Theorie des groupes pour physiciens !

[invité576543]

. C'est là qu'on diffère. C'est une question de pédagogie. Je persiste à penser, que partir du particulier pour aller au général est préférable sur le plan pédagogique à l'inverse. Il est plus facile de comprendre une généralisation (qui sera toujours possible), que de s'attaquer directement à la théorie la plus générale, qui laissera de côté une bonne partie des étudiants, soit à cause de la complexité, soit à cause de la motivation.

C'est toujours une reformulation erronée de ce que j'ai exprimé. Mais ça n'a pas vraiment d'importance.

Regarde un cours de physique de Bac+ 2 aux US, et compare le même en France. Tu verras la différence. Et pourtant au niveau bac plus 4, le niveau se rejoint. Seul le moyen d'y arriver diffère. Et à mon avis, la méthode française laisse beaucoup de monde sur le chemin, pour les 2 raisons que j'évoque plus haut.

Ma fille a fait une terminale française et une américaine, c'est un sujet que l'on a beaucoup discuté. Et ce n'est pas aussi simple que tu le présente.

Et au passage, tu insultes le milieu des physiciens français, qui ne se débrouillent pas aussi mal que tu le dis. Quelle est le but d'une bonne formation en physique, éviter que celui ou celle qui fera sa carrière comme gestionnaire ou cadre ou financier soit "laissé en chemin"? Ou former une petite élite de physiciens qui participent avec efficacité à l'avancement de la science?

C'est un peu logique: c'est comme ça que fonctionne le cerveau : il part du particulier, de ce qu'il connaît (grace à son observation) et construit une théorie générale par analogies. Même la théorie physique a priori la plus abstraite qui ait été conçue, la RR, pour la concevoir, Einstein est parti d'un problème concret, les équations de Maxwell, et il a imaginé qu'il "chevauchait un rayon de lumière". C'est en tout cas ce qu'il raconte. Alors pourquoi, ce qui fonctionne pour les plus brillants des scientifiques devrait être mis de côté pour les étudiants "ordinaires".

Comme la prémisse est très discutable, la conclusion n'est pas vraiment bien soutenue. Faudrait voir un peu plus en détail l'histoire de la RR, plutôt que s'arrêter à l'Einsteinisme idolâtre distillé par les médias. Rappel, les équations de la RR sont les équations de Lorentz , sa formulation générale part du groupe de Poincaré comme symétrie fondamentale, ce qui amène l'espace-temps de Minkowski: les physiciens de l'époque n'ont pas attendu 25 ans Einstein en se tournant les pouces pour faire la plus grande partie du boulot sur le problème posé par les équations de Maxwell, même si Albert a gentiment omis de donner une quelconque référence à des travaux antérieurs dans son célèbre article... Mais c'est un autre sujet!

Cordialement,
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[invité576543]

Un exemple de representations non linéaires ?

Je ne sais pas si tu te rends compte à quel point ta question est révélatrice?

A part cela, excuse moi de ne pas répondre directement, je n'aime pas, sur FS, être à la place de l'élève que le Maître interroge pour ensuite distribuer "félicitations" ou blâmes. Nos conceptions des discussions sur les forums diffèrent, je pensais que tu l'avais réalisé.

Cordialement,

[invité576543]

.
Un exemple de representations non linéaires ?

Aller, je vais quand même donner une réponse : aucun exemple possible pour ceux qui définissent "représentation d'un groupe" par "représentation linéaire d'un groupe".

Cordialement,

[mariposa]

Je ne sais pas si tu te rends compte à quel point ta question est révélatrice?

A part cela, excuse moi de ne pas répondre directement, je n'aime pas, sur FS, être à la place de l'élève que le Maître interroge pour ensuite distribuer "félicitations" ou blâmes. Nos conceptions des discussions sur les forums diffèrent, je pensais que tu l'avais réalisé.

