Theorie des groupes pour physiciens !

[mariposa]

Un extrait sur les représentations multivaluées (Ohnuki, "Unitary representations of the Poincaré group"):
"[...]an element of the Poincare group has ten parameters, and various transformations are given, corresponding to the values of these parameters. The whole set of values of the parameters are called a parameter space. The identity is, of course, a point in this space, and is represented by e. Let us now consider a closed curve which starts from e, goes around in the space and returns again to e. Each point on the closed curve has the corresponding transformation, and by the continuity of representation the transformation must vary continuously with the continuous movement of the point. Therefore, if the closed curve can be shrunk continuously into the point e, the representations corresponding to the starting point e and to the end point e of the curve are the same. In a simply connected parameter space any closed curve is shrinkable in this way, but in another space with different property there exists a closed curve which cannot be shrunk. In
such a case, the representations corresponding to the starting point e and to
the end point e are not necessarily the same. As a result, there will appear the so-called multi-valued representations. In order to apply this method to the Poincare group, we have to investigate the connectedness of the space formed by ten parameters."

Cela vous aide-t'il dans la compréhension?

Cordialement.

Pour expliquer ce qu'est une representation multivaluée et son rapport avec la topologie on ne peut pas trouver plus compliqué que le groupe de Poincaré!!. Un groupe à 10 paramètres, dont la topologie est très compliquée.
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Autant prendre le groupe SO(3) qui est un groupe à 3 paramètres et pour lesquels l'exemple est traité dans beaucoup de livres et fortement justifié par son rapport avec la MQ.
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En fait l'exemple de SO(3), regardé sur l'aspect pédagogique, presente 2 inconvénients:
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1-mineur est qu'il faut faire un dessin à 3 dimensions.

2-majeur lié au fait que le groupe est topologiquement isomorphe est une sphère (pleine, ou creuse) avec des points identifiés (surface entière ou points antipodaux) ce qui n'est pas l'essence du problème.
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Donc pour simplifier la compréhension il faudrait un groupe a 2 paramètres dont la topologie est simple sans points identifiés.
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Pour çà je prend comme espace des paramètres un disque plein avec un trou au milieu. Dans ce cas il y a 2 classes de chemins:
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1- On part d'un point et l'on revient sur ce point en évitant le trou.
2- On part du point et l'on tourne autour du trou pour revenir autour du point de départ.
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Ainsi n'importe quel point (élément du groupe) se situent sur deux courbes appartennant a chaque classe. donc a 1 élément du groupe correspond 2 matrices, c'est a dire que la representation est bivaluée.
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Pour être complet il faudrait partir d'un groupe et montré que sa topologie est celle du disque plein avec un trou au milieu. Si quelqu'un pouvait trouver la solution. En fait c'est un problème inverse. Soit la topologie d'un groupe trouver le (les) groupes. Ca c'est pour les mathématiciens.
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[invité576543]

Pour expliquer ce qu'est une representation multivaluée et son rapport avec la topologie on ne peut pas trouver plus compliqué que le groupe de Poincaré!!

Si, si, ...

Pour çà je prend comme espace des paramètres un disque plein avec un trou au milieu. Dans ce cas il y a 2 classes de chemins:
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1- On part d'un point et l'on revient sur ce point en évitant le trou.
2- On part du point et l'on tourne autour du trou pour revenir autour du point de départ.

Il n'y a pas deux classes de chemin, mais un nombre dénombrable, et elles se structurent comme Z. Cela a déjà été dit... Tu as décrit la classe 0 et la classe 1 (ou -1, selon la convention d'orientation ), manquent les autres, en particulier la -1...

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Sinon, il est nul besoin de passer par les paramètres. Un groupe topologique a une structure topologique par lui-même, unique et indépendante de tout paramétrage. Pour répétér aussi autre chose, considérer que l'on a besoin des paramètres c'est comme considérer qu'on doit avoir un système de coordonnées pour étudier le plan (la comparaison est très étroite, puisqu'un système de coordonnées est le paramétrage du groupe de translations...). Or il est plutôt usuel de faire de la géométrie dans le plan sans coordonnées, non?

