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Représentation d'un espace à N dimensions



  1. #1
    Penangol

    Représentation d'un espace à N dimensions


    ------

    Après avoir regardé les emissions sur les cordes qui sont passées sur ARTE, j'ai rencontré un probleme:
    la difficulté de se représenter des espaces à plus de 3 dimensions.

    L'idée que j'ai eu pour réussir à peu près à comprendre est la suivante:
    Si l'on considère un espace à une dimension (une droite), un point peut être défini par une seule coordonnée.
    Si l'on ajoute à seconde dimension, et que l'on ne considère qu'une seule coordonnée (donc l'axe des abcisses), tous les points ayant une ordonnée différente de 0 sont invisibles.
    De la meme manière, dans un repère à 3 dimensions, la majorité des points ne sont pas perceptibles si l'on ne considère que ceux ayant une norme de 0
    etc ...

    Comme vous le voyez, c'est pas très clair, ni très explicite

    Comment concevez vous les espaces à plus de 3 (mettons 4) dimensiosn ?

    -----

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  3. #2
    BioBen

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    4 dimensions d'espace c'est dur ...
    3 dimensionsd'espace et 1 de temps c'est faisable snas trop de problème.
    Se représenter N dimensions d'espace avec N>3 ca me semble difficile...pas vous ?

  4. #3
    Floris

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Bonsoir, j'ai hélas raté le dernier épisode.
    Alors pour te répondre, enfin je vais essayer du moins.
    imagine que tu lence un cailloux, celui ci aura une direction donné n'es pas. Tu peut t'amuser à changer la direction du lancée de cailloux. Simplement cet objer ne pourra étre en mouvement que dans certaines coordonnées. Mais il peut exister des mouvement dans des coordonnées différentes que ne peut prendre ton objet.
    @+
    flo

  5. #4
    charly

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Pour me representer les dimensions supérieur, moi , je m'imagine vivant dans une feuille de papier et voulant en sortir ( ou dans un filme ) c'est pratique

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Floris

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Pour ces les représenter? Hum, sa serai interessant de savoir comment un objet peut t'il se déplacer dans plusieurs dimension à la fois alors que certaines ne lui sont pas possible.

  8. #6
    Korgox

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Le concept de dimension se "saisit" assez facilement en partiquant un peu d'algèbre linéaire, finalement t'arrive à oublier l'idée de te représenter pseudo-geométriquement des dimensions supérieures à 3....

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  10. #7
    Floris

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    bonsoir, korgox, pourrais tu me montrer quelque exemple, comment sa se présente?
    cordialement
    flo

  11. #8
    martini_bird

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Salut,

    on peut aussi voir les choses sous des angles différents.
    Typiquement, pour ceux qui ont goûté aux joies du dessin industriel, deux vues 2D suffisent pour se représenter un objet en 3D.

    Ou encore utiliser les couleurs: pour visualiser une fonction de C dans C, on peut regarder le module d'une part et l'argument d'autre part sur deux dessins 2D (cf. mathworld ).

    Cordialement.

  12. #9
    PHENIXian

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Oui, le gros truc génial je trouve c'est quand on commence à te parler de dimension >4, voire de dimensions non entières.... Le tout est d'accepter ce concept purement mathématique sans chercher à se le représenter.

    Oui ca parait peu évident, mais on s'y fait
    (moi les dimensions non entières ca me fait tripper )
    "All your base are belong to us"
    OLFQJTLM

  13. #10
    MysticBlade

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    On peut faire aussi un peu de triche. A un point fixe dans un repère en 3D on peut associer un vecteur, avec comme 4,5,6 èmes coordonnées les coord du vecteur. Oui on peut atteindre le même point (pointé par plusieurs vecteurs mais chaque "trajets" (6 coord) est unique, on peut aussi rajouter des couleurs un courbure aux "vecteurs" (qui n'en sont plus, le rayon de courbure sera la 7ème coordonnée par exemple).

    Multiplions ça à l'infini (chaque point pointé par un "vecteur" possède un sous-vecteur qui a pour origine ce point et la couleur aide à ne pas confondre les "trajets") et zou, on a un espace à N dimensions.

  14. #11
    Epikurieu

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    J'ai une autre idée, inspirée par Martini_Bird.

    Une ligne (espace à une dimension) est une superpostion de points (espace à zero dimensions).