Cordialement,

Personnellement je n'ai jamais rencontré de representations non linéaires ni dans ma vie, ni dans les livres. La TRG est déjà très compliquée à comprendre et a appliquer et donc je te demande où as-tu vu des representations non linéaires de groupes. Ce n'est pas une question de maître a élève mais une question de simple curiosité de ma part. En plus je n'arrive même pas a imaginer a quoi çà pourrait servir en physique.
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Donc mes questions sont:

Un exemple de representations non linéaires?

A quoi çà sert?

[mariposa]

Aller, je vais quand même donner une réponse : aucun exemple possible pour ceux qui définissent "représentation d'un groupe" par "représentation linéaire d'un groupe".

Cordialement,

Il y a des équations linéaires et des équations non-linéaires.
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On peut donc penser:

representation linéaire des groupes (ce que je connais)
Representation non-linéaire d'un groupe (ce que je ne connais pas).
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Donc est-ce qu'un forumeur a entendu parler de representations non linéaires d'un groupe?

[invitea29d1598]

Du ménage a été fait. Merci de rester dans le sujet initial.

Pour ce qui est des représentations (ou réalisations) non-linéaires, elles sont par exemple parfois introduites en physique des particules (elles l'ont été avant le modèle standard et il me semble qu'il y a encore des gens qui essaient de jouer avec ça pour pas avoir de boson de Higgs). Un exemple :

http://prola.aps.org/abstract/PR/v177/i5/p2239_1

[mariposa]

Du ménage a été fait. Merci de rester dans le sujet initial.

Pour ce qui est des représentations (ou réalisations) non-linéaires, elles sont par exemple parfois introduites en physique des particules (elles l'ont été avant le modèle standard et il me semble qu'il y a encore des gens qui essaient de jouer avec ça pour pas avoir de boson de Higgs). Un exemple :

http://prola.aps.org/abstract/PR/v177/i5/p2239_1

Merci. toutefois on ne peut avoir accès à la référence.Que faire?

[invité576543]

Pour ce qui est des représentations (ou réalisations) non-linéaires, elles sont par exemple parfois introduites en physique des particules (elles l'ont été avant le modèle standard et il me semble qu'il y a encore des gens qui essaient de jouer avec ça pour pas avoir de boson de Higgs).

Bonsoir,

Tu prends là des exemples bien compliqués! Il y a énormément de réalisations (puisque c'est le terme que certains proposent pour réserver le terme représentation aux linéaires...) de groupes: il suffit que l'espace sur lequel agit le groupe ne soit pas muni d'une structure d'espace vectoriel! Hors physique, ces cas sont légions. En physique, le plus immédiat est une action sur un espace affine.

(Au passage, je viens de regarder le Wiki, ta réaction m'étonnant ; l'article "représentation" en français a été écrit par quelqu'un de la même obédience que mariposa, mais le Wiki anglais est clair sur le sujet, tout en favorisant quand même le terme représentation à une action sur les espaces vectoriels.

The term representation of a group is also used in a more general sense to mean any "description" of a group as a group of transformations of some mathematical object. More formally, a "representation" means a homomorphism from the group to the automorphism group of an object. If the object is a vector space we have a linear representation.

ce qui correspond à ma compréhension. Et un groupe qui n'est pas une représentation est un "groupe abstrait". Dans les termes qui amènent à confusion, il y a d'ailleurs des expressions comme "les représentations de U(1)", quand U(1) est défini -comme l'a fait mariposa- comme un groupe opérant sur un espace vectoriel. En fait U(1) (selon la dèf de mariposa) est une représentation (linéaire) d'un certain groupe abstrait -d'où ma réponse message #21, d'ailleurs.)

Cordialement,

[invité576543]

Au passage, comme je cherchais le message sur U(1), j'ai réalisé qu'on s'est énormément éloigné de la question initiale, sans y avoir répondu. N'a donné avec certitude la définition précise du terme "représentation multivaluée".

