Pour expliquer ce qu'est une representation multivaluée et son rapport avec la topologie on ne peut pas trouver plus compliqué que le groupe de Poincaré!!. Un groupe à 10 paramètres, dont la topologie est très compliquée.
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Autant prendre le groupe SO(3) qui est un groupe à 3 paramètres et pour lesquels l'exemple est traité dans beaucoup de livres et fortement justifié par son rapport avec la MQ.
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En fait l'exemple de SO(3), regardé sur l'aspect pédagogique, presente 2 inconvénients:
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1-mineur est qu'il faut faire un dessin à 3 dimensions.
2-majeur lié au fait que le groupe est topologiquement isomorphe est une sphère (pleine, ou creuse) avec des points identifiés (surface entière ou points antipodaux) ce qui n'est pas l'essence du problème.
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Donc pour simplifier la compréhension il faudrait un groupe a 2 paramètres dont la topologie est simple sans points identifiés.
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Pour çà je prend comme espace des paramètres un disque plein avec un trou au milieu. Dans ce cas il y a 2 classes de chemins:
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1- On part d'un point et l'on revient sur ce point en évitant le trou.
2- On part du point et l'on tourne autour du trou pour revenir autour du point de départ.
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Ainsi n'importe quel point (élément du groupe) se situent sur deux courbes appartennant a chaque classe. donc a 1 élément du groupe correspond 2 matrices, c'est a dire que la representation est bivaluée.
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Pour être complet il faudrait partir d'un groupe et montré que sa topologie est celle du disque plein avec un trou au milieu. Si quelqu'un pouvait trouver la solution. En fait c'est un problème inverse. Soit la topologie d'un groupe trouver le (les) groupes. Ca c'est pour les mathématiciens.
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