Theorie des groupes pour physiciens !

[mariposa]

Je ne comprends rien à tout ça. Un groupe de Lie est à la fois un groupe et une variété.

Les groupes d'homotopie sont les classes de lacets fermés sur une variété, en partant de l'addition (aboutement) des lacets. Ca se définit directement sur un groupe de Lie si on veut.

Cercle S1, ligne fermée plongée dans un espace plus grand, U(1), SO(2), R/Z, tout ça c'est kif-kif du point de vue topologie.
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Je ne comprends pas ce que tu appelles "espace de paramètre". Nul besoin de paramètre pour définir les classes d'homotopie, c'est juste ensembliste. On définit l'ensemble des lacets fermés, on le muni d'une structure de groupe par l'aboutement, on en fait les classes d'équivalence selon le groupe topologique, et le quotient du groupe par cette équivalence donne le groupe d'homotopie. Nulle part une quelconque paramétrisation apparaît.

Soit un groupe de transformation qui laisse invariante la sphère S2.

Ce groupe est définit par 3 paramètres angulaires (les angles d'Euler par exemple). Ces 3 paramètres ont un espace de définition etl définissent une variété. Un jeu de 3 paramètres définissent les coordonnées d'un point de cette variété donc de dimension 3. C'est cà un groupe de Lie.
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Les groupes d'homotopies permettent d'étudier la gueule de cette variété. C'est ainsi que l'on peut découvrir que le groupe de Lie en question est homéomorphe a une bouteille de Klein (par exempe). Encore faut-il que la variété soit définie par ses paramètres.
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En résumé un groupe de Lie est défini sur un espace M sur lequel il agit et par son domaine de définition de paramètres qui défini une variété. A partir de là on peut construire:

1-Son algébre de Lie qui joue pour les groupes continus le role de la table de multiplication des groupes discrets au voisinage de l'unité.

2- Trouver les groupes d'homotopie du groupe de Lie ce qui caractérise la topologie globale et construire ainsi les representations irréductibles pour le groupe complet.

C'est ce que j'essayais de faire avec mon message que tu as considéré comme une confusion. Je ne vois pas où est la difficulté à dessiner des lignes sur une ligne! Tu dessines un cercle, tu mets un doigt sur un point et tu balades ton doigt sur le cercle n'importe comment, y compris repasser par le point d'origine ou n'importe quel point, rebrousser chemin, ..., et tu t'arrêtes sur le point d'origine. C'est ça un lacet.

Pour voir la classe, tu mets une ficelle à la place. Tu la déposes sur le cercle n'importe comment, avec des rebroussements quelconques, et tu aboutes les deux extrémités. Pour avoir la classe, tu réduis autant que possible la longueur de la ficelle, ce qui supprimera tous les rebroussements. La classe c'est le nombre de tours que fait la ficelle. (Reste le signe: suffit d'orienter la ficelle et d'orienter le cercle, signe + si c'est dans le même sens, - en sens opposé.)

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Ce n'est pas aussi simple. Je te suggére de regarder l'étude de SU(2) en suivant tous les moindres détails des calculs. Personnellement je n'aurais pas été capable de trouver cette démonstration tout seul. J'estime l'avoir comprise et encore!

on peut voit le trou pour S1 comme l'intérieur du cercle si tu le dessines dans un plan. La topologie du cercle est aussi la topologie du plan E2 dans lequel tu fais un trou.

Cordialement,

Encore une fois le trou éventuel en question est à rechercher dans la variété définie par le groupe et non pas dans l'espace M cad ici pas dans S1.
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[invité576543]

Ce n'est pas aussi simple. Je te suggére de regarder l'étude de SU(2) en suivant tous les moindres détails des calculs. Personnellement je n'aurais pas été capable de trouver cette démonstration tout seul. J'estime l'avoir comprise et encore!

Ce que je décrivais n'est pas compliqué, et n'a rien à voir avec la démo sur SU(2), c'est juste la définition des classes d'homotopie et l'application à S1.

Encore une fois le trou éventuel en question est à rechercher dans la variété définie par le groupe et non pas dans l'espace M cad ici pas dans S1.

Comme tu le voudras...

Quoi que tu en penses, je n'ai pas le moindre doute sur ma compréhension des classes d'homotopie, et ton histoire de trou me semble pas être une bonne direction.

Cordialement,

[mariposa]

Ca ne me donne pas la définition.

Je pensait être plus clair avec un exemple. une définition générale serait:

A 1 élement d'un groupe G correspond plusieurs matrices appartenant à la même representation irréductible d'un groupe F. F et G ayant même algébre de Lie. Dans ce cas on dit que la representation est multivaluée.

Pour SO(3) a chaque angle correspond 2 matrices U et -U qui appartiennent à la representation irréductible 1/2 de SU(2)

La représentation multivaluée de U(1) ce n'est pas R?

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Avec un groupe compact et l'autre pas, difficile de construire quelquechose.

La relation entre SO(2) et U(1) c'est un isomorphisme, il n'y a pas de multi-valuation.

Cordialement,

SO(2) et U(1) sont isomorphes cela découle que cos teta + I sin teta = exp(i.teta). C'est pourquoi j' ai d'abord réagit en disant qu'il n'y avait de multivaluation. J'ai fait le calcul précisemment et j'ai trouvé qu'un groupe est multivalué par rapport à l'autre et que cela dépend si Q> 1 ou Q <1 (voir démonstration plus haut dans ce fil). c'est pourquoi je n'ai toujours pas les idées claires. Le problème but sur le domaine de définition des paramètres. A savoir qu'un groupe impose son domaine a l'autre. Voir SU(2)/SO(3) où SU(2) impose que l'angle varie de 4.Pi pour SO(3). je ne suis pas loin de la solution mais il me manque quelquechose de "philosophique".