Cordialement,

[invité576543]

Bonsoir,

Ces derniers échanges sur les représentations non linéaires me laisse perplexe.

Je me demande si je n'ai pas fait une lecture totalement erronée des échanges plus anciens, et donc une rhétorique peut-être inadaptée.

Il ne m'est jamais venu à l'idée que le fait que les translations de R, par exemple, ne forment pas une représentation linéaire (selon ce que j'en comprends) n'était pas clair pour tous les intervenants. (A un moment donné, j'ai introduit une représentation linéaire de ce groupe, la représentation de dimension 2 sur R, juste pour un meilleur parallèle avec SO(3)/SU(2), mais sans préciser que c'était parce que les translations elles-mêmes ne constituaient pas une représentation linéaire...)

Mais si cette nouvelle vision est la bonne, ça met un paquet d'eau dans mon moulin, parce que ça montre directement la restriction mentale apportée par la vision "représentation linéaire"! Le groupe de Poincaré, les translations de l'espace ou celles du temps de l'espace Newtonien, sont autant d'exemples de représentations non linéaires, selon ma compréhension. En fait tout groupe de changements de coordonnées sur un espace affine. J'ai du mal à penser que les mettre de côté soit une bonne chose pour une formation de physicien.

Cordialement,

[mariposa]

Bonsoir,

Tu prends là des exemples bien compliqués! Il y a énormément de réalisations (puisque c'est le terme que certains proposent pour réserver le terme représentation aux linéaires...) de groupes: il suffit que l'espace sur lequel agit le groupe ne soit pas muni d'une structure d'espace vectoriel! Hors physique, ces cas sont légions. En physique, le plus immédiat est une action sur un espace affine.

(Au passage, je viens de regarder le Wiki, ta réaction m'étonnant ; l'article "représentation" en français a été écrit par quelqu'un de la même obédience que mariposa, mais le Wiki anglais est clair sur le sujet, tout en favorisant quand même le terme représentation à une action sur les espaces vectoriels.



ce qui correspond à ma compréhension. Et un groupe qui n'est pas une représentation est un "groupe abstrait". Dans les termes qui amènent à confusion, il y a d'ailleurs des expressions comme "les représentations de U(1)", quand U(1) est défini -comme l'a fait mariposa- comme un groupe opérant sur un espace vectoriel. En fait U(1) (selon la dèf de mariposa) est une représentation (linéaire) d'un certain groupe abstrait -d'où ma réponse message #21, d'ailleurs.)

Cordialement,

La définition de la representation que tu cites est tout a fait correcte. C'est tout à ton honneur de la comprendre. Malheureusement lorsque l'on parle ainsi a des physiciens la plupart fuient; C'est peut-être regretable mais c'est ainsi. Toutefois j'essaierais de temps en temps de parler comme les mathématiciens, ce qui n'est pas naturel pour moi.
.
Sinon ce que l'on appelle groupe abstrait, n'a pas de rapport a la notion de representation. Deux (n) groupes qui ont même table de multiplication définissent un groupe abstrait. Dans le langage des mathématiciens c'est donc un isomorphisme entre 2 automorphismes.
;
Exemple le groupe de transformations du triangle est isomorphe au groupe de permutations de 3 éléments.

[invitea29d1598]

Merci. toutefois on ne peut avoir accès à la référence.Que faire?

désolé, j'avais pas réalisé

la seule solution que je vois c'est te le fournir par MP si tu veux...

Tu prends là des exemples bien compliqués! Il y a énormément de réalisations (puisque c'est le terme que certains proposent pour réserver le terme représentation aux linéaires...) de groupes: il suffit que l'espace sur lequel agit le groupe ne soit pas muni d'une structure d'espace vectoriel! Hors physique, ces cas sont légions. En physique, le plus immédiat est une action sur un espace affine.

euh, oui... déformation personnelle : le premier truc qui me vient à l'esprit quand on dit "pas espace vectoriel", c'est "variété"

par ailleurs, je voulais donner à mariposa un exemple en physique des particules au cas où ça évoquerait pour lui un truc de matière condensée car je suis quasi-certain que ça doit exister...

