Pb simple : dilatation thermique d'une poutre liée à un ressort

[inviteda3f6c55]

Bonjour à tous,

Je me tourne vers vous car je cherche désespérément la solution d'un problème simple : une poutre encastrée d'un coté, et reliée de l'autre coté à un ressort, encastré aussi, ça pourrait ressembler à çà (avec de l'imagination ):

}======O-/\/\/\/-{

on a pour les caractéristiques de la poutre E, S, L, T pour la température et alpha le coeff. de dilatation
pour le ressort, on a K, sa raideur

Je n'arrive pas à trouver la valeur finale U de l'élongation de la poutre !

Sans ressort, on aurait U=alpha.L.T
Mais avec un ressort de raideur K, U=??

J'ai essayé l'égalité en effort, ça me donne :
F1=E.S.alpha.T
F2=K.U
F1=F2 => U=ES.alpha.T/K, mais ce n'est pas çà car pour un K nul on se retrouve avec un U infini !

Quelqu'un aurait la solution ?

Merci !
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[invite7b583606]

Je ne suis pas un fin connaisseur en cette matière mais peut-être mon idée peut aider :
Je me demande s'il ne faut voir le problème de manière dynamique et non statique :
Supposons la poutre échauffée sans le ressort (avec son élongation normale).
Si nous appuyons le ressort dessus, nous introduisons à ce moment une pression qui va se résoudre, à mon avis, par des transferts de chaleur, c'est à dire qu'à l'équilibre nous aurons un autre T et un autre L qu'au début.
Il faudrait dans ce cas tenir compte du mode de dissipation éventuel de la chaleur ?
Bref, le problème doit-il se penser à température constante ?

[cedbont]

Bonjour,

le raisonnement est bon : il y a une égalité des efforts en bout de poutre, mais l'expression des efforts dans la poutre est erronée.

En effet, imagine une poutre sur laquelle tu tires de façon à l'allonger d'1 cm (pas plus, pas moins, on veut un déplacement imposé). Tu soumets ta poutre à une traction qui engendre des contraintes en son sein. Maintenant, tu chauffe la poutre et tu te débrouille pour que l'allongement d la poutre reste de 1 cm. Sous l'effet de la chaleur , la poutre à tendance à s'allonger et pour conserver un déplacement constant, tu dois diminuer l'effort de traction.

Ce que je veux dire c'est que l'allongement total entre en compte dans le calcul de la force de traction mais l'allongement thermique aussi, on a :

F1 = E.S.(epsilon(total)-epsilon(thermique)) = F2 = K.L.epsilon(total)

Epsilon est ici une déformation : u/L.

Donc : E.S.(U/L-alpha.T) = K.L.U/L = K.U

U = E.S.alpha.L.T/(E.S-K.L)

[inviteda3f6c55]

pfrappe : en fait je me limite au problème théorique très simple, sans échange de chaleur ! La température est effectivement considérée constante

cedbont : merci beaucoup ! tout ce que tu me dis est juste à la nuance près que dans l'expression de F1, il faut considérer epsilon(total)+epsilon(thermique) sinon, dans l'expression finale de U, si on cherche l'élongation que l'on a si la raideur du ressort est égale à la raideur de la barre (K=ES/L), on tombe sur une élongation infinie au lieu d'avoir alpha.L.T/2 (élongation thermique /2)

mais merci beaucoup !

[A voir en vidéo sur Futura]