Theorie des groupes pour physiciens !

[invite2e8ce853]

Bonjour a tous,


Je suis en train d'apprendre la theorie des groupes et je bloque quelque peu sur la notion de representation multivaluée...
J'ai hesite a pose ma question dans la rubrique math, mais je me suis dis qu'une reponse de physicien serait plus claire pour moi !

Dans le cadre de la representation de SO(2), on considere le mapping suivant ( je ne sait meme pas comment cela ce traduit en francais a force de lire tout en anglais) :



et apres le livre que je lis m'explique que ce n'est pas une representation unique du groupe parce que


Pour me dire ensuite que la premiere equation definie un mapping ou a chaque R(\phi) est assigne 2 nombres complexe. ce qui est censé etre une "two-valued representation"
(bien sur ca me fait penser a un spin 1/2 qui est invariant par rotation de 4\pi mais bon c loin d'etre claire)
Si quelqu'un pouvait m'expliquer dans ce cas particulier ce que l'auteur a pu bien vouloir dire par la !
Merci d'avance!
-----

[invitee8334059]

Bonjour a tous,


Je suis en train d'apprendre la theorie des groupes et je bloque quelque peu sur la notion de representation multivaluée...
J'ai hesite a pose ma question dans la rubrique math, mais je me suis dis qu'une reponse de physicien serait plus claire pour moi !

Dans le cadre de la representation de SO(2), on considere le mapping suivant ( je ne sait meme pas comment cela ce traduit en francais a force de lire tout en anglais) :



et apres le livre que je lis m'explique que ce n'est pas une representation unique du groupe parce que


Pour me dire ensuite que la premiere equation definie un mapping ou a chaque R(\phi) est assigne 2 nombres complexe. ce qui est censé etre une "two-valued representation"
(bien sur ca me fait penser a un spin 1/2 qui est invariant par rotation de 4\pi mais bon c loin d'etre claire)
Si quelqu'un pouvait m'expliquer dans ce cas particulier ce que l'auteur a pu bien vouloir dire par la !
Merci d'avance!

Bonjour Melkior, il me semble qu'avant de tenter une explication je dois écrire quelques principes de bases de la théorie des représentations qui est associé à la théorie des groupes.
Dans le cadre d'un groupe de symétrie, et SO(2) en est un, il est possible de définir des représentation du groupe c'est à dire une caractérisation matricielle du groupe.
Ainsi, une symétrie s'applique dans un espace donné et elle donne une représentation du groupe de symétrie.
Par ailleurs, une représentation multivaluée est une représentation qui fait appel à plusieurs valeurs propres pour un même opérateur de symétrie.
dans le plan complexe, une matrice de rotation peut ainsi avoir deux valeurs multiples d'un même angle modulo 2*Pi.
Les fonctions associés à des paramètres complexes qui donnent pour des angles modulo 2*Pi des valeurs différentes sont dites "multiformes".peut être est ce là le sens à donner à "multivalués", des fonctions multiformes qui définirait des représentations de groupe de symétrie dans le plan complexe.

[inviteeb5c505e]

Dans l'espace ordinaire, une rotation R(phi) et R(Phi+2pi) c'est la même chose.
Dans l'espace de Hilbert des particules de spin 1/2, la représentation des rotations est bivaluée (Two-valued représentation), puisque on voit que l'opérateur Unitaire correspondant à R(phi+2pi) n'est pas U mais -U. Pour un même état de base par exemple de cet espace, les deux opérateurs unitaires représentants de la même rotation d'espace, donneront des valeurs propres (nombres complexes exp(-iphi/2) et -exp(-iphi/2)) différentes, donc des mesures différentes pour un même état.

Sur ce lien, http://www.imprimerie.polytechnique....s/toledano.pdf
aux pages 50 et 29, entre autres c'est bien expliqué.

[mariposa]

Bonjour a tous,


Je suis en train d'apprendre la theorie des groupes et je bloque quelque peu sur la notion de representation multivaluée...
J'ai hesite a pose ma question dans la rubrique math, mais je me suis dis qu'une reponse de physicien serait plus claire pour moi !

Dans le cadre de la representation de SO(2), on considere le mapping suivant ( je ne sait meme pas comment cela ce traduit en francais a force de lire tout en anglais) :

Mapping = application

Au vu de ce que tu as écrit il ne s"agit certainement pas du groupe SO(2) mais plus vraisemblablement du groupe SU(2).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca4b3353]

Au vu de ce que tu as écrit il ne s"agit certainement pas du groupe SO(2) mais plus vraisemblablement du groupe SU(2).