N'a donné avec certitude la définition précise du terme "représentation multivaluée".

je ne sais pas la "definition précise et officielle"... j'aurais naïvement dit une représentation d'un groupe de recouvrement (pas nécessairement l'universel ?) par curiosité : quel était le pb avec ça ? [pas le courage de tout relire ]

[mariposa]

désolé, j'avais pas réalisé

la seule solution que je vois c'est te le fournir par MP si tu veux

.
.
Gwydon me l'a envoyé par MP. donc merci à tous les deux.

[invité576543]

Bonjour,

par ailleurs, je voulais donner à mariposa un exemple en physique des particules au cas où ça évoquerait pour lui un truc de matière condensée car je suis quasi-certain que ça doit exister...

je ne sais pas la "definition précise et officielle"... j'aurais naïvement dit une représentation d'un groupe de recouvrement (pas nécessairement l'universel ?) par curiosité : quel était le pb avec ça ? [pas le courage de tout relire ]

Je ne sais pas répondre à cela pour Melkior l'auteur du premier message. Pour moi la notion était nouvelle et le terme un oxymore: une représentation pour moi est "univaluée", de par la définition d'une représentation! Pour d'autres il doit y avoir un pb avec ça, puisque personne n'a proposé qq chose de clair.

Sinon, oui, au cours de la discussion, cela a été rapproché des recouvrements. Mais mariposa n'a pas accepté que R soit une représentation multivaluée de U(1) (évidemment, c'est moi qui ai cherché à expliquer ça, mais j'ai utilisé le terme revêtement plutôt que recouvrement, la discussion ayant viré vers la topologie à ce stade; par contre mariposa avait bien introduit "recouvrir", mais il semble que pour lui R n'était pas un recouvrement de U(1)); cela a été une étape de la divergence de la discussion vers l'enseignement de la théorie des groupes, mariposa expliquant qu'elle était mal enseignée, d'où plein d'incompréhensions (il parlait des miennes, entre autres, j'imagine une manière "élégante" de résoudre la divergence de points de vue).

Cordialement,

[mariposa]

Bonjour,

Je ne sais pas répondre à cela pour Melkior l'auteur du premier message. Pour moi la notion était nouvelle et le terme un oxymore: une représentation pour moi est "univaluée", de par la définition d'une représentation! Pour d'autres il doit y avoir un pb avec ça, puisque personne n'a proposé qq chose de clair

Tu as l'exemple le plus connu qui est le couple SO(3) et SU(2).
.
Selon un axe Z une variation angulaire 4.pi dans SU(2) te ramène a l'opération identité. Hors dans SO(3) tu es arrivé au bout de 2.pi à l'identité. Moralité pour chaque angle de SO(3) tu auras 2 matrices de SU(2).

Ces 2 matrices sont U (teta) et -U(teta).
.

[invité576543]

Tu as l'exemple le plus connu qui est le couple SO(3) et SU(2).

Le plus connu de qui? De ceux qui ont abordé la théorie des groupes uniquement par la physique quantique, c'est ça que tu veux dire?

L'exemple de R et R/Z est à la portée de bien plus de monde que SU(2).

Et si on veut un recouvrement fini, on peut prendre les représentations R/Z et R/2Z: la représentation multivaluée de R/Z est alors {x, x+1}, x étant un élément de R/2Z. (Et si tu les écris R/2piZ et R/4piZ, tu prépares les cas des couples de représentations topologiquement Sn/RPn, dont SU(2)/SO(3) est un exemple...)