[invité576543]

Avec un groupe compact et l'autre pas, difficile de construire quelquechose.

Si j'essaye de rapprocher la discussion de la topologie en oubliant temporairement les groupes, SU(2) c'est la sphère S2, SO(3) le plan projectif réel, U(1) c'est la sphère S1 et R c'est la ligne E1.

La relation entre S2 et le plan projectif est que S2 est revêtement double du plan projectif. Cela correspond à E1 revêtement infini dénombrable de S1.

C'est ce que m'évoque le parallèle dont tu parles. Et ça donnerait le groupe des translations de R comme représentation multivaluée de U(1)=SO(2). Je ne vois pas en quoi la compacité empêche la relation entre le groupe de translation de R et U(1).

A contrario, je ne vois rien d'autre qu'un isomorphisme entre U(1) et SO(2), qui sont topologiquement la même chose, et qui donc les mêmes groupes d'homotopie.

La relation entre revêtements et groupes d'homotopie existe, je ne comprends pas les détails fins, il me semble qu'il y a des indications dans Wiki, article revêtement.

Ce qui me manque pour comprendre la discussion, c'est la relation avec la représentation.


Cordialement,

[invité576543]

Peut-être que la représentation des translations de R par des matrices, comme par exemple



peut aider à se raccrocher aux représentations? (Je ne vois pas trop comment ça aide, mais ça introduit une représentation matricielle du groupe...)

Cordialement,

[mariposa]

Si j'essaye de rapprocher la discussion de la topologie en oubliant temporairement les groupes, SU(2) c'est la sphère S2, SO(3) le plan projectif réel, U(1) c'est la sphère S1 et R c'est la ligne E1.

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SU(2) n' est pas isomorphe à S2

C'est:

Soit la sphère S3 (le plus facile a démontrer)

Soit la sphère pleine S2 de rayon 2.Pi où tous les élements de la surface sont identifiées a - I

SO(3) est isomorphe à une sphère pleine S2 pleine de rayon PI où les points anti-podaux sont identifiés. C'est ce que l'on appele le plan projectif RP3.

C'est ce que m'évoque le parallèle dont tu parles. Et ça donnerait le groupe des translations de R comme représentation multivaluée de U(1)=SO(2). Je ne vois pas en quoi la compacité empêche la relation entre le groupe de translation de R et U(1).

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Parceque U(1) est isomorphe à SO(2) je vois bien au premier coup d'oeil qu'un cercle n'est pas topologiquement à une droite qui fout le camp dans les 2 infinis. Pour qu'ils soient homotopes il faudrait identifier les 2 infinis, alors ce n'est plus une droite mais un cercle (topologiquement parlant)

A contrario, je ne vois rien d'autre qu'un isomorphisme entre U(1) et SO(2), qui sont topologiquement la même chose.

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c'est le problème sur lequel je cale.

La relation entre revêtements et groupes d'homotopie existe, je ne comprends pas les détails fins, il me semble qu'il y a des indications dans Wiki, article revêtement.

Cordialement,

L'idée est simple c'est le groupe le plus "gros" (qui a le plus d'éléments) qui recouvre tous les autres. pour ce groupe toutes les classes d'homotopies valent l'identité.
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Ainsi SU(2) recouvre SO(3) SU(2) a 2 fois plus d'éléments que SO(3)

[invité576543]

Parceque U(1) est isomorphe à SO(2) je vois bien au premier coup d'oeil qu'un cercle n'est pas topologiquement à une droite qui fout le camp dans les 2 infinis. Pour qu'ils soient homotopes il faudrait identifier les 2 infinis, alors ce n'est plus une droite mais un cercle (topologiquement parlant)

Plutôt qu'une droite, prend une hélice t --> (cos(t), sin(t), t). Elle se projette sur le cercle, et est topologiquement la même chose que R.

A contrario (je ne suis pas sur du vocabulaire) une hélice (donc R) est une fibration du cercle, avec Z la fibre élevée au-dessus du cercle.

Cordialement,

[invité576543]

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SU(2) n' est pas isomorphe à S2

C'est:

Soit la sphère S3 (le plus facile a démontrer)

Soit la sphère pleine S2 de rayon 2.Pi où tous les élements de la surface sont identifiées a - I

SO(3) est isomorphe à une sphère pleine S2 pleine de rayon PI où les points anti-podaux sont identifiés. C'est ce que l'on appele le plan projectif RP3.

OK, je confond encore. Mais la relation entre SU(2) et SO(3) est bien exactement la même qu'entre S2 et le plan projectif, non? (Il me semble que la relation entre Sn et RPn est toujours la même, non?). On reste avec un revêtement double de Sn sur RPn, il me semble?

En d'autres termes, ça ne change pas le fond du discours.

Cordialement,

[mariposa]

Plutôt qu'une droite, prend une hélice t --> (cos(t), sin(t), t). Elle se projette sur le cercle, et est topologiquement la même chose que R.

A contrario (je ne suis pas sur du vocabulaire) une hélice (donc R) est une fibration du cercle, avec Z la fibre élevée au-dessus du cercle.