Non il me semble qu'il s'agit bien de SO(2) qui est isomorphe à U(1).

[mariposa]

Non il me semble qu'il s'agit bien de SO(2) qui est isomorphe à U(1).

.
Je ne crois pas parce qu'il se pose une question sur un problème de representation bivaluée.

SO(2) represente U(1) et lycée de vesailles. Les representations de U(1) sont en correspondance avec les representations de SO(2).
.
Par contre a une representation de SO(3) correspond 2 representations de SU(2) une matrice U et une matrice -U; D'ailleurs il y a un indice 1/2 dans ses notations qui fait certainement référence au spin

[inviteca4b3353]

Je ne crois pas parce qu'il se pose une question sur un problème de representation bivaluée.

je ne vois pas en quoi cela empêche qu'il parle bien de SO(2) ?

D'ailleurs il y a un indice 1/2 dans ses notations qui fait certainement référence au spin

Le 1/2 me fait penser à la charge associée à cette représentation, si on pense à exp(ip/2) comme une transformation de U(1).

[mariposa]

je ne vois pas en quoi cela empêche qu'il parle bien de SO(2) ?

A un nombre complexe de module unité de U(1) correspond un seul et un seul angle teta qui définit une matrice réelle de dimension 2 de SO(2). Il n(y a donc pas de bivualition dans ce cas. Ce n'est plus le cas de SO(3)

Le 1/2 me fait penser à la charge associée à cette représentation, si on pense à exp(ip/2) comme une transformation de U(1).

C'est fortuit. D'aillueurs sa présentation est peu claire, ce qui a comme avantage d'alimenter notre discussion.

[invite9c9b9968]

Je ne sers à rien si ce n'est que je suis d'accord avec Karibou, c'est du SO(2) : tu la vois où la matrice de Pauli dans son écriture de U ??

[inviteeb5c505e]

Ce que je comprends c'est qu'il s'agit par exemple des rotations dans le plan autour de Oz, donc bien de SO(2). La représentation bivaluée étant alors dans un sous-groupe à un paramètre de SU(2).

[mariposa]

Je ne sers à rien si ce n'est que je suis d'accord avec Karibou, c'est du SO(2) : tu la vois où la matrice de Pauli dans son écriture de U ??

Si je comprends ses notations il s'interroge sur le fait qu'une rotation décalée de 2 Pi donne une representation avec le signe moins.

Cette situtation ne peut pas avoir lieu avec SO(2) par contre ceci est une caractéristique de SO(3) où une rotation de 2.PI fait correspondre dans SU(2) la même matrice avec le signe moins. Ceci pour des raisons de topologie globale bien connues.
;
D'aillieurs examinons l'argument de Karibou . Supposons qu'il s'agisse de U(1). Karibou interprète le 1/2 comme une charge. Dans la terminologie des groupes cela veut dire qu'il s'agit de la representation irréductible 1/2 de U(1).

pour être plus précis l'angle Teta qui est représenté par une matrice réel 2.2 de SO(2) est en relation biunivoque avec la representation de U (1) qui est:

exp[i.1/2.teta]

téta varie entre 0 et 2.Pi de SO(2).

Quand on compose teta = teta1 + teta2 teta ne peut pas prendre de valeur supérieur à 2.Pi (le groupe est compact). Donc teta + 2.pi = téta

Donc pour un angle tétat et la representation irréductible q (la charge) il n'y qu'une seule matrice (ici c'est un nombre) qui est: exp[i.q.teta]: la representation est monovaluée.
.
Aurais-je fait une erreur de raisonnement? a vous de me le dire.

[inviteeb5c505e]

Si je comprends ses notations il s'interroge sur le fait qu'une rotation décalée de 2 Pi donne une representation avec le signe moins.

Cette situtation ne peut pas avoir lieu avec SO(2) par contre ceci est une caractéristique de SO(3) où une rotation de 2.PI fait correspondre dans SU(2) la même matrice avec le signe moins. Ceci pour des raisons de topologie globale bien connues.

Je n'arrive pas à voir pourquoi ce ne pourrait pas être possible avec SO(2)?

En fait je pense que le livre dont est parti Melkior pour sa question, est "Tung Wu-Ki, Group theory in physics" (même notations que Melkior). Je comprends que SO(2) est topologiquement "multiplement connexe" puisque les tours de cercles de nombre de tours différents ne peuvent se déformer les uns dans les autres. D'où les représentations multivaluées. En tout cas c'est ce que je comprends (paragraphe 6.5 page 88).