Ainsi n'importe quel point (élément du groupe) se situent sur deux courbes appartennant a chaque classe. donc a 1 élément du groupe correspond 2 matrices, c'est a dire que la representation est bivaluée.

dénombrablement valuée...

Pour être complet il faudrait partir d'un groupe et montré que sa topologie est celle du disque plein avec un trou au milieu. Si quelqu'un pouvait trouver la solution. En fait c'est un problème inverse. Soit la topologie d'un groupe trouver le (les) groupes. Ca c'est pour les mathématiciens.

Dommage que tu ais mis la dernière remarque ironique, j'aurais donné l'exemple. De nombreux physiciens le donneraient aisément, j'en suis sûr...

Cordialement,

[mariposa]

Dommage que tu ais mis la dernière remarque ironique, j'aurais donné l'exemple. De nombreux physiciens le donneraient aisément, j'en suis sûr...

Cordialement,

Non il n'y a rien d'ironique.

Il est facile de comprendre ma phrase. Un physicien n'est pas confronté a trouver un groupe étant donné sa topologie. par contre j'imagine facilement que le mathématicien puisse se donner ce genre d'exercice.
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Si donc tu as la réponse (ou une réponse) cela m'intéresse au plus haut point.

Comme tu l'as bien compris je voudrais remplacer l'analyse topologique de SO(3) par celle d'un groupe a 2 paramètres dont la topologie est un disque plein avec un petit trou. Cela me permettrait de faire une démonstration de bout en bout sur un exemple simple. Par contre ce n'est pas sur que cela corresponde a une situation physique. Peu importe, pour le moment.

[invité576543]

Comme tu l'as bien compris je voudrais remplacer l'analyse topologique de SO(3) par celle d'un groupe a 2 paramètres dont la topologie est un disque plein avec un petit trou. Cela me permettrait de faire une démonstration de bout en bout sur un exemple simple. Par contre ce n'est pas sur que cela corresponde a une situation physique. Peu importe, pour le moment.

Tu n'arriveras pas à un cas bivalué (autrement que par une restriction artificielle) avec cette topologie.

Si on veut rester entièrement en continu, le plus simple reste R/Z et R/2Z pour une bivaluation.

Il y a peut-être quelque chose à faire avec le ruban de möbius, si on trouve que la 1D n'est pas parlante... Mais je n'ai pas de proposition suffisamment simple pour le moment.

Cordialement,

[mariposa]

Tu n'arriveras pas à un cas bivalué (autrement que par une restriction artificielle) avec cette topologie.

Si on veut rester entièrement en continu, le plus simple reste R/Z et R/2Z pour une bivaluation.

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J'ai fait une erreur en disant 2 chemins, c'est bien sur n enroulements dans un sens et n enroulements dans l'autre sens. J'étais polarisé sur l'intersection de 2 chemins pur un point. C'est donc 2n +1 chemins dont il s'agit avec n =0,1,2,......
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Le problème reste. Quel est (quels sont les groupes) qui sont munis de cette topologie (s'ils existent)

Il y a peut-être quelque chose à faire avec le ruban de möbius, si on trouve que la 1D n'est pas parlante... Mais je n'ai pas de proposition suffisamment simple pour le moment.

Cordialement,

Effectivement, en partant d'une surface on a bien 2 paramètres.¨Pour qu'il y ait une invariance il faut obligatoirement identifié les bords 2 par 2. Dans ce cas il y a 2 solutions: La bouteille de Klein et le plan projectif. Les topologies de ces objets sont connus et je pense que ce n'est pas la solution. Il faut trouver autre chose.

[invité576543]

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J'ai fait une erreur en disant 2 chemins, c'est bien sur n enroulements dans un sens et n enroulements dans l'autre sens. J'étais polarisé sur l'intersection de 2 chemins pur un point. C'est donc 2n +1 chemins dont il s'agit avec n =0,1,2,......

