[Méca du solide] Système poulie-ressort-masse

[citron_21]

Bonjour à tous,
j'ai un exercice particulièrement long à résoudre, et qui me pose un peu problème. Le but de l'exercice est de trouver une équation différentielle en z, qui régit le mouvement du solide.

Alors, j'ai d'abord étudié un à un chacune des parties du système, tout d'abord la masse, puis la poulie. Pour cela j'ai appliqué le théorème du centre de masse (pour la masse et la poulie) et le théorème du moment cinétique (pour la poulie).
De plus, il est indiqué que le mouvement du fil sur la poulie se fait sans frottement aux 2 points de contact.

Ainsi, cela me donne 5 équations, dans lequel j'ai 5 inconnues + 2 autres (qui à mon avis, ne sont pas inconnues).
Il s'agit de la condition de mouvement sans frottement. On sait donc que la vitesse du point de la poulie et du point du fil au contact sont les mêmes. On arrive facilement à déterminer la vitesse du point de la poulie en contact avec le fil, en fonction de la vitesse du barycentre C de la poulie et de sa vitesse angulaire. Mais peut-on connaitre la vitesse du point du fil au contact avec la poulie ? A-t-on le droit de dire qu'elle est nulle ?

Merci d'avance pour toute explication !
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[LPFR]

Bonjour.
En règle générale, quand on se trouve dans un tel pétrin, c'est qu'on n'a pas choisi les bonnes variables.
Ça aurait été bien que vous nous donniez l'énoncé du problème. Vous n'avez pas dit s'il faut tenir compte du moment d'inertie de la poulie ou non, ni s'il faut tenir compte des frottements.

Votre problème n'a qu'un seul degré de liberté: la position de la masse.
Il faut tout exprimer en fonction de cette seule variable.
Par exemple si la masse monte de 'h', le centre de la poulie monte de h/2. Donc si la vitesse de la masse est 'v', celle du centre de la poulie est v/2 et même chose pour l'accélération. Et la vitesse angulaire de la poulie est v/(2R), etc., etc.
Au revoir.

[zoup1]

Il s'agit de la condition de mouvement sans frottement.

Ce serait pas plutot condition de mouvement sans glissement ?

On sait donc que la vitesse du point de la poulie et du point du fil au contact sont les mêmes. On arrive facilement à déterminer la vitesse du point de la poulie en contact avec le fil, en fonction de la vitesse du barycentre C de la poulie et de sa vitesse angulaire. Mais peut-on connaitre la vitesse du point du fil au contact avec la poulie ? A-t-on le droit de dire qu'elle est nulle ?

Je suis pas sur de comprendre ce que tu dis, mais j'ai l'impression que la vitesse la vitesse du point du fil au contact avec la poulie est égale à la vitesse linéaire du point de la poulie correspondant... la vitesse de celui là ne doit pas être nulle si ?

[citron_21]

Oui désolé, j'ai oublié de donner l'énoncé exact :

"On considère le système formé par une poulie de masse M suspendue à un ressort. Une masse m, fixée au point B par un fil inextensible est suspendue à la poulie. On donne la raideur du ressort k et sa longueur à vide l₀. L'axe d'inertie passant par le centre C de la poulie est appelé (Δ). On rappelle le moment d'inertie J_Δ d'un disque de masse m et de rayon r par rapport à l'axe central (Δ) : J_Δ=1/2.m.r². On considèrera, pour l'étude du problème, que le mouvement du solide se fait sans frottements, et que le mouvement du fil par rapport à la poulie se fait sans glissement aux 2 points de contacts.

On appelle z la hauteur du centre C de la poulie. Donner l'équation différentielle vérifiée par z."

Par rapport à ce que vous dîtes LPFR, la variable à choisir serait ici z, la hauteur de C. J'appelle D le point de contact fil/poulie à gauche, et E le point de conctact fil/poulie à droite. J'essaie donc, d'exprimer les 3 tensions T_A, T_D et T_E en fonction de z.

1) Peut-t-on affirmer que T_E=-T_A ? (vecteurs)

Lorsque l'on applique la condition de non-glissement :
v_D(poulie)=v_D(fil)
v_E(poulie)=v_E(fil)

2) Connaît-t-on v(fil) aux points D et E ? Comment les connaître ?

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[citron_21]

Ce serait pas plutot condition de mouvement sans glissement ?

Si, désolé, je me suis trompé de mot

Je suis pas sur de comprendre ce que tu dis, mais j'ai l'impression que la vitesse la vitesse du point du fil au contact avec la poulie est égale à la vitesse linéaire du point de la poulie correspondant... la vitesse de celui là ne doit pas être nulle si ?

