Le calcul dimensionelle, comment et pourquoi ?

[invite0c5534f5]

Bonsoir,

Je me pose des questions sur le calcul dimensionnelle:

Pourquoi est-il ainsi ?
D'où viennent les théorèmes de cette arithmétique ? Y a-t-il des démonstrations ? Proviennent-il de faits empirique ?
Pourquoi peut on multiplier des dimensions différentes mais pas les sommer ?
(D'ailleurs avant Pierre Varignon qui a définie formellement la vitesse comme le rapport d'une longueur infiniment petite dx sur le temps infiniment petit dt mis pour parcourir cette longueur, les mathématiciens s'interdisaient de faire le quotient de deux grandeurs non homogènes. Diviser une distance par un temps leur paraissaient aussi faux que pourrait nous sembler aujourd'hui la somme de ces deux valeurs. Cf wikipédia )


Pourquoi doit on avoir une grandeur adimensionnée dans une fonction ?
Cela semble, d'après wikipédia (dont l'article est très mal fait), être un axiome du théorème de Buckingahm (ou théorème pi) dont on m'a parlé.
Mais je n'ai pas trouvé de réponses à mes questions dans ce théorème en fouillant le web.

En bref j'aimerais connaitre les fondements de ce calcul.
Donc si vous aviez une réponse complète du "pourquoi du comment" du calcul dimensionnelle ou un site web ou un livre à me conseiller ce serait gentil.

Merci.
-----

[invite5a89bfe6]

Bonsoir,

Je me pose des questions sur le calcul dimensionnelle:

Pourquoi est-il ainsi ?
D'où viennent les théorèmes de cette arithmétique ? Y a-t-il des démonstrations ? Proviennent-il de faits empirique ?
Pourquoi peut on multiplier des dimensions différentes mais pas les sommer ?
(D'ailleurs avant Pierre Varignon qui a définie formellement la vitesse comme le rapport d'une longueur infiniment petite dx sur le temps infiniment petit dt mis pour parcourir cette longueur, les mathématiciens s'interdisaient de faire le quotient de deux grandeurs non homogènes. Diviser une distance par un temps leur paraissaient aussi faux que pourrait nous sembler aujourd'hui la somme de ces deux valeurs. Cf wikipédia )


Pourquoi doit on avoir une grandeur adimensionnée dans une fonction ?
Cela semble, d'après wikipédia (dont l'article est très mal fait), être un axiome du théorème de Buckingahm (ou théorème pi) dont on m'a parlé.
Mais je n'ai pas trouvé de réponses à mes questions dans ce théorème en fouillant le web.

En bref j'aimerais connaitre les fondements de ce calcul.
Donc si vous aviez une réponse complète du "pourquoi du comment" du calcul dimensionnelle ou un site web ou un livre à me conseiller ce serait gentil.

Merci.

salut,
Sur l'encyclopédie universalis t'as un article dessus. Sinon sur le net, google PI theorem, ou analyse dimensionnelle. sinon t'as
-dimensional analysis (dover)
-les principes généraux de la similitude physique (rené saint-guilem, coll eyrolles) -celui la est plus complet


a+

[invite1acecc80]

Bonjour,

Je pense avoir une biblio, la dessus...
dès que je peux, je te l'envoie.

D'ailleurs,si je ne me trompe pas, c'est également "lié" au théorème Pi...

A plus.

[invité576543]

Au fond de l'analyse dimensionnelle, il y a simplement le sens, et le bon sens.

Quel sens pourrait avoir "une banane + trois watt"?

On peut bien sûr additionner 1+3, mais le résultat n'a pas de signification, n'a pas d'utilisation.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1acecc80]

Bonjour,

Au fond de l'analyse dimensionnelle, il y a simplement le sens, et le bon sens.

Quel sens pourrait avoir "une banane + trois watt"?

On peut bien sûr additionner 1+3, mais le résultat n'a pas de signification, n'a pas d'utilisation.

Cordialement,

Crois-tu qu'il y a également un bon sens en disant: log(3W)-log(1W)=log (3)?
Je suis très méfiant quand quelqu'un me parle de "bon sens" même si c'est toi

A plus.