Par ailleurs une rotation de SO(2), n'est-elle pas qu'un cas particulier de rotation de SO(3), donc bivaluée dans SU(2)?

[mariposa]

Je n'arrive pas à voir pourquoi ce ne pourrait pas être possible avec SO(2)?

.
SO(2) c'est le groupe de transformation qui laisse invariant le cercle. Une tranformation agissant sur un vecteur est représenté par une matrice 2.2 paramétré par l'angle teta. Cet angle varie sur l'intervalle [0,2pi[ ; 2pi a été identifié à 0. Il n'est pas question de sortir de cet intervalle. Si c'est le cas il ne s'agit plus de SO(2).

Le groupe U(1) c'est le groupe qui laisse invariant la forme X.X* X est un vecteur complexe à 1 dimension
.
(on rappelle que cos(teta) + i.sin(teta) = exp(i.teta) qui établit la correspondance entre le paramètre teta de SO(2) et le changement de base U(1) ci-dessous.

Par un changement de base exp (i.Q.teta)

X devient X.exp (i.Q.teta)
X* devient: x*exp (- i.Q.teta)

donc X.X* est bien invariant

Ce qui signifie pour le groupe U(1) quer la tranformation Teta est représentée dans la base des nombres complexes par la matrice (1 dimension) exp (i.Q.teta) qui est la representation irréductible Q.

Donc a l'ensemble des transformations teta correspond une infinité de representations irréductibles nommées par l'indice Q. Bien entendu cela n'a rien à voir avec une quelconque multivaluation

.

En fait je pense que le livre dont est parti Melkior pour sa question, est "Tung Wu-Ki, Group theory in physics" (même notations que Melkior). Je comprends que SO(2) est topologiquement "multiplement connexe" puisque les tours de cercles de nombre de tours différents ne peuvent se déformer les uns dans les autres. D'où les représentations multivaluées. En tout cas c'est ce que je comprends (paragraphe 6.5 page 88).

Pour qu'il y ai une notion de multiconnexité il faudrait qu'il y ai un trou au centre du cercle, mais je ne vois pas le rapport avec SO(2)

Par ailleurs une rotation de SO(2), n'est-elle pas qu'un cas particulier de rotation de SO(3), donc bivaluée dans SU(2)?

rien d'évident a vue de nez. Une representation irréductible de SO(3) va se décomposer en plusieurs représentations irréductibles de SO(2).Donc je ne voi pas immédiatement comment les representations de sO(2) vont être associées aux representations irréductibles multivaluées de SU(2)

[inviteeb5c505e]

Mariposa,

Je comprends plus ou moins ce que tu dis mais j'avoue être un peu perdu. Que penses-tu de ce que dit Tolédano dans son cours à la page 46 : http://www.imprimerie.polytechnique....s/toledano.pdf.
Je cite :" (1.79) U'=U(theta+2pi)= - U(theta); Les rotations T(theta) autour de z engendrent le groupe continu G=SO(2). L'identité (1.79) [...] montre que U(theta) engendre un sous-groupe à un paramètre de SU(2), homomorphe (1:2) de SO(2)."

Je croyais avoir compris et c'est pour ça que je suis intervenu dans cette discussion, mais maintenant je suis largué. Peut-être est-ce un problème de définition de SO(2)?

Je cite Tung aussi : "ln the case of SO(2), the group parameter space (the unit circle) is "multiply-connected, which implies the existence of multi-valued representations." Je croyais aussi avoir compris ça...

Plus je comprends (les phrases), moins je comprends (la physique)!

[mariposa]

Mariposa,

Je comprends plus ou moins ce que tu dis mais j'avoue être un peu perdu. Que penses-tu de ce que dit Tolédano dans son cours à la page 46 : http://www.imprimerie.polytechnique....s/toledano.pdf.

Ca tombien Jean-Claude Tolédano est un ancien collègue. sa spécialité c'est l"application de la théorie des groupes aux transitions de phase. Il a cautionné cet article qui a du être écrit par le premier auteur.

Je cite :" (1.79) U'=U(theta+2pi)= - U(theta);

il s'agit clairement dans le contexte de l'article d'une expression liée à SU(2) pour lequel le paramètre varie de 0 a 4pi.