Z, donc...

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Le problème reste. Quel est (quels sont les groupes) qui sont munis de cette topologie (s'ils existent)

Translations du cylindre. U(1) x R. R²/Z. Pavage par bandes du plan. Etc.

Effectivement, en partant d'une surface on a bien 2 paramètres.¨Pour qu'il y ait une invariance il faut obligatoirement identifié les bords 2 par 2.

Pourquoi?

Cordialement,

[invité576543]

J'ai oublé le plus évidebt pour un mathématicien: C* muni de la mutiplication.

Cordialement

[mariposa]

J'ai oublé le plus évident pour un mathématicien: C* muni de la mutiplication.

Cordialement

C'est une très bonne idée. cela fait fait bien un groupe à 2 paramètres.
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J'ai ouvert un fil en mathématiques. il est intéressant de voir comment les mathématiciens vont répondre.

[mariposa]

Z, donc...

Translations du cylindre. U(1) x R. R²/Z. Pavage par bandes du plan. Etc.

Cordialement,

Il ne suffit pas de nommer un groupe. C'est un bon point de départ s'il a 2 paramètres. Après il faut étudier leur topologie en espérant tomber sur le disque plein à 1 trou.

[invité576543]

J'ai oublé le plus évidebt pour un mathématicien: C* muni de la mutiplication.

Cordialement

En plus c'est une représentation linéaire, et l'homéomorphisme multivalué est parfaitement connu: c'est la fonction log.

Cordialement,

[mariposa]

Pourquoi?

Cordialement,

Parce que la topologie de R2 ne répond pas au problème me semble-t-il.

[invité576543]

Il ne suffit pas de nommer un groupe. C'est un bon point de départ s'il a 2 paramètres. Après il faut étudier leur topologie en espérant tomber sur le disque plein à 1 trou.

Je n'ai pas de doute pour tous les cas cités!

Cordialement,

[invité576543]

Parce que la topologie de R2 ne répond pas au problème me semble-t-il.

Mais R², le plan projectif et la bouteille de Klein n'épuisent pas toutes les topologies de surface.

Cordialement,

[mariposa]

En plus c'est une représentation linéaire, et l'homéomorphisme multivalué est parfaitement connu: c'est la fonction log.

Cordialement,

C'est peut-être une bonne piste, mais il faudrait faire un choix de paramètres. Le plus simple est:

A.expi.T

A amplitude T angle

Unité pour A =1 et T= 0

inverse pour A = 1/A et T = -T

T varie de [0,2.Pi[

Si A varie de ]0, infini

J'ai supposé que 0 est exclu (parce qu'il n'y a pas d'inverse)
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Avec cette exclusion le plan est coupé par une ligne A= 0 ce qui ne convient pas. Avec l'identification T= 0 et T= 2.pi on a un cylindre coupé en 2 par un plan.
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C'est bizzare si je défini T varie de ]0,2.Pi] cad j'exclu maintenant T =O ca me donne le trou A=0, T= 0 . le pb est que j'ai besoin de T= 0 pour définir l'unité.

Qu'en penses-tu?

[invité576543]

Qu'en penses-tu?

La fonction log, dis-je!

C'est la paramétrisation directe que tu cherches, , les deux paramètres sont alors d et .

C'est l'isomorphisme avec R x U(1)...

Plus généralement, on rencontre une représentation (non linéaire) de R en physique très couramment sous la forme d'un facteur d'échelle multiplicatif (symétrie conforme). (Si tu voulait un exemple plus compliqué que Poincaré, en voilà 1, symétries conformes de l'espace-temps...)

C* c'est la combinaison rotation plane et facteur d'échelle...

Cordialement,

[mariposa]

Mais R², le plan projectif et la bouteille de Klein n'épuisent pas toutes les topologies de surface.

Cordialement,

Absolument. Exemple un "tore" à deux trous. Je cherche des trucs simples d'abord.