[invité576543]

log(3W)-log(1W)=log (3)?

Tu donnes une affirmation qu'un système formel déclarerait vraie, du moins si la syntaxe est celle qu'on peut imaginer (i.e., log(3W) syntaxiquement équivalent à log(3*W)).

---

Par ailleurs, je ne comprends pas trop en quoi c'est une réponse à ce que j'ai écrit. Quel sens a pour toi "une banane + 3 watt" ? Je ne parle pas d'égalité, mais de signification de l'expression dans un contexte physique.

Cordialement,

[invite1acecc80]

Re,

Tu donnes une affirmation qu'un système formel déclarerait vraie, du moins si la syntaxe est celle qu'on peut imaginer (i.e., log(3W) syntaxiquement équivalent à log(3*W)).

---

Par ailleurs, je ne comprends pas trop en quoi c'est une réponse à ce que j'ai écrit. Quel sens a pour toi "une banane + 3 watt" ? Je ne parle pas d'égalité, mais de signification de l'expression dans un contexte physique.

Cordialement,

Je me suis (très) mal expliqué...je vais essayer de développer...
La somme comme fonction arithmétique comme tu l'entends, est "simple" et je suis d'accord qu'il n'y a pas de sens à dire "une banane + 3 watts"

Maintenant, si je réfléchis un peu en physique, tu peux trouver des solutions sous forme "log" et "exp"...toujours adimentionnée...
le problème est que: log (3 watt)-log(1watt) n'a pas de sens...pourtant c'est bien formellement log (3 watt/1watt)...

Si je dis celà, c'est (je vous donne le lien APS si vous pouvez l'avoir (je n'ai pas le droit de le diffuser):
On Physically Similar Systems; Illustrations of the Use of Dimensional Equations, Phys. Rev. 4, 345 - 376 (1914)

que Buckingham développe cette argument dans son papier...

A plus.

[invitea774bcd7]

Au fond de l'analyse dimensionnelle, il y a simplement le sens, et le bon sens.

Quel sens pourrait avoir "une banane + trois watt"?

On peut bien sûr additionner 1+3, mais le résultat n'a pas de signification, n'a pas d'utilisation.

Cordialement,

Par contre « 1 banane * 3 watts », pas de problèmes !

[invite1acecc80]

Re,

Neokiller:
J'ai ceci comme lien en français...c'est pas trop mal.

http://www.eleves.ens.fr/home/stril/cours/Chap7.pdf

[invitedbd9bdc3]

Par contre « 1 banane * 3 watts », pas de problèmes !

Le bwatt et surtout le b/watt sont tres utiles dans les bananeraies

[invité576543]

Maintenant, si je réfléchis un peu en physique, tu peux trouver des solutions sous forme "log" et "exp"...toujours adimentionnée...
le problème est que: log (3 watt)-log(1watt) n'a pas de sens...pourtant c'est bien formellement log (3 watt/1watt)...

Il me semble que c'est juste que l'inférence est dans un seul sens: si une expression ne respecte pas les règles dimensionnelles, alors elle n'a pas de sens clair.

L'inverse n'est pas vrai. Il n'est pas suffisant qu'une expression soit dimensionnellement correcte pour qu'elle ait un sens.

Cordialement,

[invité576543]

Le bwatt et surtout le b/watt sont tres utiles dans les bananeraies

Le banane par Watt me semble avoir une application assez claire.

Cordialement,

[invite5a89bfe6]

Par contre « 1 banane * 3 watts », pas de problèmes !

salut,
ça donne des vitamines aux femmes!

[invite6754323456711]

Bonjour,

Il arrive pourtant parfois que l'on soit emmené à devoir répondre à des questions du genre combien consomme de Watt une Pile Logicielle TCP/IP.


Patrick

[invite0c5534f5]

-les principes généraux de la similitude physique (rené saint-guilem, coll eyrolles) -celui la est plus complet

Pas trouvé sur amazon, j'irais voir s'il y est à la BU.

