Relativité restreinte, vitesse à deux composantes

[EspritTordu]

Bonjour,

Souvent on présente la relativité restreinte suivant le schéma d'un reférentiel R' ayant une vitesse V par rapport à un autre R. La vitesse V est toujours prise comme ayant seulement une composante sur X.

On peut envisager alors un R' qui n'a pas un mouvement parallèle à R mais suivant un angle de 45° de manière à avoir nettement pour V deux composantes sur X et Y?

Dans la mesure que la vitesse V est primordiale car elle définie le facteur gamma à la base de la relativité en question, comment alors calculer ce dernier si V à deux dimensions? Cela change-t-il quelque chose pour le gamma, pour les distances?

Merci d'avance pour votre aide!
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[cerfa]

Bonjour

Le calcul de ne dépend bien évidemment pas de l'orientation des axes des deux référentiels ! Seule compte la norme du vecteur vitesse de R' par rapport à R. Si cette vitesse se décompose en et on a et .

En revanche il faudra dans la suite, lors de l'utilisation des transformations de Lorentz bien faire attention aux projections des grandeurs manipulées, car l'axe portant la vitesse de R' par rapport à R joue bien sûr un rôle privilégié.

Cordialement

[EspritTordu]

Cela signifie-t-il que désormais on a :
t=gamma(V)(t'+x'||V||/c)
x=gamma(V)(x'+vx*t')
y=gamma(V)(y'+vy*t')
z=z'
?

En revanche il faudra dans la suite, lors de l'utilisation des transformations de Lorentz bien faire attention aux projections des grandeurs manipulées, car l'axe portant la vitesse de R' par rapport à R joue bien sûr un rôle privilégié

Que voulez-vous dire?

[cerfa]

Cela signifie-t-il que désormais on a :
t=gamma(V)(t'+x'||V||/c)
x=gamma(V)(x'+vx*t')
y=gamma(V)(y'+vy*t')
z=z'
?



Que voulez-vous dire?

Ben non justement et c'était l'objet de ma remarque.

Si tu veux on va faire un exemple pas trop compliqué.

Soient les deux référentiels R et R'.

J'associe à chacun de ces référentiels un système d'axes Oxyz et O'x'y'z' tels que Ox et O'x' restent parallèles entre eux au cours du mouvement, idem pour Oy et O'y' d'une part et pour Oz et O'z' d'autre part.

A t=0, O et O' sont confondus.

Je suppose que R' est en translation rectiligne uniforme par rapport à R et je note v0x et v0y les composantes du vecteur vitesse correspondant dans la base Oxyz.

On se ramène au cas classique en faisant subir une rotation aux deux systèmes d'axes autour de Oz et O'z' respectivement, de manière à ce Ox et O'x' soit amenés sur la droite OO'. Cela permet de définir deux systèmes d'axes OXYZ et O'X'Y'Z' pour lesquels on est exactement dans la configuration classique.

On a alors avec comme expliqué dans la réponse précédente.

Pour les coordonnées X'Y'Z' et XYZ on a la transformation de Lorentz habituelles :









Maintenant il s'agit de revenir aux corrdonnées en x'y'z' et xyz.

On peut déja noter que pour notre cas particulier Z=z et Z'=z'.

Pour x et y c'est plus compliqué. Si on note l'angle de rotation utilisé pour amener Ox sur OX, on a



et



Et de même





On peut noter que l'angle est entièrement déterminé par l'angle que fait le vecteur vitesse de R' dans R et l'axe Ox. On a alors et

Il n'y a plus qu'à tout reporter dans les équations précédentes










soit










Il ne reste plus qu'à extraire et séparément, ce qui donne par exemple :



Même travail avec x'...

Bien sûr il y a plus élégant pour arriver au résultat (matrice de chagement de base). Mais dans tous les cas tu comprends pourquoi on choisit en général la configuration "classique".

Cordialement
PS : J'ai pu me planter dans le détails des formules ( pas facile de calculer en 'live' en tex dans la petite fenêtre d'édition ) mais pas sur le fond je pense.

[A voir en vidéo sur Futura]

[EspritTordu]

Oui effectivement ça se complique beaucoup pour traduire une chose assez simple au fond...
Comment cela marche avec des matrices, s'il vous plaît?

Je suppose que R' est en translation rectiligne uniforme par rapport à R et je note v0x et v0y les composantes du vecteur vitesse correspondant dans la base Oxyz

Juste une question qui sort un peu du sujet : Si v0x et Voy sont par rapport à R, en relativité, est-ce que les vitesses sont encore identiques en valeur absolue, vues depuis R' ?

[cerfa]

Oui effectivement ça se complique beaucoup pour traduire une chose assez simple au fond...
Comment cela marche avec des matrices, s'il vous plaît?

Désolé, je ne prends pas le temps de répondre à ça, c'est de l'algèbre de base...

Juste une question qui sort un peu du sujet : Si v0x et Voy sont par rapport à R, en relativité, est-ce que les vitesses sont encore identiques en valeur absolue, vues depuis R' ?

Je ne comprends pas la question ! v0x et v0y sont les composantes du vecteur vitesse de O' dans R par exemple. Dans R' O' est immobile et v0x'=v0y'=0. Mais ce n'est peut-être pas la question.

Par ailleurs de manière générale il existe une relation de composition des vitesses qui ne dit certainement pas que les vitesses sont identiques en valeur absolue dans les deux référentiels !!!

Cordialement

[EspritTordu]

Désolé, je ne prends pas le temps de répondre à ça, c'est de l'algèbre de base...

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Je ne comprends pas la question ! v0x et v0y sont les composantes du vecteur vitesse de O' dans R par exemple. Dans R' O' est immobile et v0x'=v0y'=0. Mais ce n'est peut-être pas la question.

Par ailleurs de manière générale il existe une relation de composition des vitesses qui ne dit certainement pas que les vitesses sont identiques en valeur absolue dans les deux référentiels !!!

Non effectivement ce n'est pas cela la question, je me suis mal exprimé : si v0x et v0y sont les vitesses de O' dans R, alors (en valeur absolue) a-t-on la vitesse de O identique vue depuis R'?
Pourquoi? S'agit-t-il d'un postulat de base de la relativité ou bien cela s'appuie sur quelque chose de plus argumenté?


En Relativité restreinte, on peut avoir trois dimensions, en comprenant z aussi, c'est-à-dire, que O' aurait une vitesse avec trois composantes... s'agit-il toujours de la même méthode pour y parvenir? Des changements de repères en 3D? ... j'ose à peine savoir où cela mène pour déterminer y' alors en calcul classique!