    Un plan (espace à 2 dimensions) est la superposition de lignes (espace à 1 dimensions).

    Un volume (espace à 3 dimensions) est la superposition de plans (espace à 2 dimensions)

    De même que dans un volume on peut observer les tranches (plans) pour appréhender l'ensemble (un peu comme dans des coupes du cerveau), on pourrait visionner des "tranches" de volumes pour voir un espace à 4 dimensions. Avec ce système, on pourrait "appréhender" des espaces à N dimensions ( un espace à 3 dimensions est aussi une superposition de lignes, tout comme une superposition de points...)
    Le contraire de l'égoïsme (du bien pour soi), c'est la cruauté (du mal pour les autres)

  15. #12
    Korgox

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Citation Envoyé par Epikurieu
    De même que dans un volume on peut observer les tranches (plans) pour appréhender l'ensemble (un peu comme dans des coupes du cerveau), on pourrait visionner des "tranches" de volumes pour voir un espace à 4 dimensions. Avec ce système, on pourrait "appréhender" des espaces à N dimensions ( un espace à 3 dimensions est aussi une superposition de lignes, tout comme une superposition de points...)
    Oui, mais c'est malheureusement pas très très efficace... du moins pour moi En superposant des images, reconstruire un modèle 3D est déjà pas simple mais c'est faisable parce que l'objet que ça crée est imaginable. En superposant des volumes, je vois pas très bien la forme que ça crée. Mais l'idée est bien, elle peut même marcher si l'objet est simple et qu'au lieu de voir toutes les vues en même temps, on ait un programme qui permette de se déplacer continuement le long du 4ème axe. A propos l'objet qu'on veut représenter en 4 dimensions dans un ordinateur doit être composé de volumes au lieu de triangles ?

    Presque autant inutile mais qui nécessite moins de vues c'est de projeter l'objet 4D plusieurs fois sur l'espace 3D selon différents axes... après il faut être surentraîné pour y piger qqch.

    Floris > J'arrive à considérer des espaces à n dim, la projection d'un espace à n dimensions sur des espaces plus petits, p.ex. Par contre j'arrive pas du tout à me représenter une forme non 3D...

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  17. #13
    Madarion

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    écran de cinéma

  18. #14
    Korgox

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Citation Envoyé par Madarion
    écran de cinéma
    12345678* ?


    *il faut mettre au moins 10 caractères

  19. #15
    Madarion

    Wink Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Oki, alors je rajoute un truc du genre :

    1) sous forme de Légende :
    Un peut comme quelque chose en 3D mais projeté en 2D dans un autre monde en 3D.


    2) sous forme d'algèbre :

    1D+2D+1D = 4D
    ---- -----
    .3D . .3D

    Donc deux univers 3D. peuvent ètres imbriqués à condition de ne pas avoir toutes les dimentions en commun.

    C'est un peut plus clair ?
    Dernière modification par Madarion ; 10/03/2005 à 16h51.

  20. #16
    Magellan

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Citation Envoyé par Epikurieu
    J'ai une autre idée, inspirée par Martini_Bird.

    Une ligne (espace à une dimension) est une superpostion de points (espace à zero dimensions).

    Un plan (espace à 2 dimensions) est la superposition de lignes (espace à 1 dimensions).

    Un volume (espace à 3 dimensions) est la superposition de plans (espace à 2 dimensions)

    De même que dans un volume on peut observer les tranches (plans) pour appréhender l'ensemble (un peu comme dans des coupes du cerveau), on pourrait visionner des "tranches" de volumes pour voir un espace à 4 dimensions. Avec ce système, on pourrait "appréhender" des espaces à N dimensions ( un espace à 3 dimensions est aussi une superposition de lignes, tout comme une superposition de points...)

    "Le contraire de l'égoïsme (du bien pour soi), c'est la cruauté (du mal pour les autres)"
    Salut Epikurieu !

    Je crois que tu connais déjà la représentation "habituelle" (çàd souvent utilisée) d'un espace 4D avec l'exemple de la fourmi qui se promène tout le long de l'épaisseur d'un câble 3D, elle tourne en rond selon une 4° D.

    Bref, souvent, les espaces à n D spatiales où n > 3 font appel à des Dim de petites tailles, des dim renfermées sur elles-mêmes.