Cordialement,

Oui ta droite/hélice se projette selon un cercle, mais on s'éloigne du problème. Dans les discussions de topologie on ne fait pas de projections. On veut savoir si 2 formes sont topogiquement équivalentes. Hors ici ton hélice c'est une droite topologiquement parlant.
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En plus la discussion topologique doit porter sur l'espace des paramètres du groupe.

[invité576543]

Parceque U(1) est isomorphe à SO(2) je vois bien au premier coup d'oeil qu'un cercle n'est pas topologiquement à une droite qui fout le camp dans les 2 infinis. Pour qu'ils soient homotopes

Je reprends cela: il n'a jamais été question que S1 et R soit homéomorphes, mais que le second est un revêtement du premier. Cà n'a rien à voir avec une homéomorphie directe.

Cordialement,

[invité576543]

Oui ta droite/hélice se projette selon un cercle, mais on s'éloigne du problème. Dans les discussions de topologie on ne fait pas de projections.

Si tu veux... Je proposais avec l'hélice une image visuelle et parlante de la relation entre S1 et E1.

Cordialement,

(Note: si je construit E1 comme homéomorphe avec S1xZ muni de la topologie adaptée, l'application S1xZ --> S1 qui donne le premier terme du couple est bien une projection, et cela ne dépasse pas le domaine de la topologie. Mais ce n'est pas bien important.)

[invité576543]

En plus la discussion topologique doit porter sur l'espace des paramètres du groupe.

Pourquoi? Un groupe de Lie est un espace muni d'une topologie par lui-même, non? Une topologie n'est qu'un sous-ensemble de l'ensemble des parties, ça se définit pour tout ensemble, groupes y compris, non?

Cordialement,

[mariposa]

Pourquoi? Un groupe de Lie est un espace muni d'une topologie par lui-même, non? Une topologie n'est qu'un sous-ensemble de l'ensemble des parties, ça se définit pour tout ensemble, groupes y compris, non?

Cordialement,

ce qui te manque ce sont le role des parametres (voir mon post 31#)

en version courte:

les N paramétres d'un groupe de Lie G définissent des transformation sur un espace M et du même coup une variété de dimension N dont les coordonnées sont justement les N paramètres. C'et tout çà a la fois qui définit un groupe de Lie.

[Gwyddon]

Hello,

J'ai suivi la discussion de loin, mais je ne suis pas d'accord avec toi mariposa. La définition d'un groupe de Lie n'a nullement besoin de paramétrisation.

La définition formelle, c'est "variété différentielle munie d'une structure de groupe telle que les opérations de multiplication et de passage à l'inverses sont différentiables" : où sont les paramètres dans cette définition générale ?

Après en pratique, en physique on oublie un peu cette définition générale et on manipule les paramètres du groupe, qui se trouvent être les paramètres utilisés avec les générateurs de l'algèbre de Lie associée via les transformations infinitésimales ; mais il ne faut pas oublier que faire ça signifie travailler sur la composante connexe de l'identité du groupe, et donc négliger la structure topologique globale que l'on n'attrape que via l'étude homotopique dont parle Michel.

[invite35452583]

Je vais essayer de clarifier certains points (au moins au niveau mathématique).
U(1) groupe unitaire de C¹=C qu'on identifie sans aucune difficulté avec les complexes unitaires.
SO(2) groupe spécial orthogonal de R² qu'on identife sans difficulté avec les rotations de centre O ou encore avec les matrices de la forme

deux matrices ou deux rotations en décalage de phase un multiple de sont égales.
Comme les complexes unitaires sont de la forme deux complexes en décalage de phase un multiple de sont égaux.
On a donc un isomorphisme (ou homomorphisme (1;1)) entre U(1) et SO(2).
Maintenant, on a aussi l'isomorphisme R/Z->U(1) x->.
Preuve : f : R->U(1) x-> est un revêtement universel de fibre Z car R est trivialement simplement connexe (il est contractile).
A partir de celui-ci on peut montrer que les groupes d'homotopie de U(1) et donc de SO(2) et de S¹ sont nuls sauf celui de degré 1 qui est isomorphe à Z.
L'idée de la démonstration est celle-ci :
Degré 1 : on envoie dans Z ainsi :
Soit un lacet de S1 càd un chemin continue c : [0,1]->s1 avec c(0)=c(1)=1
Alors il existe un uniquement relèvement c' : [0,1]->R, càd foc'=c, tel que c'(0)=0. Comme d(c)=foc'(1_R)=c(1_R)= 1_C (l'indice précise l'espace dans lequel on est placé) c'(1) est dans Z. (C'est de l'holonomie)
En effet, comme [0,1] est compact il existe e>0, nombre de Lebesgue associé au recouvrement de [0,1] par les composantes connexes des deux ouverts c^-1(S1\{1}) et c^-1(S1\{1}) tel que pour tout intervalle c([ke;(k+1)e]) soit inclus dans S1\{1} ou dans S1\{-1}.
Comme c'([0,e]) est connexe car image d'un connexe, or c(0) est dans ]-1/2;1/2[ donc c'([0,e]) est dans ]-1/2;1/2[, or la restriction de c à cet ouvert est un homéomorphisme de cet ouvert sur S1\{-1} donc on peut définir c' sur [0,e] et ceci de manière unique. En procédant par étape de longueur e on aboutit à l'existence et l'unicité.
Il faut montrer que c'est compatible aux classes.
Maintenant si on a une homotopie de lacets H : Ix[0,1]->S1 entre c₀(s)=H(0,s) et c₁(s)=H(1,s) (I=[0,1] aussi mais contient ici le paramètre de l'homotopie [0,1] contient le paramètre des lacets).
On recouvre Ix[0,1] par des rectangles R_i tels que H(Ri) soit inclus dans S1\{1} ou S1\{-1} et on relève H en H' (foH'=H) grace à l'homéomorphisme local et en imposant H(0,0)=0.
Maintenant, H(t,0) est un lacet constant donc se relève en un lacet constant par unicité ainsi H'(t,0)=0 pour tout t Ainsi, H'(0,s) (resp. H'(1,s)) est un lacet relevant c₁ (resp. c₂) commençant en 0 donc finit en d(c₁) (resp. d(c₂)). Comme de même H(t,1) est un lacet constant on a d(c₁)=d(c₂).
Maintenant l'injectivité, c₁ et c₂ tel que d(c₁)=d(c₂).
Il n'est pas difficile de voir que d est un morphisme de groupe (il faut penser à décaler le relèvement du deuxième lacet).
L'injectivité de d* (l'application induite par d sur le groupe fondamental) se voit ainsi, soit un lacet tel que d(c)=0, c'est donc un lacet dans R donc trivial. Il existe une homotopie dans R vers le lacet trivial, il suffit de composer cette homotopie avec f.
Ceci finit de montrer que et d'illustrer ce que signifie faire n tours (avec les relevés dans R on est capable de les compter).
Degré=2
On considère une application de [0,1]x[0,1] tel que tous les points du bord sont envoyés sur 1_C.
Cela se relève, comme une homotopie de lacets, dans R en imposant (0,0)->0 Mais comme le bord est connexe le relevé du bord est connexe et contient 0 tout le bord est envoyé sur 0 (ou on utilise l'unicité des relevés des chemins dont l'origine est fixé). Comme R est contractile en 0 on peut déformer continument vers l'application triviale et on peut projeter cette homotopie.
Degré>3, le même principe s'applique.