Les rotations T(theta) autour de z engendrent le groupe continu G=SO(2). L'identité (1.79) [...] montre que U(theta) engendre un sous-groupe à un paramètre de SU(2), homomorphe (1:2) de SO(2)."

.
Oui c'est d'accord.

Je croyais avoir compris et c'est pour ça que je suis intervenu dans cette discussion, mais maintenant je suis largué. Peut-être est-ce un problème de définition de SO(2)?

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Il définit bien bien que le paramètre de SO(2) varie de 0 à 2.Pi mais exclu zéro ce qui est une erreur.
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Il trouve pour les representations de U(1) des valeurs entières dans l'exponentielle. cela vient de l'interférence avecla MQ et je crois qu'il y a une confusion entre les fonctions propres de H qui commutent avec les opérations de symétrie et sont de la forme exp (i.m.Fi) avec m entier et le changement de base qui s'écrit exp(i.Q.Fi) où Q peut prendre n'importequ'elle valeur même non entière.

Je cite Tung aussi : "ln the case of SO(2), the group parameter space (the unit circle) is "multiply-connected, which implies the existence of multi-valued representations." Je croyais aussi avoir compris ça...

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le cercle multiconnecté, je ne comprends pas.

Plus je comprends (les phrases), moins je comprends (la physique)!

ne te décourage pas. C'est souvent le cas de livre de physique quand il y a intrication importante avec les mathématiques. les mathématiciens sont rigoureux et on ne comprends pas. Les physiciens en manquant de rigueur peuvent être difficile a comprendre aussi.

[inviteeb5c505e]

le cercle multiconnecté, je ne comprends pas.

"Connected" c'est connexe, donc ici il parle de multi-connexité.

Merci pour tes encouragements. Je vais persévérer...

[mariposa]

"Connected" c'est connexe, donc ici il parle de multi-connexité.

Merci pour tes encouragements. Je vais persévérer...

Bonjour,
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La nuit porte conseille. J'ai repensé la démonstration entre SU(2) et SO(3). En la recopiant entre le groupe U(1) et SO(2) je constate que j'ai fait une erreur de raisonnement. Je suis en train de reprendre les groupes U(n) et donc U(1) et ses conséquences en MQ. Les calculs sont très simples ce qui fait que les erreurs de raisonnements sont potentiellement nombreuses. En attendant voici ma conclusion dans sa version courte.
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Quand dans SO(2) on a une transformation d'un angle teta il y a dans U(1) une transformation exp (i.teta). Ceci correspond à l'isomorphisme des 2 groupes.

Maintenant en terme de representations de U(1) je peux écrire:

exp (i.teta) = exp (i.Q. teta/Q)


Ce qui signifie qu'a l'élément exp (i.teta) de U(1) correspond la matrice exp (i.Q. teta/Q) qui est la representation irréductible Q de U(1). on note au passage que Q=1 correspond la définition des éléments du groupe.
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Cela veut dire que pour Q > 1 si teta varie de 2.pi on a balayé que la fraction 1/Q du paramêtre angulaire de U(1) mais la totalité pour SO(2). autrement dit quand je balaie de 2.pi pour U(1) je fais Q tour dans SO(2) qui correspond à l'opération identité de SO(2). Ce qui veut dire que la representation Q de U(1) est Q fois multivaluée dans SO(2).
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Avec se raisonnement les choses devrait être inversées avec un paramètre Q<1. C'est SO(2) qui devrait être multivualuée dans U(1)!!!
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J'ai un autre trouble car Q peut prendre n'importe quelle valeur sur R. Bref il y a encore à réfléchir.

[inviteeb5c505e]

J'ai un peu de mal à suivre, mais je pense que beaucoup de réponses aux questions posées doivent se trouver dans le livre de Tung qui est je pense à l'origine de cette discussion.

[invité576543]

Bonjour,

Je ne comprends pas bien... Est-ce qu'il y a autre chose de discuté que l'isomorphisme entre U(1) =R/Z et SO(2), et la surjection canonique de R --> R/Z? (R et Z en tant que groupes additifs)

Si on veut distinguer la rotation de 2 tours et la rotation de 1 tour par exemple, les rotations à ce sens forment alors un groupe isomorphe à (R, +), mais qui n'est pas SO(2). Pas d'idée s'il a un nom particulier, d'ailleurs.

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Par ailleurs, je comprends "multi-connecté" comme le fait que sur U(1) il y a une infinité de classes d'homotopie de lacets joignant deux éléments. C'est une notion topologique. Je ne vois pas trop comment discuter cette notion sans faire appel à la notion d'homotopie.