Justement, je ne sais pas du tout quoi dire de la vitesse du fil au point de contact fil/poulie... En tout cas, ca simplifierait bien les calculs d'affirmer que le fil est immobile en ce point (v(fil)=0) Mais dans le cas contraire, je ne vois pas comment trouver la vitesse...

[zoup1]

1) Peut-t-on affirmer que T_E=-T_A ? (vecteurs)

Oui ! en vertu du principe fondamental de la dynamique appliqué au bout de fil entre E et A, somme des forces = masse * accélération ; comme la masse du fil est sans doute nulle (c'est pas marqué dans le texte, mais bon), cela fait somme des forces = 0

Lorsque l'on applique la condition de non-glissement :
v_D(poulie)=v_D(fil)
v_E(poulie)=v_E(fil)

oui parcequ'il n'y a pas de glissement !

2) Connaît-t-on v(fil) aux points D et E ? Comment les connaître ?

v[ind]D = 0 ==> Cette partie du fil ne bouge pas !
v[ind]E = 2*dz/dt ==> C'est le fait que le fil soit inextensible qui donne cela...

[citron_21]

v[ind]D = 0 ==> Cette partie du fil ne bouge pas !
v[ind]E = 2*dz/dt ==> C'est le fait que le fil soit inextensible qui donne cela...

Voila, alors c'est ça que je ne comprends pas...
1) On est sûr que la partie BD du fil ne bouge pas ?
2) pourquoi la vitesse du fil en E est égale à 2 fois la vitesse de C ??? Je ne vois pas en quoi l'hypothèse du fil inextensible donne cela...

Merci d'avance

[zoup1]

Voila, alors c'est ça que je ne comprends pas...
1) On est sûr que la partie BD du fil ne bouge pas ?

B est fixe (cela c'est sûr...) tous les points du fil qui sont au dessus de B ne bougent pas non plus car le fil est inextensible. Il faut voir que D est un point du fil, il est donc comme tous les autres ; D ne bouge pas !
Ce n'est pas aussi intuitif que ce devrait l'être mais c'est exactement le même problème que la vitesse du point de contact d'une roue roulant sans glissement (la vitesse du point de contact est nulle, mais cela n'empêche ni la roue de rouler, ni la roue d'avancer)

2) pourquoi la vitesse du fil en E est égale à 2 fois la vitesse de C ??? Je ne vois pas en quoi l'hypothèse du fil inextensible donne cela...

C'est seulement de la géométrie. La vitesse de E c'est la vitesse de A. (fil inextensible). et si tu écris ce à quoi ressemble les déplacements de A et de C tu arrives à v_A = 2*v_C

[citron_21]

C'est seulement de la géométrie. La vitesse de E c'est la vitesse de A. (fil inextensible). et si tu écris ce à quoi ressemble les déplacements de A et de C tu arrives à v_A = 2*v_C

D'accord, merci de ton explication. Je vais essayer de comprendre d'ou vient cette relation

[zoup1]

D'accord, merci de ton explication. Je vais essayer de comprendre d'ou vient cette relation

Déplaces le point C refait passer le fil de longueur L par la poulie et regarde de combien s'est déplacé le point A.

[citron_21]

Heu désolé, mais je ne vois toujours pas pourquoi
Imaginons que l'on abaisse le centre C de la poulie de l'altitude z à l'altitude z-h. La distance BD va diminuer de z à z-h. La distance du fil en contact avec la poulie reste la même, donc cela signifie que la distance EA à augmenté de z à z+h.
Mais je ne vois pas en quoi cela indique que v_A=2.v_C

[citron_21]

Ah si, je crois voir pourquoi...
Si on abaisse C d'une hauteur h, le point E va donc diminuer lui aussi d'une hauteur h (car le fil s'appuie sur la poulie), et en plus, il va diminuer d'une hauteur h supplémentaire dû à la longueur du fil BD qui a diminué de h (à gauche). Ce qui fait que pour une distance x parcourue par C, E parcourt 2x.
Donc globalement v_E=v_A=2.v_C

C'est ça ?