Maintenant, reprenons dans l'autre sens, comment "tuer" le groupe fondamental de S1.
On fait un tour "au-dessus" de S1, recolle-t-on avec l'origine ? non sinon on a un lacet non trivial donc on se place un peu au-dessus et on refait un tour, là aussi on ne recolle pas sinon il y a un lacet non trivial, etc on finit par faire la partie haute d'une spirale, puis on reprend dans l'autre sens et on ne recolle jamais avec les autres points au-dessus de 1 sinon on crée un lacet non trivial.
(Comment fait-on un revêtement universel en général ? La même idée on ne représente plus les points par eux-mêmes mais par des classes d'homotopie de chemin de même origine et de même extrémité (les homotopies laissant cette origine et cette extrémité invariante). On ne recolle donc pas si cela crée un lacet non trivial. Pour la topologie on munit l'espace de ces chemins de la topologie de la convergence uniforme puis on quotiente. Si l'espace est localement simplement connexe alors le gros espace et lui-même sont localement homéomorphes. On a un revêtement dont l'espace total est simplement connexe car on a détruit tous les lacets non triviaux.)
Revenons à notre cercle et à ces recollages. Si au 1er tour on ne recolle pas mais on recolle au deuxième que crée-t-on comme espace, un petit dessin montre vite que c'est aussi un cercle. On peut ainsi décider de recoller seulement au bout de n tours, on obtient encore un cercle.
Au niveau des groupes, R->R morphisme compatible avec le quotient=> c'est de la forme x->nx avec n entier. On a donc en quotientant R/Z->R/Z homomorphisme (1;n). On a donc aussi des homomorphismes de degré n de U(1) dans U(1) .

Par homéomorphisme de groupe continu, si on considère une application que l'on sait un morphisme de groupe continu U(1)->SO(2) il y a une indéterminée : combien de tour dans SO(2) doit-on faire pour revenir à l'identité dans U(1) (la même question se pose si on considère SO(2)->U(1), U(1)->U(1), SO(2)->SO(2)...). Comment détermine-t-on ce n ? En faisant comme précédemment en faisant continument un "tour" pour savoir où on aboutit dans l'espace de départ. C'est ce qui est fait dans le document de Toledano où U(1) est l'espace de représentation du spin d'une particule et SO(2) une rotation dans l'espace appliquée à cette particule autour d'un axe. Là par contre je ne me lance pas dans l'explication physique.
Par contre si on a un morphisme continu de groupe de SU(2) dans SO(3) alors à conjugaison près il est unique, entre autre il est bivalué, car on a pas l'équivalent de la multiplication par n. Ainsi, je pense que dans une situation où U(1) est un sous-groupe de U(2) et SO(3) un sous-groupe de SO(3), alors l'homomorphisme aura bien du mal à être autrement que bivalué (ce qui doit être une manière de montrer la relation pour un décalage de phase de 2pi).

[invité576543]

Après en pratique, en physique on oublie un peu cette définition générale

Bonjour,

J'ai l'impression qu'une autre différence, qui influence la manière de voir de mariposa et de bien d'autres, est que les groupes considérés en physique ne sont pas les groupes abstraits, mais des groupes associés à une action de groupe.

D'où l'introduction de deux ensembles (G et M dans le dernier messages de mariposa), un groupe et une variété sur laquelle agit le groupe. Ainsi que la référence à la notion de représentation.

