelle formulation du principe dans sa thèse de doctorat intitulée Le Principe de moindre action en mécanique quantique, permettant une réécriture de la mécanique quantique.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_de_moindre_action (court historique)

[invite58a61433]

Bonjour,

Dans le Feynman, le principe de Fermat et le principe de moindre action sont dans des chapitres très éloignées et il ne me semble pas qu'il fasse le rapprochement.

En fait il fait le rapprochement, il en parle juste après avoir dérivé la loi de Newton à partir de l'intégrale d'action (chapitre 19 tome 1 d'électromagnétisme p.336 dans l'édition Dunod) mais il ne s'attarde pas dessus. En réalité le principe de Fermat ce n'est ni plus ni moins que le principe de moindre action appliqué à un "rayon lumineux".

[invitea1110a42]

C'est la définition d'extremum que je ne comprends pas, pour moi la définition était que c'était soit un parcours minimum soit un parcours maximum, pas que sa dérivée était presque nul.

[invite58a61433]

Les chemins stationnaires sont ceux pour lesquels le temps de parcours de la lumière ne change que très peu pour une petite variation du chemin suivi.

Autrement dit si l'on suppose que le chemin que j'appelle C est celui qui minimise le temps de parcours (temps de parcours T) et que je choisis un autre chemin C' qui est très proche (qui donnerait donc un temps de parcours T'), à la limite mathématique infiniment proche, du chemin C alors la variation du temps de parcours entre le chemin C et C' (soit ) doit être quasi-nulle (à la limite mathématique nulle). Ce sont les chemins stationnaires qui vérifie cette condition.
Maintenant si on appelle T(C) la "fonction" qui donne le temps de parcours en fonction du chemin suivi et si C et C' sont très proches alors on peut écrire :



Et le moyen d'obtenir très petit (à la limite nulle) c'est d'avoir très petit (à la limite nulle). Ainsi pour trouver les chemins stationnaires on cherche ceux qui annule la dérivée (de façon plus générale la différentielle). Voilà c'était pas vraiment rigoureux comme présentation, mais tu devrais t'intéresser au comportement de la dérivée d'une fonction au voisinage d'un extremum parce que c'est exactement ce problème.

[invitea1110a42]

Je préfère être franc ça ne m'aide pas .

Ce que tu dis je l'ai assimilé, c'est l'histoire de l'extremum que je n'assimile pas, auriez-vous une définition complète de ce mot en physique et plus précisément relativement au principe de Fermat ?

Merci

[invite58a61433]

Ici la définition est la même qu'en maths c'est à dire que c'est un chemin pour lequel ton temps de parcours sera soit minimum soit maximum, mais ton temps de parcours il est fonction du chemin suivi et par conséquent d'un, deux ou trois (etc...) paramètres géométriques.
Maintenant si tu écris le temps de parcours en fonction de ces paramètres géométriques tu obtient une fonction tout ce qu'il y a de plus banal où sont les paramètres géométriques dont dépend ton temps de parcours, maintenant ta fonction T (temps de parcours) admet des maximum et minimum et comme toute les fonctions sympathique elle a sa différentielle (plus simplement sa dérivée si elle n'a qu'une seule variable) nulle aux points de maximum et minimum.

La définition d'un extremum n'est bien entendu pas que la dérivée est nulle mais bien que la fonction admet un minimum ou un maximum, mais tu as un joli théorème de maths qui te dit que les dérivées d'une fonction (pour peu qu'elle soit dérivable mais bon...) s'annule en ses extremum, théorème facile à démontrer par ailleurs.

[invitea1110a42]

Ok et il s'agit de quel théorème ?

[GrisBleu]

Salut

Le theoreme est
extremum => derivee nulle
Si tu as une fonction derivable f qui est maximum (par exemple) en x0, alors
f(x)-f(x0)<0 pour x<x0 et f(x)-f(x0)>0 pour x>x0
donc la limite a gauche de f(x0)-f(x)/x0-x est >=0 (f croit) et sa limite a droite est <=0 (f decroit). Comme f est derivable en x0, la seule possibilite est que f'(x0)=0

La reciproque est fausse. Ex: x^3 en 0
Mais je pense que physiquement ca ne change rien: comme f' est nulle en 0. f varie peu autour de 0

Finalement pour te convaincre, vive les DL:
f(x0+h)=f(x0)+hf'(x0)+h^2/2f''(x0)+h^2(...)
si f a une derviee nulle en x0, alors
f(x0+h)=f(x0)+h^2/2f''(x0)+h^2(...)
c'est a dire qu'au premier ordre, f est constante tout pres de x0

A bientot

[invitea1110a42]

Si tu as une fonction derivable f qui est maximum (par exemple) en x0, alors
f(x)-f(x0)<0 pour x<x0 et f(x)-f(x0)>0 pour x>x0

Tu dis que f(x0) est un maximum alors que x soit < ou > à x0 ne change rien, f(x) - f(x0) < 0 non ? Encore un truc qui m'échappe décidément...

[invitea1110a42]

En y repensant, je pense que tu voulais plutot expliciter ceci :

est un maximum
pour tout de la fonction

On a alors :




De là en découle effectivement l'idée de la dérivée nulle ?

[invite166a8317]

Bonjour,

et comme toute les fonctions sympathique elle a sa différentielle (plus simplement sa dérivée si elle n'a qu'une seule variable) nulle aux points de maximum et minimum.

Soit f une fonction définie sur un ensemble D
Soit a appartient à D
On dit que f est dérivable en a lorsque : lim h --> 0 (f(a+h) – f(a)) / h existe et est un réelle.
Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et notée f ’(a)

[GrisBleu]

En y repensant, je pense que tu voulais plutot expliciter ceci :

Salut

Ouais c 'etait ca Ah les erreurs de signes...
Vois tu maintenant
- pourquoi la derivee est nulle en cas d'extremum ?
- Si il y a une derivee nulle, la fonction croit lentement autour de ce point (qui n est pas forcement un extremum) ?

A bientot

Vlad