Principe de moindre action en méca quantique

[invite503e7fd6]

Bonsoir,

Voilà, je dois faire une petite biographie sur R. Feynman et j'aimerais parler de ses contributions en physique. J'ai décidé de dire quelques mots sur ses principaux sujets, à commencer par sa thèse dont le thème fait l'objet de mon post : principe de la moindre action en Méca Quantique.
Le seul problème est que je suis pour le moment en Maths sup et que bien qu'ayant compris ce principe en mécanique classique, j'avoue que les intégrales de chemin me laisse perplexe.
Pourriez vous s'il vous plait m'indiquer un lien ou m'expliquer ce que Feynman a développé sur ce principe en méca quantique?

Je vous remercie d'avance.

J.G.
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[invite60be3959]

salut,

est-ce-que tu es passé voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_chemin ? C'est pas trop mal expliqué, quoique un peu vide de concepts physiques. Si j'ai le temps j'te ferais un p'tit topo.

[GrisBleu]

Salut

L'article de wiki est un brin abstrait
En resume, l'amplitude de probabilite "etre a x au temps t puis a x' au temps t'" est

L'interpretation est que chaque chemin a une egale importance (le e^... a un module de 1 quelque s oit le chemin). Par contre, si S (l'action classizque) a un extremum, les chemins qui sont autour de cet extremum ont une action voisine (definition d'extremum) et donc la phase est elle aussi voisine. Bref ces chemins sont en interferences constructives. Les uatres chemins sont loin de cet extremum et donc sont en interferences destrutcives avec leurs voisins. Plus h est petit pire c'est.
A la limite h->0, il ne restera que le chemin classique (qui est celui d'action extremale)

++

PS: Je me souviens d'avoir fait des developements similaires en taupe a propos des ondes EM. C'est exactement la meme idee

[invite503e7fd6]

Merci pour vos précisions, mais pourriez vous me décrire physiquement ce que cela signifie s'il vous plait. J'essayerai ensuite de faire le rapprochement avec l'intégrale de chemin et le commentaire de Wlad_von_tokyo.

L'interpretation est que chaque chemin a une egale importance (le e^... a un module de 1 quelque s oit le chemin)

Tu veux dire que le tous les chemins que peut emprunter la particule ont la même probabilité?

Qu'appelle-t-on action classique?

PS: effectivement, le topo de wikipedia est un peu abstrait. Ce qui m'intéresse en fait est de savoir ce que modélise cette intégrale de chemin et ce que Feynman a développé sur ce principe de moindre action en mécanique quantique; je doute d'avoir les connaissances pour comprendre tout cela de manière formelle. Et à vrai dire, je n'est aucune connaissance en mécanique quantique, à part quelque notion sur les interactions et les différentes particules...

Merci d'avance pour vos réponses

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

Salut

En MQ tu as les "amplitudes de probabilites" et les "probabilites".
Soit un etat a (b) decrit par un vecteur |a> (|b>)
L'amplitude de probabilite de trouver b sachant que l'etat est a est <a|b>
La probabilite de trouver b sachant que l'etat est a est |<a|b>|^2
Or en MQ tu additionnes les amplitude de probabilite. C'est la que ce que tu etudies en taupe sur les ondes EM peut te servir.

Dans le cas de l'integrale de chemin, chaque chemin a une amplitu de probabilite e^... Le module de cette amplitude est 1 MAIS l'amplitude totale est la somme sur tous les chemins des amplitudes. OR certaines amplitudes vont s'annuler et d'autres s'ajouter. En effet
|z1+z2>|^2=|z1|^2+|z2|^2 + 2Re<z1|z2>
Le dernier peut annuler les deux premiers par exemple. Ou les renforcer

Maintenant, en physique classique, il y a un concept appele action S qui est fonction d'un chemin. Un theoreme de la physique est que le chemin effectivement suivit par une particule est celui qui donne une action extremale (souvent minimale). Ce theoreme redonne les lois de Newton et celles de Maxwell.

Si tu mets tout ca ensemble. La particule "sent" tous les chemins en MQ (principe de linearite) dont les amplitudes de proba s'additionnent. comme deja ecrit, le chemin classique q comme propriete d'avoir une action extremale donc les chemins proches vont etre de meme action (au premier ordre) et leurs amplitudes vont s'amplifier.