A contrario, les considérations topologiques et pas mal d'autres sur un groupe de Lie peuvent se faire sur le groupe abstrait, en ignorant toute action de groupe sur un ensemble distinct, et donc sans avoir besoin d'invoquer un ensemble M en plus du groupe G.

Ceci dit, on peut paramétrer un groupe même sans action de groupe. Mais comme tu l'indiques, Gwyddon, une paramétrisation n'est pas dans la définition d'un groupe de Lie. C'est juste un outil. Mais j'ai une interrogation grandissante dans ma tête, qui est si le recours systématique à des paramètres et autre système de coordonnées en physique n'aurait pas comme résultat de faire perdre de vue les objets au profit de listes de réels (comme des vecteurs ou des matrices).

Cordialement,

[invité576543]

Re-bonjour,

Au passage, je n'arrive toujours pas à me faire une idée ferme que ce qui est appelé "représentation multivaluée" dans ce fil.

J'avais toujours compris une représentation comme une application d'un groupe sur les bijections d'un ensemble vers lui-même.

Pour pouvoir parler de multivalué, il faudrait remplacer "application" par "application multivaluée", non?

Admettons qu'une représentation multivaluée est une application d'un groupe sur un multiplet d'actions, alors l'application de R/Z paramétré par sur des ensembles infinies de matrices, telle que



les matrices étant vues comme des actions sur R², me semble bien être une "représentation multivaluée" de R/Z=U(1)=SO(2) (i.e., du groupe abstrait sous-jacent à tous ces groupes) sur le groupe des matrices groupe isomorphe à R.

Remarquons que cela consiste à évoquer un isomorphisme entre R/Z et l'ensemble d'ensembles de matrices muni de la multiplication



(on peut vérifier que le multiplet produit est composé des produits des éléments des multiplets opérandes).

Où me trompe-je dans cette analyse?

Cordialement,

(Le parallèle avec SU(2)/SO(3) serait alors l'application qui a un élément de SO(3) associe un doubleton {x, -x} d'éléments de SU(2), ou encore un isomorphisme entre SO(3) et les doubletons {x, -x} de SU(2) munis de la multiplication {x, -x}.{y, -y}={xy, -xy})

[mariposa]

Hello,

J'ai suivi la discussion de loin, mais je ne suis pas d'accord avec toi mariposa. La définition d'un groupe de Lie n'a nullement besoin de paramétrisation.

La définition formelle, c'est "variété différentielle munie d'une structure de groupe telle que les opérations de multiplication et de passage à l'inverses sont différentiables" : où sont les paramètres dans cette définition générale ?

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Comme je l'ai écrit 7 fois ci-dessus les paramètres sont les coordonnées de la variété.

Si tu te places sur un plan purement mathématiques qui dit variété V dit coordonnées des points de cette variété. Les points étant munis d'une propriété de groupe G.
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Sur un plan physique on démarre avec un groupe G continu de transformations (définit par des paramètres) agissant sur un objet (géométrique ou pas ) M. On "constate" que ce groupe G est une variété différentiable V où les coordonnées d'un point de cette variété sont les paramètres du groupe G.
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Il y a équivalence entre mathématiques et physique. La différence vient qu'en mathématiques on se donne une variété et on remarque qu'il y a une relation de groupe. Exemple: La droite R munie de l'addition. En physique c'est le contraire on a d'abord le groupe et ensuite la variété. C'est pourquoi qu'en physique on dit parametre quand on fait référence au groupe et coordonnées quand on fait référence à la variété.

Après en pratique, en physique on oublie un peu cette définition générale et on manipule les paramètres du groupe, qui se trouvent être les paramètres utilisés avec les générateurs de l'algèbre de Lie associée via les transformations infinitésimales ; mais il ne faut pas oublier que faire ça signifie travailler sur la composante connexe de l'identité du groupe, et donc négliger la structure topologique globale que l'on n'attrape que via l'étude homotopique dont parle Michel.

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Il y a plusieurs démarches, celle dont tu parles n'est pas unique. En physique on peut commencer avec un "objet" M qui va rester invariant sous un groupe de transformation G. S'il s'agit d'un groupe continu on va pouvoir construire son algébre de Lie qui joue le role de la table de multiplication des groupes continus. Pour étudier la topologie de s'écrit on dispose de la théorie d'homotopie.

Exemple pour M:

C'est le groupe de transformation propre de la sphére SO(3). Les paramètres angulaires au sens du groupe deviennent les coordonnnées d'une variété de dimension 3. Pour étudier la topologie globale on montre par l'analyse des paramètres que SO(3) c'est isomorphe à RP3 et on démontre ainsi que SO(3) est doublement connexe.
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On peut prendre pour M une expression mathématique par exemple un Laplacien à 2 dimensions. On montre que le groupe de transformation est isomorphe à SO(2). etc..
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En bref en physique (presque toujours) il y a un espace M et un groupe de transformations G.

[mariposa]

Bonjour,

J'ai l'impression qu'une autre différence, qui influence la manière de voir de mariposa et de bien d'autres, est que les groupes considérés en physique ne sont pas les groupes abstraits, mais des groupes associés à une action de groupe

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Ceci est absolument excate. En physique les groupes sont des groupes de transformations. Pour avoir former pas mal de gens à la théorie et application des groupes (TAG) et notamment dans un DEA de physique du solide, j'ai pu observer que c'est une des premières difficultés qu'ont les gens a appliquer TAG. Ils ne nomment pas explicitement M et G.

