Système de deux points matériels

[invite2a52e57e]

Bonjour à tous. J'ai vraiment du mal à voir comment résoudre cet exercice sur un problème à deux corps.


** Enoncé

Deux masses m et m/3 se trouvant aux points A et B sont reliées par un ressort de masse négligeable, de raideur k et de longueur à vide L₀. Ce système peut glisser sans frottement le long d'un axe (O,e_x) incliné d'un angle alpha par rapport à l'horizontale, fixe dans le référentiel galiléen R_g lié au repère (O,e_x,e_y,e_z).
A t=0, le point A se trouve confondu avec le point O, le ressort ayant alors un allongement x₀; on abandonne à cet instant le système, sans vitesse initiale.
Il s'agit de déterminer, dans le référentiel R_g, le mouvement de deux points matériels A et B.
Pour cela, nous allons décomposer le mouvement en deux étapes.

2. Etude des mouvements de A et B dans R* par réduction du système des deux points {A,B} à celui d'un mobile réduit fictif M
a) Ecrire l'équation du mouvement du point M, mobile réduit de masse µ.
b) Résoudre l'équation
c) En déduire les positions A et B dans R*

3. Conclusion
Déterminer les positions de A et B dans R_g au cours du temps.

** Réponse

BDF ext: P_A et R_A
P_B et R_B
ressort -> P et R négligeables
BDF int: F₂ = - k (L-L₀)e_x = -F₁

2.a) Dans un premier temps, il est nécessaire de démontrer que le référentiel barycentrique est galiléen ?
Mais le soucis, c'est que je ne trouve pas qu'il soit galiléen.
En effet, j'applique le TRC, or F_ext ne vaut pas le vecteur nul. Par la suite, on a v_G qui n'est pas constante, donc on ne peut avoir R* galiléen.

Car si v_G était constante, par la suite on pourrait utiliser le TEM afin de trouver l'équation du mouvement, mais vu que v_G n'est pas constante ...


Si vous avez un conseil, merci à vous !!


ps: ne sachant représenter les vecteurs, je les symbolise par une écriture en italique.
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[invite2a52e57e]

Ou suffit-il uniquement de tenir en compte des forces d'inerties supplémentaires ?

[invitea3eb043e]

Il y a plein de façons de s'y prendre, la plus élégante est par le lagrangien mais tu ne connais probablement pas.
Une autre façon est d'écrire l'énergie cinétique + potentielle de l'ensemble en fonction de x1 et x2, positions des 2 masses. On fait alors un changement de variables en introduisant xG = (m1 x1 + m2 x2)/(m1 + m2) et X = x2 - x1
On voit alors l'énergie totale se séparer en un terme ne dépendant que de xG et un autre ne contenant que X.
Cela signifie que le mouvement se sépare en une somme d'un mouvement de G uniformément accéléré (pas de référentiel galiléen en effet) et d'un mouvement de X oscillant.
Ca permet d'écrire la fonction xG en fonction de t et X fonction de t.

Une 3ème manière serait de dire que le référentiel de G est uniformément accéléré et de raisonner dans ce référentiel, ce qui oblige à introduire des forces d'inertie. Pas le plus simple.

[invite2a52e57e]

Merci beaucoup !

Je vais en effet le résoudre par cette méthode, car en tenant compte des forces d'inerties supplémentaires ça donnait lieu à des calculs assez fastidieux (ce qui laissait sous entendre une autre méthode en effet).

Et pour ce qui est du Lagrangien, je ne le connais pas encore ... mais j'ai encore le temps pour ça !

Encore merci !!

[A voir en vidéo sur Futura]