Au fond de l'analyse dimensionnelle, il y a simplement le sens, et le bon sens.

Quel sens pourrait avoir "une banane + trois watt"?

On peut bien sûr additionner 1+3, mais le résultat n'a pas de signification, n'a pas d'utilisation.

Cordialement,

Alors pourquoi Galilée s'interdisait de le faire ? Il en avait du "bon sens" lui ...

Avant vitesse/temps c'était comme vitesse+temps: le résultat n'a pas de signification, pas d'utilisation.
Et une mathématicien est arrivé (d'ailleurs je me demande pourquoi un matheux ce mêle de ça) et a un dit c'est bon les gars vitesse/temps ça veut dire ce que ça veut dire aujourd'hui.
Alors peut-être qu'un autre mathématicien va faire preuve d'encore plus de "bon sens" en disant vitesse+temps ça veut dire ça ...

Re,

Neokiller:
J'ai ceci comme lien en français...c'est pas trop mal.

http://www.eleves.ens.fr/home/stril/cours/Chap7.pdf

Merci ça a l'air pas mal, je le lis et je poste mes objections si j'en ai.

[invite0c5534f5]

Y a déjà un truc que je comprend pas:
Il est écrit:

Pour moi la simple flèche c'est utilisé avec les fonctions et signifie la fonction f a pour ensemble de départ X et d'arrivé Y.

Donc si je lis cette ligne ça donnerait: pour tout lambda réel, une fonction sans nom qui va de U dans U sur lambda, implique une autre fonction sans nom, qui va de a dans a fois lambda.
Je suis pas sûr que ça veuille dire quelque chose...

[invité576543]

Avant vitesse/temps c'était comme vitesse+temps: le résultat n'a pas de signification, pas d'utilisation.

A ce moment là, dans ce contexte là, peut-être. Mais une signification (et des utilisations) ont été trouvées ensuite.

Cela ne change rien au fait que pour le moment, il n'y a pas en physique de signification ou d'utilisation de sommes "vitesse + temps" (et plus généralement de sommes de grandeurs dimensionnellement différentes).

Si quelqu'un en trouve (toi?), cela changera certainement la manière de voir l'analyse dimensionnelle.

Cordialement,

[invite0c5534f5]

A ce moment là, dans ce contexte là, peut-être. Mais une signification (et des utilisations) ont été trouvées ensuite.

Cela ne change rien au fait que pour le moment, il n'y a pas en physique de signification ou d'utilisation de sommes "vitesse + temps" (et plus généralement de sommes de grandeurs dimensionnellement différentes).

Si quelqu'un en trouve (toi?), cela changera certainement la manière de voir l'analyse dimensionnelle.

Cordialement,

je voulais écrire "distance/temps et distance+temps" mais ça change pas grand chose
Ta réponse ma convient, donc on est en l'attente d'une signification de distance+temps et de cos(temps) etc...
Y a-t-il des personnes qui cherchent dans ce sens ?

[invité576543]

Une autre partie du texte est, à mon avis, hautement désinformatrice.

a les dimensions d'une pulsation : l'apparition d'une grandeur caractéristique homogène à une pulsation permet de nous attendre à un mouvement de rotation (en fait, de précession selon l'orientation de la vitesse initiale). Le seul axe existant dans le problème est déni par B : le mouvement de précession se fera donc autour de B. Sans calculs, nous avons eu exactement la bonne description.

eB/m a pour dimension T^-1, ce qui est certes la dimension d'une pulsation, mais aussi de bien d'autres choses, comme une décroissance exponentielle! L'argument de la dimension ne peut absolument pas être utilisé pour inférer une rotation, c'est une faute élémentaire de logique. Par exemple, cela ne marcherait pas du tout avec un circuit RC, où 1/RC a aussi comme dimension T^-1.

(Dans le cas du champ magnétique, il y a d'autres raisons qui poussent l'intuition vers l'idée d'une rotation, mais pas l'analyse dimensionnelle présentée, seule.)

Cordialement,

[invité576543]

Y a-t-il des personnes qui cherchent dans ce sens ?