D'où l'introduction de deux ensembles (G et M dans le dernier messages de mariposa), un groupe et une variété sur laquelle agit le groupe. Ainsi que la référence à la notion de représentation.

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M n'est pas a priori un groupe. C'est simplement un "objet" qui se recouvre lui-même sous l'action de G. Par exemple un carré se recouvre lui-même par rotation de 90°
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La notion de representations de G est quant à elle indépendante de M.

Une representation d'un groupe G c'est associer a chaque élément g une matrice carré de telle sorte que la loi de multiplication dans G soit "dupliquée dans l'espace des matrices.
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Exemple simple: Soit un groupe de 2 éléments e et a dont la table de multiplication est évidente.
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a e j'associe une matrice unité de dimension 17 et à a une matrice quelconque inversible et de dimension 17.
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Les 2 tables de multiplications, celle du groupe ou celle des matrices est identique, c'est çà une representation.
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l'intéret en MQ est que pour tenir compte du groupe on se sert de la representation de celui-ci qui sont des opérateurs agissant dans l'espace de Hilbert. En plus pratique c'est plutot l'espace de Hilbert qui définit une representation du groupe.

A contrario, les considérations topologiques et pas mal d'autres sur un groupe de Lie peuvent se faire sur le groupe abstrait, en ignorant toute action de groupe sur un ensemble distinct, et donc sans avoir besoin d'invoquer un ensemble M en plus du groupe G.

Ceci dit, on peut paramétrer un groupe même sans action de groupe. Mais comme tu l'indiques, Gwyddon, une paramétrisation n'est pas dans la définition d'un groupe de Lie. C'est juste un outil. Mais j'ai une interrogation grandissante dans ma tête, qui est si le recours systématique à des paramètres et autre système de coordonnées en physique n'aurait pas comme résultat de faire perdre de vue les objets au profit de listes de réels (comme des vecteurs ou des matrices).

Cordialement,

Voir ci-dessus sur le post adressé à Gwydon

[LoicM]

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l'intéret en MQ est que pour tenir compte du groupe on se sert de la representation de celui-ci qui sont des opérateurs agissant dans l'espace de Hilbert. En plus pratique c'est plutot l'espace de Hilbert qui définit une representation du groupe.

Pour avoir pas mal galéré à comprendre la notion de représentation, je peux ajouter que la difficulté vient d'un maniement un peu délicat du vocabulaire. Le terme "représentation" (linéaire), dans la pratique (en MQ notamment) désigne aussi bien 3 choses liées, mais différentes :
1- "représentation" = fait de représenter : c'est l'application rô(morphisme de groupe qui à un élément du groupe associe un opérateur (matrice si on a une base) de GL(E) agissant dans un espace vectoriel E (de Hilbert en MQ).
2- "représentation" = les opérateurs eux-mêmes, (les matrices) agissant sur E (ou H), qui forment donc aussi un groupe.
3- "représentation" = l'espace E sur lequel agissent les opérateurs. C'est "l'espace de représentation" (E ou H).


Quand on lit "représentation", c'est tout ça à la fois, mais en pratique il faut se poser la question, de quoi on parle concrètement de 1, 2 ou 3. Cela aide pas mal.

[invité576543]

La notion de representations de G est quant à elle indépendante de M.

Dans ce que je comprends du mot représentation (et clairement il y a des problèmes de vocabulaire dans cette discussion, pas seulement de mon côté, àmha), une représentation d'un groupe est toujours liée à une action, donc à un ensemble sur lequel agit le groupe.

Une representation d'un groupe G c'est associer a chaque élément g une matrice carré de telle sorte que la loi de multiplication dans G soit "dupliquée dans l'espace des matrices.

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Ce qui est très exactement décrire une action du groupe, précisément sur M=Kⁿ, K étant le corps des éléments de la matrice et n x n la dimension de la matrice.

Ce qui confirme qu'une représentation est liée à une action, et qu'il faut un ensemble (nommé M ou n'importe quoi d'autre) sur lequel agit le groupe...

Cordialement,

[invité576543]

Pour avoir pas mal galéré à comprendre la notion de représentation, je peux ajouter que la difficulté vient d'un maniement un peu délicat du vocabulaire. Le terme "représentation" (linéaire), dans la pratique (en MQ notamment) désigne aussi bien 3 choses liées, mais différentes :
1- "représentation" = fait de représenter : c'est l'application rô(morphisme de groupe qui à un élément du groupe associe un opérateur (matrice si on a une base) de GL(E) agissant dans un espace vectoriel E (de Hilbert en MQ).
2- "représentation" = les opérateurs eux-mêmes, (les matrices) agissant sur E (ou H), qui forment donc aussi un groupe.
3- "représentation" = l'espace E sur lequel agissent les opérateurs. C'est "l'espace de représentation" (E ou H).


Quand on lit "représentation", c'est tout ça à la fois, mais en pratique il faut se poser la question, de quoi on parle concrètement de 1, 2 ou 3. Cela aide pas mal.

J'ai du mal à comprendre 3-; ce n'est pas une définition de "représentation", mais de "espace de représentation" (= espace sur lequel le groupe agit).

Quand à 1- et 2-, elles sont étroite par rapport à la notion mathématique générale, effectivement limité au linéaire. La définition générale est, il me semble:

4- Une représentation d'un groupe est un morphisme d'un groupe sur les bijections de E vers E, E étant un ensemble quelconque, et l'ensemble des bijections lui-même étant muni d'une structure de groupe, par la composition.