Et on peut même descendre aux groupes finis, entre C3v (le groupe fini fétiche...) et C3 par exemple; avec un exemple visuel obtenu en dédoublant les sommets d'un triangle équilatéral.

Evidemment, problème: tous ces exemples ne sont pas des sous-groupes de transformations linéaires sur un espace vectoriel.

Mais les représentations linéaires d'ordre 2 (sur R) de R, R/Z et R/2Z marchent très bien aussi! Mais peut-être trop abstrait? Mais que dire alors de SU(2)?

----

Au passage, pour essayer d'être constructif, voilà ce que je comprends de la multivaluation: à chaque élément d'un groupe G on associe un n-uplet d'éléments d'un groupe H, tels que le n-uplet associé à s.r (. représentant l'opération de groupe sur G) est l'ensemble des s_i x r_j, s_i parcourant les éléments de l'image de s, r_j parcourant les éléments de l'image de r, et x l'opération de groupe sur H. Les n-uplet munis de cette opération ont une structure de groupe, et l'association est alors un homomorphisme. Cela généralise la notion de représentation usuelle, qui correspond à n=1. Une représentation multivaluée linéaire correspond à H le groupe linéaire d'un espace vectoriel.

Pour autant que je comprends, ça correspond aux cas discutés, et c'est bien en rapport avec les recouvrements. Mais ce serait intéressant d'avoir une confirmation de quelqu'un qui connaît bien cette notion dans le cadre général de la théorie des groupes, et ça manque dans cette discussion.

Cordialement,

[inviteeb5c505e]

Je n'arrive plus à vous suivre. Pourrait-on simplement reposer les définitions de "représentation d'un groupe" d'une part, et de "représentation linéaire" d'un groupe, d'autre part?

Pour moi, ce que j'avais en tête jusqu'à présent, c'est qu'une représentation d'un groupe G1, c'est un couple (morphisme rô, ensemble E), dans lequel le morphisme associe à un élément du groupe G1 un élément d'un deuxième groupe G2 agissant sur un ensemble E quelconque. Et une représentation linéaire, c'est lorsque E est un espace vectoriel.
Question subsidiaire : parle t'on de représentation si E n'est pas un EV? Ou seulement d'action de groupe ( sur E)? Je pencherais pour réserver "représentation" au cas d'un EV. En tout cas je n'ai pas trouvé de définition où ce n'était pas le cas.

Est-ce bien cela?

Par ailleurs, rien n'empêche le premier groupe déjà, d'agir lui-même sur un espace vectoriel : c'est le cas par exemple des matrices de rotation dans l'espace ordinaire. Le morphisme peut leur associer un groupe d'opérateur G2 qui agissent dans un espace des états quantiques par exemple. Dans ce cas E est un espace de Hilbert. De même le premier groupe peut agir dans un espace affine, et sa représentation être linéaire, si elle agit sur un EV, non? Ce qui permettrait de concilier le fait que le groupe des translations puisse avoir une représentation linéaire.

Quant à la notion de représentation multivaluée, n'est-ce pas ce qui se passe pour une représentation pour laquelle un même élément du premier groupe G1 est relié à plusieurs dans le deuxième G2 ? Autre appellation représentation non fidèle(non injective)?

Dernière remarque : on lit souvent qu'une représentation linéaire c'est lorsque G2 est un ensemble de matrices. Là aussi je crois que c'est abusif, car G2 est en fait un ensemble d'opérateurs linéaires, qui ne sont des matrices que si on choisit une base dans E. C'est ça?

Merci de vos éclaicissements.

[mariposa]

Le plus connu de qui? De ceux qui ont abordé la théorie des groupes uniquement par la physique quantique, c'est ça que tu veux dire?

.
Et oui, c'est normal l'application dominante et de façon écrasante de la théorie de representions des groupes c'est la MQ. J'ai des livres a peu près sur tous les domaines de la physique et je n'ai rien vu de TGR dans d'autres domaines. C'est d'ailleurs normal puisque la MQ érige dans ses principes premiers l'invariance du produit scalaire de vecteurs définis sur C. En termes de groupes la MQ c'est une théorie construite sur U(n) et donc sur tous ses sous-groupes. Ceci explique cela.