Cordialement,

[mariposa]

Bonjour,

Je ne comprends pas bien... Est-ce qu'il y a autre chose de discuté que l'isomorphisme entre U(1) =R/Z et SO(2), et la surjection canonique de R --> R/Z? (R et Z en tant que groupes additifs)

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Bonjour,

Quand tu écrits U(1) = R/Z tu veux dire U(1) isomorphe à R/Z ?
.
Définir U(1) comme groupe quotient c'est certainement utile pour discuter les questions topologiques globales. Pourrais-tu faire la démonstration, çà m'intéresse. Sinon pour la MQ ce qui est important c'est de définir le groupe U(n) comme l'ensemble des matrices de dimension n qui laisse invariante la forme:

Somme Xi*Xi i =1,..n

Si on veut distinguer la rotation de 2 tours et la rotation de 1 tour par exemple, les rotations à ce sens forment alors un groupe isomorphe à (R, +), mais qui n'est pas SO(2). Pas d'idée s'il a un nom particulier, d'ailleurs.

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Entièrement d'accord

Par ailleurs, je comprends "multi-connecté" comme le fait que sur U(1) il y a une infinité de classes d'homotopie de lacets joignant deux éléments. C'est une notion topologique. Je ne vois pas trop comment discuter cette notion sans faire appel à la notion d'homotopie.

Cordialement,

Pour analyser les propriétés topologiques il faudrait discuter sur la sphère S1 (le cercle) qui est un objet géométrique. Toutefois je ne vois pas bien les lacets que je puisse classer en classes d'homotopie. Il faudrait introduire un trou au milieu pour fabriquer des classes de lacets. Personnellement je n'ai pas d'expérience dans ce genre d'exercice, il y a des choses qui m'échappent.! Si quelqu'un peut éclaircir ce point je suis preneur.

[invité576543]

.
Quand tu écrits U(1) = R/Z tu veux dire U(1) isomorphe à R/Z ?

Je ne sais pas. J'avais l'impression que c'était une définition de U(1). C'est l'un ou l'autre, soit c'est la définition, soit c'est un isomorphisme.

Définir U(1) comme groupe quotient c'est certainement utile pour discuter les questions topologiques globales. Pourrais-tu faire la démonstration, çà m'intéresse.

A partir de quelle définition de U(1) ?

Sinon pour la MQ ce qui est important c'est de définir le groupe U(n) comme l'ensemble des matrices de dimension n qui laisse invariante la forme:

Somme Xi*Xi i =1,..n

Pas plutôt de dimension n+1? Difficile pour U(1), non? Ce qui laisse invariant x-->x² c'est {1, -1}, le groupe multiplicatif à deux éléments, non? (Doit être U(0) d'ailleurs, non?)

Prenons la définition de U(1) comme les matrices 2x2 laissant invariant x²+y². Je vais réfléchir ou trouver un lien pour la démo... Mais ça semble assez claire par la trigo, par les relations mêmes que tu as indiquées.

Pour analyser les propriétés topologiques il faudrait discuter sur la sphère S1 (le cercle) qui est un objet géométrique. Toutefois je ne vois pas bien les lacets que je puisse classer en classes d'homotopie. Il faudrait introduire un trou au milieu pour fabriquer des classes de lacets. Personnellement je n'ai pas d'expérience dans ce genre d'exercice, il y a des choses qui m'échappent.! Si quelqu'un peut éclaircir ce point je suis preneur.

Un lacet joignant A à B est juste une application continue f de [0,1] vers l'ensemble, avec f(0)=A et f(1)=B. Aucun besoin de géométrie. Si on indice les points du cercle (ou les éléments du groupe U(1)) par theta entre 0 et 2pi, un lacet sur le cercle joignant le point 0 à lui-même est par exemple x -->0, un autre est x --> 2pi x, un troisième (même classe que le précédent) x --> 2pi x⁴, un quatrième x --> 4pi x mod 2pi, un autre x--> pi (1-cos(132pi x)) etc.

Le dernier est de la même classe que x --> 0, c'est des aller-retour...