Le groupe image (sous-groupe des bijections de E vers E) agit sur E, est une action sur E.

La vision linéaire est réductrice, R par exemple agit sur R (translations), mais ce ne sont pas des opérateurs linéaires (remarquons au passage qu'ils ne sont pas absent de la physique...). C'est parce que j'ai réalisé l'usage étroit de "représentation" que j'ai introduit des matrices pour représenter les translations.

Cordialement,

[invité576543]

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Comme je l'ai écrit 7 fois ci-dessus les paramètres sont les coordonnées de la variété.

Même avec 8 fois, il restera qu'on peut s'occuper de la topologie d'un groupe de Lie sans invoquer d'action, de représentation ou de paramètre.

L'inconvénient de l'approche amenant à utiliser des paramètres (ou des coordonnées), est qu'on perd énormément en généralité, et surtout en recul. Comme je l'ai déjà écrit (1 fois), il y a nombre d'objets physiques qui ont des propriétés indépendantes de toute description paramétrique (y inclus les systèmes de coordonnées; en euclidien par exemple, un système de coordonnées est une description paramétriques du groupe des translations). La topologie de certains ensembles est de cette catégorie.

Cordialement,

[LoicM]

Bonjour Michel,

J'ai du mal à comprendre 3-; ce n'est pas une définition de "représentation", mais de "espace de représentation" (= espace sur lequel le groupe agit).

Tout à fait d'accord. Je ne fais que souligner que souvent dans les textes on dit simplement "représentation" pour dire "espace de représentation". Et cela ajoute à la confusion.

Quand à 1- et 2-, elles sont étroite par rapport à la notion mathématique générale, effectivement limité au linéaire.

Là encore je suis d'accord. Simplement, comme on parlait ici de MQ, l'action du groupe se faisant sur des états, on agit toujours dans un espace de Hilbert, et donc les représentations sont linéaires.

La définition générale est, il me semble:

4- Une représentation d'un groupe est un morphisme d'un groupe sur les bijections de E vers E, E étant un ensemble quelconque, et l'ensemble des bijections lui-même étant muni d'une structure de groupe, par la composition.

Toujours d'accord. Mon objet était de faire la distinction entre diverses utilisations "dans la littérature", en MQ notamment, du terme représentation, avec souvent une ambigüité.

Loïc

[mariposa]

Pour avoir pas mal galéré à comprendre la notion de représentation, je peux ajouter que la difficulté vient d'un maniement un peu délicat du vocabulaire. Le terme "représentation" (linéaire), dans la pratique (en MQ notamment) désigne aussi bien 3 choses liées, mais différentes :
1- "représentation" = fait de représenter : c'est l'application rô(morphisme de groupe qui à un élément du groupe associe un opérateur (matrice si on a une base) de GL(E) agissant dans un espace vectoriel E (de Hilbert en MQ).
2- "représentation" = les opérateurs eux-mêmes, (les matrices) agissant sur E (ou H), qui forment donc aussi un groupe.
3- "représentation" = l'espace E sur lequel agissent les opérateurs. C'est "l'espace de représentation" (E ou H).


Quand on lit "représentation", c'est tout ça à la fois, mais en pratique il faut se poser la question, de quoi on parle concrètement de 1, 2 ou 3. Cela aide pas mal.

Effectivement comme beaucoup de monde tu galères et tu es loin d'être le seul.mais le vrai problème est de s'en servir et là il n'y a plus personne. Le problème vient que certaines personnes s'essaient a enseigner les groupes alors qu'ils ne savent pas les utiliser. Résultat ce prof plein de bonne volonté ne sais pas distinguer l'essentiel et fait qu'au bout du compte l'étudiant n'a même compris pas compris ce qu'est une representation irréductible ou pas.
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Pour revenir au vocabulaire, comme tu l'as fait remarquer, les physiciens utilisent, à tord, le même vocabulaire pour 2 choses différentes (pas trois). Je vais donc ci-dessous expliquer ce qu'est une representation et surtout comment cela s'articule avec la MQ.
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Representation d'un groupe.

Strictement une representation c'est un jeu de matrices Mat(n) de dimension quelconque (par exemple 367) qui respecte la table demultiplication du groupe. En langage mathématique c'est une application G dans Mat.
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Pour sortir des généralités prenons un exemple: le triangle équilatéral qui est l'objet M. Celui est invariant selon 6 transformations qui définit le groupe C3v.
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Une representation de ce groupe est donc un jeu quelconque de 6 matrices de dimension n (n entier quelconque par exemple 114).
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pour bien comprendre les aspects généraux il y a donc:

1- Un objet M (ici un triangle équilatéral).
2- Un groupe G (ici le groupe C3v de 6 éléments) caractérisé par sa table de multiplication.
3- Un jeu Mat(n) de matrices carrés. (ici 6 matrices de dimension 114) qui respecte la table de multiplication de G.
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Comment construire une representation?

A vue par essai erreur. Possible mais difficile. En tous cas il y a des representations qui marchent à tous les coups c'est de prendre un jeu de matrice identité I(n) de dimension quelconque n. il se fait que ce genre de representation triviale joue un rôle central.
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Un exemple supposons des petits disques identiques posés sur les sommets ou encore des distributions de dirac sur ces sommets que l'on peut appeller 1,2,3. Lorsque l'on effectue une transformation G de C3v on aura un échange des objets posés sur ces sommets qui permettra de construire un jeu de 6matrices 3.3 on aura ainsi une representation qui s'avère réductible.
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Comment intervient la MQ?
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Supposons que je m'intéresse a la dynamique à N électrons (le nombre d'électrons ne joue aucun role par la suite ) sur la molécule ayant la symétrie C3v. Cette dynamique est décrite par un hamiltonien H et un espace de Hilbert de dimension n (le choix de H et de n dépendent de ce que le physicien veut démontrer).
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L'hamiltonien H est representé dans une base quelconque Phi par une matrice de dimension n. Effectuons une opération de symétrie O de symétrie de C3v.