Pour mieux comprendre (et sans autres maths que les complexes), il y a le tres bon livre de Feymann sur la QED.

++

[invite60be3959]

Bonsoir,

Voilà, je dois faire une petite biographie sur R. Feynman et j'aimerais parler de ses contributions en physique.

salut,

tout dépend en effet de la taille de la biographie que tu dois faire. Même si tu ne connais pas la MQ, c'est possible avec une bonne maîtrise du vocabulaire. Sache tout de même que sa principale contribution à la physique est l'électrodynamique quantique (QED). En interprétant originalement les solutions de l'équation de Dirac, et en en déduisant les amplitudes gràce à ses intégrales de chemins. Ses fameux diagrammes ont également marqués sont époque et sont maintenant enseignés dans n'importe quel master de physique.

[invite503e7fd6]

Bonjour,

Merci pour ta réponse wlad_von_tokyo, je vais regarder tout ça.
Pour te répondre Vaincent, je n'ai pas de taille à proprement parlé. En fait, notre prof de physique demander aux 47 étudiants de ma classe de réaliser une biographie d'un physicien célèbre en essayant de parler de ses contributions en physique, (C'est ce qui est important d'ailleurs, enfin je trouve... Il n'y a pas grand interêt à raconter seulement sa vie... ) histoire d'élargir un peu notre culture et d'ouvrir vers d'autre aspect de la physique que nous n'étudions pas encore. Voilà, donc j'ai voulu prendre quelqu'un de moins connu (très relativement bien sûr, mais du grand public disons), et également moins "bateau" que Newton ou Einstein ou autres, sur qui ce sont jetés les 3\4 des gens lors du choix des biographie... Bien sûr je ne doute pas de leur importance et leur intérêt...

Bref, J'envisage bien sur de parler de la QED, mais j'ai voulu commencer par sa thèse, car c'est là qu'il a commencer a utiliser ses fameux diagrammes ainsi que l'intégrale de chemin; puis le principe de la moindre action est assez intéressant, pour ce que j'en ai compris en méca classique tout du moins.
Tu me rassure Vaincent en me disant que c'est possible sans trop de connaissance...

Je vous remercie, je vais essayer de débroussailler un peu tout ça...

[invitedbd9bdc3]

Un theoreme de la physique est que le chemin effectivement suivit par une particule est celui qui donne une action extremale (souvent minimale).

Un postulat, plutot. Non?

Pour te répondre Vaincent, je n'ai pas de taille à proprement parlé. En fait, notre prof de physique demander aux 47 étudiants de ma classe de réaliser une biographie d'un physicien célèbre en essayant de parler de ses contributions en physique, (C'est ce qui est important d'ailleurs, enfin je trouve... Il n'y a pas grand interêt à raconter seulement sa vie... ) histoire d'élargir un peu notre culture et d'ouvrir vers d'autre aspect de la physique que nous n'étudions pas encore. Voilà, donc j'ai voulu prendre quelqu'un de moins connu (très relativement bien sûr, mais du grand public disons), et également moins "bateau" que Newton ou Einstein ou autres, sur qui ce sont jetés les 3\4 des gens lors du choix des biographie... Bien sûr je ne doute pas de leur importance et leur intérêt...

Pour connaitre un peu mieux sa vie, il y a de tres bons bouqins (dont certains traduit en français), comme "Surely you're joking, Mr Feynman" et un autre qui est un reucueil de d'une partie de sa correspondance. Tres tres interressant et tres drole.

[invitea29d1598]

y'a eu aussi un numéro des "Génies de la science" qui lui a été consacré.

[BioBen]

Pour avoir une compréhension plus intuitive de l'integrale de chemin,un très bon livre est celui de A.Zee "Quantum field theory in a nutshell", notamment le chapitre p7 "Path Integral Formulation of Quantum Physics" sous titre "The professor's nightmare : a wise guy in class", le wise guy étant Feynman .

[GrisBleu]

Un postulat, plutot. Non?