Cordialement,

[invité576543]

Pour la démo, R/Z est le groupe sur des classes d'équivalence défini par l'opération (x,y) --> classe((un représentant de x) + (un représentant(y))), la relation d'équivalence étant x-y appartient à Z. (Le + et le - représentent les opérations sur R.)

e^{i2pi (un représentant de x)} est identique pour tous les représentants de x puisque e^{i2pi n}=1 pour tout n de Z, l'application
x --> e^{i2pi (un représentant de x)}
est bien définie, et la définition de l'exponentielle en fait un isomorphisme entre R/Z additif et l'ensemble des complexes de module 1 munis de la multiplication. Et ce dernier est isomorphe à U(1) selon la définition comme laissant invariant x²+y², par la représentation classique des complexes comme matrice 2x2.

On peut y mettre plus de rigueur, mais je ne pense pas que ça en vaille la peine.

Cordialement,

[invité576543]

Il faudrait introduire un trou au milieu pour fabriquer des classes de lacets.

Je crois avoir compris ce que tu veux dire par là. Il n'y a pas besoin d'ajouter un trou, il existe déjà. Topologiquement le cercle est la même chose qu'une couronne, un anneau délimité par deux cercles concentriques dessinés sur le plan. Le trou, c'est le vide au centre du de l'anneau... Ca permet de voir un lacet comme une ligne sur une surface, ce qui est plus intuitif qu'une ligne sur une ligne!

Cordialement,

[mariposa]

Je ne sais pas. J'avais l'impression que c'était une définition de U(1). C'est l'un ou l'autre, soit c'est la définition, soit c'est un isomorphisme.

;Je ne pense pas que ce soit une définition mais un isomorphisme.

A partir de quelle définition de U(1) ?

A partir de "la mienne" qui est la définition standard.

Pas plutôt de dimension n+1? Difficile pour U(1), non? Ce qui laisse invariant x-->x² c'est {1, -1}, le groupe multiplicatif à deux éléments, non? (Doit être U(0) d'ailleurs, non?)

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Non la définition que j'ai donné est générale, sans controverse possible. U(1) c'est le groupe de matrices complexes de dimension 1 avec |det| = 1

Prenons la définition de U(1) comme les matrices 2x2 laissant invariant x²+y². Je vais réfléchir ou trouver un lien pour la démo... Mais ça semble assez claire par la trigo, par les relations mêmes que tu as indiquées.

Cà c'est la définition de SO(2).

Le groupe SO(n) est le groupe de matrices A des transformations orthogonales de dimension n où les éléments de matrices sont réels et dont déterminant A =1 avec A puissance -1 = transposée de A
.
En conséquences SO(2) sont les transformations qui laissent invariantes x2 +y2 = R2
qui dans le langage de la géométrie sont les transformations qui laissent invariantes le cercle S1

Un lacet joignant A à B est juste une application continue f de [0,1] vers l'ensemble, avec f(0)=A et f(1)=B. Aucun besoin de géométrie. Si on indice les points du cercle (ou les éléments du groupe U(1)) par theta entre 0 et 2pi, un lacet sur le cercle joignant le point 0 à lui-même est par exemple x -->0, un autre est x --> 2pi x, un troisième (même classe que le précédent) x --> 2pi x⁴, un quatrième x --> 4pi x mod 2pi, un autre x--> pi (1-cos(132pi x)) etc.

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Le problème n'est pas dans la définition des groupes d'homotopie mais de l'application a un cas concret. J'ai vu dans un livre que pour S1 isomorphe de SO(2) seul le premier groupe d'homotopie n'est pas identiquement nul il vaut Z. j'aimerais bien pouvoir le démonter correctement (ou comprendre une démonstration détaillée).

Après il y a une difficulté supplémentaire: Il faut démontrer le rapport qui existe entre le caractère multivualué d"une representation irréductible d'un groupe dans un autre et les propriétés topologiques caractérisées par les groupes d'homotopies.

[invité576543]

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Non la définition que j'ai donné est générale, sans controverse possible. U(1) c'est le groupe de matrices complexes de dimension 1 avec |det| = 1

OK, c'est juste un pb de terminologie, jamais réussi à mémoriser lesquels sont lesquels...

Le problème n'est pas dans la définition des groupes d'homotopie mais de l'application a un cas concret. J'ai vu dans un livre que pour S1 isomorphe de SO(2) seul le premier groupe d'homotopie n'est pas identiquement nul il vaut Z. j'aimerais bien pouvoir le démonter correctement (ou comprendre une démonstration détaillée).

Je ne sais pas faire la démo, mais que ce soit Z est intuitivement clair: une classe correspond au nombre de tours que fait le lacet autour du cercle, le signe dépendant du sens dans lequel il fait les tours (avec un choix conventionnel du signe).