La base devient O.Phi
L'hamiltonien H = O-1.H.O
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Comme le triangle se recouvre lui-même l'hamiltonien est invariant c'est l'objet M aussi.
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Ainsi L'hamiltonien H est invariant sous les opérations de symétrie de C3v. on a bien un objet appellé M (ici H) qui reste invariant sous un groupe G (ici C3v).
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On note que les 6 matrices agissant dans l'espace de Hilbert de dimension n constitue automatiquerment une representation de dimension n du groupe C3v
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Voilà ce long développement que j'estime incontournable pour comprendre et appliquer la théorie de representation des groupes et son application à la MQ.
J'ai mis en place le paysage et je n'ai rien fait pour expliquer ce qu'est une representation irréductible, cela viendra plus tard. On constate que les mathématiques sont élémentaires, la vrai difficulté, dans un premier temps, c'est l'articulation avec la MQ.

[mariposa]

Je reviens sur le vocabulaire.
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J'ai donc définis ce qu'est une representation d'un groupe comme un jeu de matrices de dimension quelconque.
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Une fois couplé à la MQ (c'était un exemple) ces matrices prennent le sens d'opérateurs. on peut donc considérer que le groupe est representé par des opérateurs. D'ailleurs il y a une manière simple de s'en convaincre est que lorsque l'on fait un changement de base on obtiend un jeu de matrices semblables qui toutes representent le même opérateur.
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C'est la raison pour laquelle on définira les opérations de groupes non par les éléments mais par leur regroupements en classes. Du même coup on ne retiendra que les caractères de ces classes qui sont les traces des representations. Ce sont ces mêmes traces qui permettront de décomposer une representation réductible en ses representations irréductibles.
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Par contre un vocabulaire détestable que tout monde utilise (moi compris) est d'appeler representation la base qui engendre les representations. C'est effectivemenr scandaleux et constitue un blocage a la compréhension. Je vois que tu t'en ai tiré.
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II est courant de dire qu'une particule élémentaire est une representation irréductible d'un groupe. Par exemple Le neutron est une representation irréductible du groupe isospin. Il faudrait dire que neutron et le proton sont les 2 composantes d'un vecteur qui engendre la representation 1/2 du groupe SU(2) d'isospin.
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Je crois que les mathématiciens parlent de module pour désigner les vecteurs qui sous-tendent les representations.
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La physique est encombré de jargons, la physique de la matière condensée détiend tous les records: il ne faut se fier on vocabulaire tout est piégé dans cette discipline.

[LoicM]

Pour revenir au vocabulaire, comme tu l'as fait remarquer, les physiciens utilisent, à tord, le même vocabulaire pour 2 choses différentes (pas trois).

Moi j'en vois 3 : Comme tu l'indiques , 2) le jeu de matrices, 3)l'espace sur lequel elles agissent, (espace de représentation) mais aussi, 1)le morphisme qui fait correspondre le jeu de matrice au groupe original. Mais il est vrai que c'est plutôt en math qu'on voit l'utilisation de ce vocabulaire, qui fait partie de la définition originale des représentations de groupes.

En tout cas merci pour tous tes éclaircissements. Je crois que je progresse un peu parce que maintenant je comprends ce que tu dis

[LoicM]

II est courant de dire qu'une particule élémentaire est une representation irréductible d'un groupe. Par exemple Le neutron est une representation irréductible du groupe isospin. Il faudrait dire que neutron et le proton sont les 2 composantes d'un vecteur qui engendre la representation 1/2 du groupe SU(2) d'isospin.

Je dis que je comprends... mais en relisant je vois qu'il y a encore des zones d'ombre. J'aurais dit que le neutron et le proton étaient deux vecteurs (états) de base de l'espace de représentation de la représentation 1/2 (de dimension 1/2+1/2=2) du groupe d'Isospin (multiplet 1/2 d'isospin)? C'est peut-être une question de dual?

[mariposa]

Moi j'en vois 3 : Comme tu l'indiques , 2) le jeu de matrices, 3)l'espace sur lequel elles agissent, (espace de représentation) mais aussi, 1)le morphisme qui fait correspondre le jeu de matrice au groupe original. Mais il est vrai que c'est plutôt en math qu'on voit l'utilisation de ce vocabulaire, qui fait partie de la définition originale des représentations de groupes.

En tout cas merci pour tous tes éclaircissements. Je crois que je progresse un peu parce que maintenant je comprends ce que tu dis

1 et 2 c'est la même chose sauf que 1 c'est le langage mathématicien tandis que 2 c'est le langage des physiciens.

[mariposa]

Je dis que je comprends... mais en relisant je vois qu'il y a encore des zones d'ombre. J'aurais dit que le neutron et le proton étaient deux vecteurs (états) de base de l'espace de représentation de la représentation 1/2 (de dimension 1/2+1/2=2) du groupe d'Isospin (multiplet 1/2 d'isospin)? C'est peut-être une question de dual?

C'est çà.