[zoup1]

Oui, c'est cela...
et c'est exactement à cela que sert un palan, poulie ou un système de poulie...
on déplace de L d'un coté pour faire bouger l'objet d'intérêt d'une longueur L/n où n dépend du nombre de poulies utilisées http://trimartolod.free.fr/spip/IMG/pdf/palans.pdf

[citron_21]

D'accord, je vois...
Meci beaucoup !
Juste un dernier petit détail qui me dérange.
Pour calculer le moment de la force de tension T_E par rapport à l'axe (Δ), exercée sur la poulie :
je calcule : M_Δ(T_E)=EC v T_E (avec v : vectoriel)
ce qui me donne M_Δ(T_E)=a.|T_E|.u_y (avec a : le rayon de la poulie, et l'axe y qui vient vers nous)
Or, on sait que, en normes : |T_E|=|T_A|
Ce qui me fait : M_Δ(T_E)=a.|T_A|.u_y

Or, si je remplace directement T_E par -T_A avant de calculer le vectoriel, je trouve :
M_Δ(T_E)=-a.|T_A|.u_y

Il semble y avoir un petit problème

[zoup1]

D'accord, je vois...
Meci beaucoup !
Juste un dernier petit détail qui me dérange.
Pour calculer le moment de la force de tension T_E par rapport à l'axe (Δ), exercée sur la poulie :
je calcule : M_Δ(T_E)=EC v T_E (avec v : vectoriel)
ce qui me donne M_Δ(T_E)=a.|T_E|.u_y (avec a : le rayon de la poulie, et l'axe y qui vient vers nous)
Or, on sait que, en normes : |T_E|=|T_A|
Ce qui me fait : M_Δ(T_E)=a.|T_A|.u_y

Or, si je remplace directement T_E par -T_A avant de calculer le vectoriel, je trouve :
M_Δ(T_E)=-a.|T_A|.u_y

Il semble y avoir un petit problème

Je ne sais pas très bien quelle règle de calcul tu utilises pour faire le calcul de ton produit vectoriel (Il y a plein de manières différentes de le faire). Ce qu'il y a de sûr c'est que tu devrais trouver le même résultat quelque soit la façon dont tu le calcules.
Ce que je peux dire, c'est que comme T_E fait tourner la poulie dans le sens des aiguilles d'une montre, le moment associé est dirigé vers nous soit suivant le u_y que tu définis.

[citron_21]

D'accord je comprends...
Merci beaucoup pour toutes tes explications !

[Thoy]

Bonjour à vous,
Je sais que je remonte ce sujet de loin mais voila, j'ai besoin de votre aide parce qu'il y a une petite chose que je comprend pas lorsque que j'applique les théorèmes généraux!

Lorsque j'applique le théorème du centre d'inertie à la poulie, dois-je prendre en compte la réaction qui existe du fil sur la poulie?

Bien à vous, et bonnes fêtes

[zoup1]

Bonjour,

Il faut toujours que tu définisses d'abord un système. Puis que tu prennes en comptes les forces "extérieures" qui s'appliquent sur ce système.

Il n'y a pas qu'un seul système que l'on puisse définir, mais il y en a qui sont plus simples ou plus utiles que d'autres.

Donc, si le système que tu utilises est la poulie elle-même, la force que le fil exerce sur la poulie fait partie des forces extérieures.

Cordialement,

[LPFR]

...
Lorsque j'applique le théorème du centre d'inertie à la poulie, dois-je prendre en compte la réaction qui existe du fil sur la poulie?

Bonjour.
Je ne sais pas ce que vous mettez exactement dans "la réaction qui existe du fil sur la poulie". Mais il faut mettre toutes les forces exercées par le fil sur la poulie, indépendamment de leur nom.
Au revoir.

[Thoy]

Bonjour,
Mon système global est bel et bien {fil+poulie+masse} et j'étudie les sous systèmes afin d'avoir autant d'équations que d'inconnues.
Le problème c'est que le système d'équations que j'ai ne me permet pas de retrouver l'équation du corrigé que voici



Voici les équations que j'ai :

Je note Zc le déplacement du centre C de la poulie, z le déplacement de G le centre d'inertie de la masse suspendue.
Je note la tension au point de contact entre le fil et la poulie du côté de la masse et la tension au point de contact entre le fil et la poulie du côté de là où le fil est fixé au sol.
Soit M la masse de la poulie et m la masse de la masse suspendue.

(1) - condition de roulement sans glissement
(2) - TRC à la masse
(3) - TRC à la poulie
(4) - TMC à la poulie

Donc lorsque je somme (3) et (4) j'élimine puis j'élimine et j'obtiens


Donc mon problème, c'est que je n'ai nulle part parlé de cette réaction et qu'en plus, j'ai un petit souci puisque dans mon équation j'ai encore l'expression d'un second membre en fonction de g qui ne devrait pas être là....

[Thoy]

Je précise juste que sur mon dessin l'axe des z est descendant

[invite21348749873]

Oui désolé, j'ai oublié de donner l'énoncé exact :

"On considère le système formé par une poulie de masse M suspendue à un ressort. Une masse m, fixée au point B par un fil inextensible est suspendue à la poulie. On donne la raideur du ressort k et sa longueur à vide l₀. L'axe d'inertie passant par le centre C de la poulie est appelé (Δ). On rappelle le moment d'inertie J_Δ d'un disque de masse m et de rayon r par rapport à l'axe central (Δ) : J_Δ=1/2.m.r². On considèrera, pour l'étude du problème, que le mouvement du solide se fait sans frottements, et que le mouvement du fil par rapport à la poulie se fait sans glissement aux 2 points de contacts.

