Dynamique: matrice d'inertie

[invite2cc04abc]

Bonjour à tous

J'éprouve quelques difficultés à comprendre le principe du calcul des moments d'inerties pour en établir la matrice d'inertie d'un système.

Cela concerne plus particulièrement le choix de l'élément d'intégration dm.

Je prends un exemple simple: un cylindre plein et homogène. Pourquoi ne peut ont pas prendre un élément d'intégration cylindrique de rayon constant que l'on ferait varier sur toute la longueur, comme on le ferait pour calculer le volume du cylindre par intégrale, lorsque l'on cherche à calculer C ?

merci d'avance
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[invitea3eb043e]

Mais on peut faire ce que tu dis, c'est même un moyen élégant de s'en sortir.
Seulement ça donnera l'intégrale de (x² + y²) dm. Tu peux ensuite en tirer l'intégrale de x² dm en divisant par 2.

[invite2cc04abc]

Bah justement en faisant comme ça je n'obtient pas les bons coefficients devant mR² et mh²
( l'axe des z est vertical ascendant), et je n'ai pas trop compris les explications du profs quand il m'a dit que cet élément d'intégration ne convenait pas :/

[invitea3eb043e]

Il y a 2 cas. D'abord la rotation autour de Oz, l'élément d'intégration est 2 pi r rho dr qui joue le rôle de dm. On multiplie par r² et ça donne l'intégrale de x²+y² ou bien l'inertie autour de Oz. La matrice d'inertie est, elle, composée des intégrales de x², y² et z² dm sur la diagonale, et 0 ailleurs par symétrie.
Ensuite il faut calculer l'intégrale de z² et alors on prend comme élément de masse dm=pi.R². rho. dz.
Pour le moment d'inertie autour de Ox, il faut ajouter l'intégrale en y² et l'intégrale en z².

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2cc04abc]

Bonjour
Je réitère ma question car je n'arrive pas à comprendre l'erreur du raisonnement. Cette fois je vous propose un exemple pour le calcul du centre de gravité d'un quart de disque. En comprenant l'erreur de mon raisonnement j'arriverai peut être à bien définir mon dm pour les matrices d'inertie.

Alors le but est de calculer le centre de gravité d'un quart de disque

Mon raisonnnement est le suivant:

Je choisit une part de disque car le rayon est constant. mon élément d'intégration est donc dm = ρR²dθ
Si je fais varier θ de π/4 à 3π/4 je balaie donc bien la surface entière.

en effectuant l'intégration pour le centre de gravité avec la coordonnée y ( celle selon x est nulle compte tenue de la symétrie)

je trouve Yg = 4racine(2)R/π

Or ce résultat est faux. Il manque un facteur 1/3 que l'on obtient en choisissant dm = ρrdrdθ . Il faut donc trouver yg=4racine(2)R/3π

Je ne comprends donc pas mon erreur dans le choix du dm. J'ai eu le même problème dans le calcul des matrices d'inerties. Je trouvais le résulat final avec un coefficient faux. Si vous pourriez m'expliquer pourquoi mon raisonnement est faux et le corriger, cela m'aiderait beaucoup.

merci d'avance

[invitea3eb043e]

Sûr que c'est faux car si tu prends un élément d'intégration r² d(théta) tu supposes que y est constant tout le long de l'arc de cercle, ce qui n'est pas vrai.
Il faut prendre comme élément de surface r dr d(théta) et prendre y² comme variable r² sin²(théta).
Ensuite un intégrale double, pas sorcière d'ailleurs.

[invite2cc04abc]

Bonsoir merci de votre réponse
Mais en posant dm = ρR²dθ , c'est R que je suppose constant , ce qui est le cas tout le long de l'arc n'est ce pas ? ( je sais que c'est faux mais justement j'attends d'être corrigé pour bien cibler mes erreurs )

Encore une question en relation avec ces matrices d'inerties,

Lorsque l'on calcule une matrice par rapport à l'origine du repère, et qu'on cherche un moment d'inertie autour d'un axe à un point quelconque, dans mon cours on dit qu'il faut procéder en 2 temps : d'abord transposer au centre d'inertie et après au point, en utilisant Huygens.

Mais je pensait qu'on ne pouvais pas utiliser Huygens pour trouver la matrice au centre d'inertie à partir d'un autre point?

[invitea3eb043e]

Mais en posant dm = ρR²dθ , c'est R que je suppose constant , ce qui est le cas tout le long de l'arc n'est ce pas ?

Pas d'objection à ce que tu écrives cela mais c'est quand tu vas multiplier par y ou y² et intégrer que ça va devenir chaud.
Ensuite pour calculer la matrice d'inertie on prend l'origine où on veut et ça marche. Simplement faire le calcul en G permet souvent de profiter des symétries et ça allège les calculs.