L'exemple de R et R/Z est à la portée de bien plus de monde que SU(2).

.
Pour le mathématicien, c'est évident. R/Z c'est tres simple et SU(2) beaucoup moins simple.


Pour le physicien c'est faux. Parler a un physicien de classes d'équivalences, il ne t'écoute pas, il estime qu'il perd son temps et que çà lui rappelle ces cours de maths ennuyeux. Par contre parler du spin et donc de SU(2) il tend l'oreille. Il pourra trouver fascinant cet objet physique qui ne devient identique suite a une rotation de 2.pi.

C'est toute la diffférence entre le monde des mathématiciens et des physiciens. Le physicien est confronté à un problème spécifique: faire la liaison entre la physique et les maths en faisant avec ce qu'il a comme outil de langage. Le mathématicien n'est pas confronté a ce problème.
.
Pour ma part je suis physicien, j'établis une hiérarchie tres nette, la physique d'abord, les mathématiques ensuite. Ce n'est pas une question de principe, c'est un problème de gestion du temps.. Comment gérer son temps, comment être efficace? Quelle stratégie dans son travail ou dans son cursus scolaire?
;
Qui plus est la physique ce n'est pas une application des mathématiques comme implicitement suggéré par l'enseignement. (De ce coté il y a eu quand même quelques progrès depuis mon adolescence)

[inviteeb5c505e]

Un extrait sur les représentations multivaluées (Ohnuki, "Unitary representations of the Poincaré group"):
"[...]an element of the Poincare group has ten parameters, and various transformations are given, corresponding to the values of these parameters. The whole set of values of the parameters are called a parameter space. The identity is, of course, a point in this space, and is represented by e. Let us now consider a closed curve which starts from e, goes around in the space and returns again to e. Each point on the closed curve has the corresponding transformation, and by the continuity of representation the transformation must vary continuously with the continuous movement of the point. Therefore, if the closed curve can be shrunk continuously into the point e, the representations corresponding to the starting point e and to the end point e of the curve are the same. In a simply connected parameter space any closed curve is shrinkable in this way, but in another space with different property there exists a closed curve which cannot be shrunk. In
such a case, the representations corresponding to the starting point e and to
the end point e are not necessarily the same. As a result, there will appear the so-called multi-valued representations. In order to apply this method to the Poincare group, we have to investigate the connectedness of the space formed by ten parameters."

Cela vous aide-t'il dans la compréhension?

Cordialement.

[mariposa]

précisions de vocabulaire:

Quand l'image d'un groupe est un groupe l'application est un homomorphisme de groupe: Il transporte la structure algébrique.
.
Quans l'image d'un groupe est un ensemble de matrices de dimension (n) l'application est une representation du groupe.
.
Autrement dit le mot representation est un mot réservé.

[invité576543]

Je n'arrive plus à vous suivre. Pourrait-on simplement reposer les définitions de "représentation d'un groupe" d'une part, et de "représentation linéaire" d'un groupe, d'autre part?

Pour moi, ce que j'avais en tête jusqu'à présent, c'est qu'une représentation d'un groupe G1, c'est un couple (morphisme rô, ensemble E), dans lequel le morphisme associe à un élément du groupe G1 un élément d'un deuxième groupe G2 agissant sur un ensemble E quelconque. Et une représentation linéaire, c'est lorsque E est un espace vectoriel.

C'est ma compréhension aussi.

Question subsidiaire : parle t'on de représentation si E n'est pas un EV? Ou seulement d'action de groupe ( sur E)? Je pencherais pour réserver "représentation" au cas d'un EV. En tout cas je n'ai pas trouvé de définition où ce n'était pas le cas.