Un représentant simple de la classe n est x--> 2pi nx mod 2pi (toujours en indexant par un angle en radian entre 0 et 2pi).

Que ces représentants forment un groupe avec l'opération d'addition de lacet est direct. Après il faut montrer qu'ils couvrent toutes les classes (en enlevant les boucles d'un lacet quelconque et en lissant l'index); et qu'ils appartiennent à des classes différentes.

Après il y a une difficulté supplémentaire: Il faut démontrer le rapport qui existe entre le caractère multivualué d"une representation irréductible d'un groupe dans un autre et les propriétés topologiques caractérisées par les groupes d'homotopies.

Ca oui, mais tu définis comment une "représentation multivaluée" ?

Cordialement,

[mariposa]

Je crois avoir compris ce que tu veux dire par là. Il n'y a pas besoin d'ajouter un trou, il existe déjà. Topologiquement le cercle est la même chose qu'une couronne, un anneau délimité par deux cercles concentriques dessinés sur le plan. Le trou, c'est le vide au centre du de l'anneau... Ca permet de voir un lacet comme une ligne sur une surface, ce qui est plus intuitif qu'une ligne sur une ligne!

Cordialement,

Il y a une confusion entre l'espace géométrique (ou une expression mathématique) que j'appelerai M sur lesquels opérent des transformations T qui laissent invariant M. Exemple Si M est un cercle T est une rotation de 17°.Ce sont les transformations T qui forment un groupe que j'appelerai [T] ici.
.
Quand le groupe est continu les élements T forment une variété, cad un espace topologique. Autrement dit les paramètres du groupe définissent les coordonnées d'un point de cette variété [T]. Le problème est donc d'étudier la topologie de [T] et non de M. La théorie des groupes d'homotopie est justement faite pour savoir si 2 variétés sont homotopes l'une de l'autre.
.
L'exercice délicat et que je trouve ambigue (dans mon esprit) est de définir correctement l'espace des paramètres de SO(2) et de U(1). Dans cet espace de paramètre il faut identifier les classes d'homotopies et c'est là que je sèche complètement. Je sais même pourquoi!!
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J'ai regardé en détails l'étude topologique SU(2) contre SO(3). Dans ces cas les boucles existent dans des volumes ou sur des surfaces. C'est donc très facile de les representer graphiquement et de les classer. Par contre des boucles dans un espace à 1 dimension je suis troublé, voilà la vrai source de difficultés. Si quelqu'un peut m'éclaircir ce problème je le remercie par avance.

le trou dont je parle c'est un éventuel trou dans [T] pas dans même M . Ce trou que je vois pas aurait pour role de ne pas pouvoir contracter les boucles en 1 point et de démontrer une éventuelle multiconnexité.!!

[invité576543]

Il y a une confusion entre l'espace géométrique (ou une expression mathématique) que j'appelerai M sur lesquels opérent des transformations T qui laissent invariant M. Exemple Si M est un cercle T est une rotation de 17°.Ce sont les transformations T qui forment un groupe que j'appelerai [T] ici.
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Quand le groupe est continu les élements T forment une variété, cad un espace topologique. Autrement dit les paramètres du groupe définissent les coordonnées d'un point de cette variété [T]. Le problème est donc d'étudier la topologie de [T] et non de M. La théorie des groupes d'homotopie est justement faite pour savoir si 2 variétés sont homotopes l'une de l'autre.

Je ne comprends rien à tout ça. Un groupe de Lie est à la fois un groupe et une variété.

Les groupes d'homotopie sont les classes de lacets fermés sur une variété, en partant de l'addition (aboutement) des lacets. Ca se définit directement sur un groupe de Lie si on veut.

Cercle S1, ligne fermée plongée dans un espace plus grand, U(1), SO(2), R/Z, tout ça c'est kif-kif du point de vue topologie.
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L'exercice délicat et que je trouve ambigue (dans mon esprit) est de définir correctement l'espace des paramètres de SO(2) et de U(1). Dans cet espace de paramètre il faut identifier les classes d'homotopies et c'est là que je sèche complètement. Je sais même pourquoi!!

Je ne comprends pas ce que tu appelles "espace de paramètre". Nul besoin de paramètre pour définir les classes d'homotopie, c'est juste ensembliste. On définit l'ensemble des lacets fermés, on le muni d'une structure de groupe par l'aboutement, on en fait les classes d'équivalence selon le groupe topologique, et le quotient du groupe par cette équivalence donne le groupe d'homotopie. Nulle part une quelconque paramétrisation apparaît.