    Mais peut-on aussi considérer ces dim supplémentaires comme englobant l'espace 3D que l'on connaît (analogie à une bibliothèque contenant des rayons contenant des livres contenant des pages contenant des mots contenant des lettres ou caratères) ????

    Quid ???

    Pour ta maxime, ta définition de la cruauté est un double contraire (contraire du bien + contraire de soi), c'est un peu comme une double négation, "l'effet s'annule" ; le vrai contraire est un simple contraire : l'élément principal est invariant, ex : le contraire d'un son est un silence, mais le contraire d'un son agréable est un son désagréable pas un silence désagréable)....

    Ta maxime ne manque pas d'humour et fait réfléchir, c'est le principal....

  21. #17
    EspritTordu

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Ne peut-on pas considérer la quatrième dimension comme le paramètre particulier d'un certain dynamisme du volume représenté par les trois autres dimensions ?

  22. #18
    mariposa

    Exclamation Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Citation Envoyé par BioBen
    4 dimensions d'espace c'est dur ...
    3 dimensionsd'espace et 1 de temps c'est faisable snas trop de problème.
    Se représenter N dimensions d'espace avec N>3 ca me semble difficile...pas vous ?
    Pour comprendre les dimensions en physique:

    une particule dans l'espace a 3 dimensions est representé par 3 coordonnées. Si la particule evolue avec le temps elle dessine une trajectoire.

    maintenant tu peux representer la vitesse d'une particule par 3 coordonnées dans un repere de vitesses a 3 dimensions. La encore avec le temps la particule decrit une trajectoire dans l'espace des vitesses.

    Maintenant tu peux construire un espace a 6 dimensions 3+3 où une particule est caracterisé par 6 nombres: 3 pour la position, 3 pour la vitesse. dans cet espace a 6 dimensions la particule décrit une trajectoire.

    Ainsi tu ne peux visualiser l'espace a 6 dimensions mais tu peux le concevoir et le manipuler avec des mathématiques.

    La physique c'est ca il faut trouver des espaces qui décrivent les phénomènes.

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  24. #19
    martini_bird

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Citation Envoyé par EspritTordu
    Ne peut-on pas considérer la quatrième dimension comme le paramètre particulier d'un certain dynamisme du volume représenté par les trois autres dimensions ?
    Salut, tu penses à quoi en particulier?

  25. #20
    mariposa

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Citation Envoyé par Magellan
    Bref, souvent, les espaces à n D spatiales où n > 3 font appel à des Dim de petites tailles, des dim renfermées sur elles-mêmes.

    Mais peut-on aussi considérer ces dim supplémentaires comme englobant l'espace 3D que l'on connaît (analogie à une bibliothèque contenant des rayons contenant des livres contenant des pages contenant des mots contenant des lettres ou caratères) ????
    Non tout simplement Ces 6 dimensions suplementaires sont extérieures aux trois autres de la même façon que dans l'espace ordinaire la troisième dimension est extérieure aux 2 autres.

  26. #21
    Magellan

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Citation Envoyé par mariposa
    Pour comprendre les dimensions en physique:

    une particule dans l'espace a 3 dimensions est representé par 3 coordonnées. Si la particule evolue avec le temps elle dessine une trajectoire.

    maintenant tu peux representer la vitesse d'une particule par 3 coordonnées dans un repere de vitesses a 3 dimensions. La encore avec le temps la particule decrit une trajectoire dans l'espace des vitesses.

    Maintenant tu peux construire un espace a 6 dimensions 3+3 où une particule est caracterisé par 6 nombres: 3 pour la position, 3 pour la vitesse. dans cet espace a 6 dimensions la particule décrit une trajectoire.

    Ainsi tu ne peux visualiser l'espace a 6 dimensions mais tu peux le concevoir et le manipuler avec des mathématiques.

    La physique c'est ca il faut trouver des espaces qui décrivent les phénomènes.
    Salut mariposa.

    Simple question de néophyte : peut-on faire une dimension avec de la vitesse (qui est un rapport de/dt) ???

    Les 3 dimensions de tes 3 vitesses, "ton repère de vitesse", c'est bien la vitesse de la particule dans chaque coordonnée spatiale(largeur,longueur et hauteur)????