C'est une question de vocabulaire. On trouve les deux. Une citation que j'ai donnée du Wiki anglais indique les deux cas. Ensuite, c'est une question de goût.

Quant à la notion de représentation multivaluée, n'est-ce pas ce qui se passe pour une représentation pour laquelle un même élément du premier groupe G1 est relié à plusieurs dans le deuxième G2 ? Autre appellation représentation non fidèle(non injective)?

Je ne pense pas que ce soit la bonne interprétation. La proposition que j'ai faite est parallèle à la notion d'application multivaluée...

Dernière remarque : on lit souvent qu'une représentation linéaire c'est lorsque G2 est un ensemble de matrices. Là aussi je crois que c'est abusif, car G2 est en fait un ensemble d'opérateurs linéaires, qui ne sont des matrices que si on choisit une base dans E. C'est ça?

C'est ma compréhension aussi. A strictement parler, une représentation linéaire sur un espace vectoriel (exemple les vitesses) existe en elle-même, indépendamment de toute matrice. Et correspond à différents groupe de matrices, selon la base choisie.

Par exemple le groupe G qui dans une base donne



est comme suit dans une autre base:





Cordialement,

[invité576543]

Un extrait sur les représentations multivaluées (Ohnuki, "Unitary representations of the Poincaré group")...)

Cela vous aide-t'il dans la compréhension?

Ca ne contredit pas la définition que je proposais. En plus ça éclaire la relation avec les revêtements et l'homotopie.

Cordialement,

[inviteeb5c505e]

Dans ce document http://cel.ccsd.cnrs.fr/cel-00092924(dispo dans la biblio de FS), à la page 31, l'auteur décrit la notion de représentation multivaluée. (Encadré : "Topologie, groupe de recouvrement).

"..si l'on ne veut pas abandonner la notion de continuité d'une représentation, on est amené à associer à une même matrice R de SO(3) (doublement connexe), deux matrices U et -U de SU(2) (simplement connexe)."

[invité576543]

p.
Autrement dit le mot representation est un mot réservé.

Su je te dis que le vocabulaire est conventionnel, et que le sens d'un mot dépend de la convention, est-ce que je t'apprends quelque chose?

La citation du Wiki anglais que j'ai donnée n'est-elle pas suffisante pour régler cette discussion stérile sur du vocabulaire?

Cordialement,

[invité576543]

Dans ce document http://cel.ccsd.cnrs.fr/cel-00092924(dispo dans la biblio de FS), à la page 31, l'auteur décrit la notion de représentation multivaluée. (Encadré : "Topologie, groupe de recouvrement).

"..si l'on ne veut pas abandonner la notion de continuité d'une représentation, on est amené à associer à une même matrice R de SO(3) (doublement connexe), deux matrices U et -U de SU(2) (simplement connexe)."

Intéressant. Je n'avais pas percuté sur l'intérêt de la multivaluation pour conserver la continuité. Et l'association à un doublet est totalement en ligne avec la définition que j'ai proposée.

Le cas R/Z et Z est bien continu au sens où je le comprends dans le texte. Evidemment, dans le cas des groupes discrets, ça n'est pas pertinent.

Cordialement,

[inviteeb5c505e]

Je ne voudrais pas semer la zizanie, mais Michel, sur Wiki Anglais (j'ai peut-être lu un peu vite?) la première ligne dit "Group representation theory: is the branch of mathematics that studies properties of abstract groups via their representations as linear transformations of vector spaces".

[inviteeb5c505e]

(j'ai peut-être lu un peu vite?)

Mea culpa, plus loin on lit aussi "More formally, a "representation" means a homomorphism from the group to the automorphism group of an object. If the object is a vector space we have a linear representation. Some people use realization for the general notion and reserve the term representation for the special case of linear representations."

[mariposa]

Su je te dis que le vocabulaire est conventionnel, et que le sens d'un mot dépend de la convention, est-ce que je t'apprends quelque chose?