C'est donc très facile de les representer graphiquement et de les classer. Par contre des boucles dans un espace à 1 dimension je suis troublé, voilà la vrai source de difficultés. Si quelqu'un peut m'éclaircir ce problème je le remercie par avance.

C'est ce que j'essayais de faire avec mon message que tu as considéré comme une confusion. Je ne vois pas où est la difficulté à dessiner des lignes sur une ligne! Tu dessines un cercle, tu mets un doigt sur un point et tu balades ton doigt sur le cercle n'importe comment, y compris repasser par le point d'origine ou n'importe quel point, rebrousser chemin, ..., et tu t'arrêtes sur le point d'origine. C'est ça un lacet.

Pour voir la classe, tu mets une ficelle à la place. Tu la déposes sur le cercle n'importe comment, avec des rebroussements quelconques, et tu aboutes les deux extrémités. Pour avoir la classe, tu réduis autant que possible la longueur de la ficelle, ce qui supprimera tous les rebroussements. La classe c'est le nombre de tours que fait la ficelle. (Reste le signe: suffit d'orienter la ficelle et d'orienter le cercle, signe + si c'est dans le même sens, - en sens opposé.)

le trou dont je parle c'est un éventuel trou dans [T] pas dans même M . Ce trou que je vois pas aurait pour role de ne pas pouvoir contracter les boucles en 1 point et de démontrer une éventuelle multiconnexité.!!

on peut voit le trou pour S1 comme l'intérieur du cercle si tu le dessines dans un plan. La topologie du cercle est aussi la topologie du plan E2 dans lequel tu fais un trou.

Cordialement,

[mariposa]

Je ne sais pas faire la démo, mais que ce soit Z est intuitivement clair: une classe correspond au nombre de tours que fait le lacet autour du cercle, le signe dépendant du sens dans lequel il fait les tours (avec un choix conventionnel du signe).

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Oui c'est bien çà. Le problème est que c'est intuitif. J'aimerais bien pouvoir le démontrer proprement. pas pour une question d'esthétique mais pour être sur d'avoir bien compris le problème de fond afin de pouvoir résoudre un problème ou l'intuition ne fonctionne pas. Voir mon post précédent qui identifie les difficultés.

Ca oui, mais tu définis comment une "représentation multivaluée" ?

Cordialement,

Le prototype classique est le rapport entre SO(3) et SU(2)
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Quand on étudie SU(2) paramétrés en termes d'angles on parcourt les éléments du groupe sU(2) en faisant varier un paramètre (pour un axe déterminé) de 0 a 4.Pi. Autrement dit avec 4.Pi on a l'opération identité.

Le truc bizarre c'est que du point de vue SO(3) la transformation 2.Pi c'est l'opération identité, ce qui est évident. Si on regarde ce qui arrive pour une transformation 2.Pi dans sU(2) on constate que la representation U pour un angle teta devient -U pour un angle teta + 2.PI.
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Autrement dit du point de vue de SO(3) pour un angle teta il y a 2 representations de SU(2) qui lui correspondent. on dit que la representation est bivaluée.
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Cela est relié aux topologies respectivent de l'espace des paramètres de sO(3) et de sU(2). La démonstration est convaincante, sauf que je ne sais pas la transférer sur le problème SO(2)/U(1)

[invité576543]

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Le prototype classique est le rapport entre SO(3) et SU(2)

Ca ne me donne pas la définition.

La représentation multivaluée de U(1) ce n'est pas R?

A ce que j'en comprends, la relation entre SO(3) et SU(2) c'est la relation entre R et U(1), sauf que la valuation est infinie dénombrable, pas 2; c'est Z, pas {1,-1}.

A θ dans U(1) correspond l'ensemble θ+2πZ dans R.

La relation entre SO(2) et U(1) c'est un isomorphisme, il n'y a pas de multi-valuation.

Cordialement,

[invité576543]

Pour le fond du problème, ce serait la correspondance entre le nombre de classes d'homotopie (une seule dans SU(2), 2 dans SO(3); à comparer avec une seule dans R, Z dans U(1)), et la multivaluation, alors?

Cordialement,

Edit: Du coup j'ai dû inverser SO(3) et SU(2) dans le message d'avant... En tout cas les deux messages ne sont pas cohérents!