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Système de deux points matériels



  1. #1
    Chiara26

    Système de deux points matériels


    ------

    Bonjour à tous. J'ai vraiment du mal à voir comment résoudre cet exercice sur un problème à deux corps.


    ** Enoncé

    Deux masses m et m/3 se trouvant aux points A et B sont reliées par un ressort de masse négligeable, de raideur k et de longueur à vide L0. Ce système peut glisser sans frottement le long d'un axe (O,ex) incliné d'un angle alpha par rapport à l'horizontale, fixe dans le référentiel galiléen Rg lié au repère (O,ex,ey,ez).
    A t=0, le point A se trouve confondu avec le point O, le ressort ayant alors un allongement x0; on abandonne à cet instant le système, sans vitesse initiale.
    Il s'agit de déterminer, dans le référentiel Rg, le mouvement de deux points matériels A et B.
    Pour cela, nous allons décomposer le mouvement en deux étapes.

    2. Etude des mouvements de A et B dans R* par réduction du système des deux points {A,B} à celui d'un mobile réduit fictif M
    a) Ecrire l'équation du mouvement du point M, mobile réduit de masse µ.
    b) Résoudre l'équation
    c) En déduire les positions A et B dans R*

    3. Conclusion
    Déterminer les positions de A et B dans Rg au cours du temps.

    ** Réponse

    BDF ext: PA et RA
    PB et RB
    ressort -> P et R négligeables
    BDF int: F2 = - k (L-L0)ex = -F1

    2.a) Dans un premier temps, il est nécessaire de démontrer que le référentiel barycentrique est galiléen ?
    Mais le soucis, c'est que je ne trouve pas qu'il soit galiléen.
    En effet, j'applique le TRC, or Fext ne vaut pas le vecteur nul. Par la suite, on a vG qui n'est pas constante, donc on ne peut avoir R* galiléen.

    Car si vG était constante, par la suite on pourrait utiliser le TEM afin de trouver l'équation du mouvement, mais vu que vG n'est pas constante ...


    Si vous avez un conseil, merci à vous !!


    ps: ne sachant représenter les vecteurs, je les symbolise par une écriture en italique.

    -----

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  3. #2
    Chiara26

    Re : Système de deux points matériels

    Ou suffit-il uniquement de tenir en compte des forces d'inerties supplémentaires ?

  4. #3
    Jeanpaul

    Re : Système de deux points matériels

    Il y a plein de façons de s'y prendre, la plus élégante est par le lagrangien mais tu ne connais probablement pas.
    Une autre façon est d'écrire l'énergie cinétique + potentielle de l'ensemble en fonction de x1 et x2, positions des 2 masses. On fait alors un changement de variables en introduisant xG = (m1 x1 + m2 x2)/(m1 + m2) et X = x2 - x1
    On voit alors l'énergie totale se séparer en un terme ne dépendant que de xG et un autre ne contenant que X.
    Cela signifie que le mouvement se sépare en une somme d'un mouvement de G uniformément accéléré (pas de référentiel galiléen en effet) et d'un mouvement de X oscillant.
    Ca permet d'écrire la fonction xG en fonction de t et X fonction de t.

    Une 3ème manière serait de dire que le référentiel de G est uniformément accéléré et de raisonner dans ce référentiel, ce qui oblige à introduire des forces d'inertie. Pas le plus simple.

  5. #4
    Chiara26

    Re : Système de deux points matériels

    Merci beaucoup !

    Je vais en effet le résoudre par cette méthode, car en tenant compte des forces d'inerties supplémentaires ça donnait lieu à des calculs assez fastidieux (ce qui laissait sous entendre une autre méthode en effet).

    Et pour ce qui est du Lagrangien, je ne le connais pas encore ... mais j'ai encore le temps pour ça !

    Encore merci !!

  6. A voir en vidéo sur Futura

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