    En fait, c'est 3 dim spatiales et 3 dim dynamiques qui "suivent" les dim spatiales, mais la résultante de ces 3 dim dynamiques donnent le trajet final dans l'espace 3D....

    Ai-je tort ?????

  27. #22
    spi100

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Pour se réprésenter des espaces de dimensions N, les statiticiens utilisent la méthode ACP (Analyse en Composantes principales). Ca consiste à chercher le plan, tel que si l'on projette l'objet de dimension N sur ce plan, la topologie de l'objet soit respectée au maximum.

    Dire que la topologie doit être respectée, ça veut dire que si deux points sont voisins dans l'espace de dimension N, ils le restent après projection.

    Il y a des méthodes plus sophistiquées, qui utilisent des surfaces courbes plutot que des plans, ou des réseaux de Kohonen.

  28. #23
    EspritTordu

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    A vrai dire, j'ai lu qu'Einstein a introduit le temps comme dimension. Mais lorsque que l'on parle de la distance d'une étoile, on utilise l'année-lumière. Hors la notion de temps et de distance, à cette échelle, se confond, non?

  29. #24
    ClaudeH

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Bonjour,

    Lorsque nous parlons de plusieurs dimensions, il me semble difficile d'utiliser le mot "espace" pourtant très pratique.
    L'espace a été defini comme tridimensionnel + une notion de temps déjà peu évidente à concevoir en tant que dimension par rapport au sens ethimologique du mot.(espace-temps).
    Si je ne me trompe pas certains univers mathématiques admettent un "espace" à N dimensions.
    Mais dans la réalité des choses ce n'est pas aussi évident que ça.
    - La "géometrie" plane? Combien de dimensions.
    - Le "point", Combien de dimension.
    - Une ombre..Etc..?

    Merci..

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  31. #25
    martini_bird

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    On s'éloigne un peu du sujet, mais bon.

    Sur la route on voit parfois des pancartes du style "prochaine pompe à 10 minutes". La distance est indiquée en terme de temps, mais ça ne pose pas puisqu'il suffit de prendre la vitesse moyenne des autos pour déduire la distance à parcourir.

    Or (selon Einstein) il existe une vitesse fixe et absolue, la vitesse de la lumière dans le vide: le temps peut donc s'exprimer en terme de distance et réciproquement.

  32. #26
    martini_bird

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Citation Envoyé par ClaudeH
    - La "géometrie" plane? Combien de dimensions.
    Deux dimensions (par exemple: largeur+longueur)
    Citation Envoyé par ClaudeH
    - Le "point", Combien de dimension.
    Un point est de dimension nulle. Mais un point n'existe que dans les mathématiques.

    Citation Envoyé par ClaudeH
    - Une ombre..Etc..?
    Sa dimension est comprise entre 1 et 2, tout dépend de ce qui projète l'ombre.
    A noter que la dimension de Hausdorff généralise la notion de dimension courante (en générale nombre de coordonnées).

  33. #27
    ClaudeH

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Re..
    Tout a fait d'accord ..
    Lorsque je parlais du temps, je faisais référence à sa conception, non à sa mesure..
    Et dans mon post concernant les dimensions, j'évoque la même chose..
    Amicalement+++

  34. #28
    t.m

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    bonjour,un point a 3dimensions peut etre logique pour comprendre les 11 dimensions.

  35. #29
    ClaudeH

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    Bonjour..
    T.M

    Pourrais -tu déveloper??
    Merci.

  36. #30
    phenix15b75

    Re : Représentation d'un espace à N dimensions

    En partant d'un espace à 2 dimensions, sachant que la troisième dimension est elle aussi spatiale, on peut se la représenter, sur une feuille (donc en 2D) par par exemple une coloration. Ainsi, plus la couleur vire au rouge, plus la l'altitude est élevée. Le blanc correspond à la neutralité et le bleu aux négatifs. Ainsi on représente un espace 3D en 2D. Les autres types de dimensions (le temps biensur mais surtout les dimensions que l'on ne "connait" pas, c'est à dire dont nousn'avons aucune représentation dans notre univers classique ..)

    Mais je pense que les propriété d'objet (couleur par exemple) peuvent servir d'"analogie" pour représenter des dimensions. Un peu comme en chromodynamique quantique ou l'on utilise les couleurs primaires et complémentaire pour représenter des charges non linéaires et simplifier les équations.

    Non ?
    phenix

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