On appelle z la hauteur du centre C de la poulie. Donner l'équation différentielle vérifiée par z."

Par rapport à ce que vous dîtes LPFR, la variable à choisir serait ici z, la hauteur de C. J'appelle D le point de contact fil/poulie à gauche, et E le point de conctact fil/poulie à droite. J'essaie donc, d'exprimer les 3 tensions T_A, T_D et T_E en fonction de z.

1) Peut-t-on affirmer que T_E=-T_A ? (vecteurs)

Lorsque l'on applique la condition de non-glissement :
v_D(poulie)=v_D(fil)
v_E(poulie)=v_E(fil)

2) Connaît-t-on v(fil) aux points D et E ? Comment les connaître ?

Merci d'avance

Bonjour
La poulie est soumise à 3 forces: le poids de la masse, la tension du fil et la force de rappel du ressort.
Et à un couple C= (Mg-T)R
Ecrivez que:
1: Sommes des forces ext = M d²z/dt²
2: C= J. d² (teta)/dt² avec dz =R. d (teta)
Cela permet d'éliminer T

[Thoy]

.... je ne comprend pas! pour le 2!

[invite21348749873]

.... je ne comprend pas! pour le 2!

C'est l'expression de F=Ma pour un corps en rotation.
Somme des couples= moment d'inertie x accelaration angulaire

[Thoy]

Bonjour,
Mon système global est bel et bien {fil+poulie+masse} et j'étudie les sous systèmes afin d'avoir autant d'équations que d'inconnues.
Le problème c'est que le système d'équations que j'ai ne me permet pas de retrouver l'équation du corrigé que voici



Voici les équations que j'ai :

Je note Zc le déplacement du centre C de la poulie, z le déplacement de G le centre d'inertie de la masse suspendue.
Je note la tension au point de contact entre le fil et la poulie du côté de la masse et la tension au point de contact entre le fil et la poulie du côté de là où le fil est fixé au sol.
Soit M la masse de la poulie et m la masse de la masse suspendue.

(1) - condition de roulement sans glissement
(2) - TRC à la masse
(3) - TRC à la poulie
(4) - TMC à la poulie

Donc lorsque je somme (3) et (4) j'élimine puis j'élimine et j'obtiens


Donc mon problème, c'est que je n'ai nulle part parlé de cette réaction et qu'en plus, j'ai un petit souci puisque dans mon équation j'ai encore l'expression d'un second membre en fonction de g qui ne devrait pas être là....

Oui d'accord, mais mon problème se situe surtout ici

[LPFR]

Re.
Pouvez-vous décrire votre système "fil + poulie + masse"?
À quoi sont attachés, le fil, la poulie et la masse?
Qu'est ce qui bouge?
Faut-il tenir compte du moment d'inertie de la poulie?
A+

[Thoy]

Le dessin est le même que celui de citron21 si ce n'est que l'axe Oz est descendant, c'est le même principe sinon.
Voici mon énoncé précis.
:
"Le référentiel terrestre est supposé galiléen. L'axe de la poulie est suspendu à un ressort de raideur k ; la poulie homogène (de centre C, de masse M et de moment d'inertie J=1/2MR² par rapport à son axe) peut tourner sans frottements autour de son axe. Le fil inextensible, sans masse et sans raideur, est fixé en A ; il s'enroule sur la poulie (sans glisser) et supporte en B une masselotte de masse m. Calculer la période des oscillations verticales de la masselotte dans l'hypothèse des petits mouvement."

[LPFR]

Re.
Je vois deux problèmes.
Le premier est que vous vous êtes planté dans votre calcul. Votre équation n'est pas correcte dimensionnellement. Les deux termes de gauche sont bien des accélérations, mais celui de droite est une force. En passant, c'est ça l'utilité de l'analyse dimensionnel et non celui de trouver des formules.

Le second est que votre 'z' n'est pas le même que celui du corrigé. Ce dernier est l'écart par rapport à la position d'équilibre et le votre est mesuré à partir de l'élongation zéro du ressort. C'est la raison pour laquelle il n'y pas de terme indépendant dans le corrigé.
A+

[Thoy]

Vous parlez des deux premières équations j'imagine?
C'est donc que je me suis trompée sur z et Zc!

[Thoy]

Merci ça m'a grandement éclairé!
Je vais essayer de refaire cet exercice en utilisant le théorème de l'énergie mécanique!