Salut. Effectivement, on peut le prendre comme postulat. Mais comme le niveau de la discussion est L1/L2, je pense que les postulats sont les equations de Newton et de Maxwell et le principe de moindre action est un theoreme (bon, apres c'est de la capilotraction )

Sinon, pour le Zee (et les bouquins de QFT en general), je trouve que c'est bien explique mais comme le public cible est quand meme loin d'etre ignorant, ca va parfois trop vite (manque d'exemple). Le QED de Feymann est vraiment genial pour des gens qui comprennent les complexes seulement et parcque l'auteur prend son temps pour expliquer pas mal d'exemples simples (et au programme de L1/L2 en EM)

A+

[BioBen]

Sinon, pour le Zee (et les bouquins de QFT en general), je trouve que c'est bien explique mais comme le public cible est quand meme loin d'etre ignorant, ca va parfois trop vite (manque d'exemple).

Oui oui on en avait déja parlé sur un autre fil, pour étudier la QFT sur le Zee faut l'avoir déja étudiée ailleurs Mais au niveau anecdote historique ou intereprétations physiques je le trouve plutot bien fait.

[Seirios]

Un theoreme de la physique est que le chemin effectivement suivit par une particule est celui qui donne une action extremale (souvent minimale).

Elle peut parfois être maximale ?

J'en profite également pour donner une référence qui pourrait être intéressante : http://www.lerepairedessciences.fr/l...0quantique.htm

[Seirios]

Elle peut parfois être maximale ?

Parce que le principe de moindre action pose , d'où la présence a priori d'un extremum en général, mais je pensais qu'il ne pouvait exister de maxima, l'action tendant vers l'infinie pour une vitesse tendant vers c, et donc que la condition imposait un minimum. Peut-il donc exister un maximum ?

Un petit détail qui me dérange dans la formulation du principe de moindre action, c'est que la condition , n'impose pas forcément un extremum, enfin il me semble. D'un point de vue mathématique, il est nécessaire que la dérivée change également de signe, non ?

[invitea29d1598]

Un petit détail qui me dérange dans la formulation du principe de moindre action, c'est que la condition , n'impose pas forcément un extremum, enfin il me semble. D'un point de vue mathématique, il est nécessaire que la dérivée change également de signe, non ?

oui. C'est pour ça qu'en toute rigueur on ne dit pas que l'action est extrémale, mais stationnaire. Même chose pour le principe de Fermat où on comprend facilement que le chemin optique entre deux points ne peut jamais être maximal puisqu'il y a toujours moyen de faire un chemin très semblable à un premier mais comportant plein de zigzags. Stationnaire inclut en plus les points selles, qui existent assez souvent dès qu'on n'a pas qu'un seul paramètre(par exemple si tu prends deux points sur une sphère, il y a une géodésique de longueur minimale qui les joint, et son complémentaire, aussi un arc de cercle, n'est pas un maximum mais un point selle vis-a-vis des deux coordonnées décrivant le chemin).

[Seirios]

Donc finalement il est faut de dire que le principe de moindre action :

est l'hypothèse selon laquelle la dynamique d'une quantité physique (la position, la vitesse et l'accélération d'une particule, ou les valeurs d'un champ en tout point de l'espace, et leurs variations) peut se déduire à partir d'une unique grandeur appelée action, dépendant de la quantité physique considérée, et en supposant que les valeurs dynamiques permettent à l'action d'avoir une valeur minimale entre deux instants donnés.

[invitea29d1598]

Donc finalement il est faut de dire que le principe de moindre action :

pas complètement faux, mais pas complètement correct non plus : la plupart du temps c'est le (ou un) minimum, mais il serait plus juste de parler d'action stationnaire...

[GrisBleu]

Salut

As tu en tete des exemples avec phases stationnaires non extremales ?
Ca m'interesserait bien comme exemple

++

[invitea29d1598]

j'ai cité le cas des géodésiques d'une sphère (si on ne prend pas le plus petit arc de cercle mais son complémentaire), mais sinon il y a aussi des exemples avec certains miroirs sphériques (ou en tous cas courbes, je me souviens plus exactement des détails sauf du fait que là c'est un chemin "localement maximal" qui peut être suivi).


[edit] j'ai remis la main sur un article intéressant sur le sujet : When action is not least. On y trouve plusieurs exemples détaillés.

[Seirios]

Merci pour ce document, il devrait répondre complètement à mes questions