La citation du Wiki anglais que j'ai donnée n'est-elle pas suffisante pour régler cette discussion stérile sur du vocabulaire?

Cordialement,

Pas du tout. Pour une fois que tout le monde (mathématiciens et physiciens)utilise le même langage. Autant en profiter. Le mot representation est un mot réservé. Que cela résulte d'un décret ou de l'usage, peu importe.

[invité576543]

Mea culpa, plus loin on lit aussi "More formally, a "representation" means a homomorphism from the group to the automorphism group of an object. If the object is a vector space we have a linear representation. Some people use realization for the general notion and reserve the term representation for the special case of linear representations."

J'avais cité cette même phrase message #128. mariposa est inclus dans "some people", du moins pour la seconde partie (je ne l'ai pas vu employé "réalisation").

Cordialement,

[invitea29d1598]

L'exemple de R et R/Z est à la portée de bien plus de monde que SU(2).

je suis entièrement d'accord... il est beaucoup plus simple par nature... en plus, y'a de la physique derrière : le fait que l'on puisse dire que le groupe de jauge de l'électromagnétisme est le groupe compact U(1) et pas un truc avec la topologie de R (version non-compact donc) repose sur la quantification de la charge. S'il existait deux particules dont le rapport des charges électriques n'était pas un nombre rationnel, alors il serait nécessaire de considérer la droite R comme espace des paramètres du groupe et pas un truc "périodique compact"...

Les n-uplet munis de cette opération ont une structure de groupe, et l'association est alors un homomorphisme. Cela généralise la notion de représentation usuelle, qui correspond à n=1. Une représentation multivaluée linéaire correspond à H le groupe linéaire d'un espace vectoriel.

dans le cadre des groupes de Lie, on montre effectivement l'existence, pour tout ensemble de groupes localement isomorphes, d'un unique groupe (dit de recouvrement universel) simplement connecté, avec des homomorphismes de celui-ci vers tous les autres qui ont un noyau qui est un groupe discret inclus dans le centre du groupe de recouvrement universel. En clair, j'aurais tendance à croire que ce résultat général (pour les groupes de Lie) est à la base de la définition des représentations multi-valuées. Un autre problème relié est qu'en physique, on s'intéresse en fait souvent non pas aux groupes de rotation proprement dit, mais aux groupes de spin qui se définissent à partir de l'algèbre de Clifford. En clair, on introduit une structure mathématique supplémentaire, mais pour pas faire peur aux quelques physiciens allergiques aux maths, on préfère cacher ça sous le tapis et utiliser du vocabulaire flou...

Pour le mathématicien, c'est évident. R/Z c'est tres simple et SU(2) beaucoup moins simple.


Pour le physicien c'est faux. Parler a un physicien de classes d'équivalences, il ne t'écoute pas, il estime qu'il perd son temps et que çà lui rappelle ces cours de maths ennuyeux. Par contre parler du spin et donc de SU(2) il tend l'oreille. Il pourra trouver fascinant cet objet physique qui ne devient identique suite a une rotation de 2.pi.

tout dépend du physicien... j'en connais des tonnes qui ne sont pas allergiques aux maths, très loin de là... et qui regrettent le flou entourant certains concepts mathématiques introduits pendant les cours de physique... tout physicien n'est pas physicien appliqué ou ingénieur...

C'est toute la diffférence entre le monde des mathématiciens et des physiciens. Le physicien est confronté à un problème spécifique: faire la liaison entre la physique et les maths en faisant avec ce qu'il a comme outil de langage.

ce problème spécifique apparait cependant sous de nombreux visages... les physiciens théoriciens savent donc très bien qu'il leur est nécessaire d'avaler plein de math abstrait (et qui peut initialement sembler à certains sans intérêt) pour ensuite avoir un regard plus vaste sur la physique...