Je ne pense pas pour "distance+durée". Principalement parce que la relativité restreinte implique une sorte d'équivalence pouvant, dans certains cas, donner un sens à "distance + (durée x c)". Difficile qu'il y ait à la fois un sens particulier à cela et à n'importe quelle somme "distance + durée" pour n'importe quelles unités.

Sous-jacent est l'idée de l'indépendance de la physique aux unités choisies (ce qui est le fond de l'analyse dimensionnelle). Si une expression "distance + durée" avait un sens et une utilisation avec n'importe quelles unités, alors "distance + (k x durée)" aurait nécessairement un sens quelle que soit la constante k strictement positive.

Comparons avec le cas de "distance/durée". Si cela a un sens physique (et cela en a un), "distance/(k x durée)" doit aussi avoir un sens. Et c'est le cas, c'est la vitesse exprimée dans une certaine unité, dépendant de k.

Cordialement,

[stefjm]

je voulais écrire "distance/temps et distance+temps" mais ça change pas grand chose
Ta réponse ma convient, donc on est en l'attente d'une signification de distance+temps et de cos(temps) etc...
Y a-t-il des personnes qui cherchent dans ce sens ?

Oui. Moi par exemple et quelques autres qu'on prend généralement pour des fous...

Un produit n'étant qu'une addition répétée (à la base), il y a là un truc à expliquer en physique et en maths!

[invitedbd9bdc3]

Une autre partie du texte est, à mon avis, hautement désinformatrice.



eB/m a pour dimension T^-1, ce qui est certes la dimension d'une pulsation, mais aussi de bien d'autres choses, comme une décroissance exponentielle! L'argument de la dimension ne peut absolument pas être utilisé pour inférer une rotation, c'est une faute élémentaire de logique. Par exemple, cela ne marcherait pas du tout avec un circuit RC, où 1/RC a aussi comme dimension T^-1.

(Dans le cas du champ magnétique, il y a d'autres raisons qui poussent l'intuition vers l'idée d'une rotation, mais pas l'analyse dimensionnelle présentée, seule.)

Cordialement,

Tout à fait d'accord avec toi.
C'est souvent le probleme de ce genre de raisonement. On trouve le bon resultat parce qu'on le connait deja... Et l'etudiant en face a toujours l'impression qu'on se fout de lui.

[invitedbd9bdc3]

Y a déjà un truc que je comprend pas:
Il est écrit:

Pour moi la simple flèche c'est utilisé avec les fonctions et signifie la fonction f a pour ensemble de départ X et d'arrivé Y.

Donc si je lis cette ligne ça donnerait: pour tout lambda réel, une fonction sans nom qui va de U dans U sur lambda, implique une autre fonction sans nom, qui va de a dans a fois lambda.
Je suis pas sûr que ça veuille dire quelque chose...

Ce que dit l'auteur c'est que comme une grandeur physique est en soit invariant, alors si je change d'unité, je change la valeur numerique associé a cette unité d'une façon telle que la grandeur physique soit invariante.
Pour que ça soit vrai, comme A= aU, si je divise U par n'importe quel reel l, il faut que a deviennent a*l, tel que A=a*l*U/l ce qui est bien invariant pour tout l.

Souvent en physique, la fleche a a signification de "apres transformation".

[invite1acecc80]

Re,

Une autre partie du texte est, à mon avis, hautement désinformatrice.



eB/m a pour dimension T^-1, ce qui est certes la dimension d'une pulsation, mais aussi de bien d'autres choses, comme une décroissance exponentielle! L'argument de la dimension ne peut absolument pas être utilisé pour inférer une rotation, c'est une faute élémentaire de logique. Par exemple, cela ne marcherait pas du tout avec un circuit RC, où 1/RC a aussi comme dimension T^-1.

(Dans le cas du champ magnétique, il y a d'autres raisons qui poussent l'intuition vers l'idée d'une rotation, mais pas l'analyse dimensionnelle présentée, seule.)

Cordialement,

C'est vrai que l'exemple est mal choisi...et qu'on aurait du parler de temps caractéristique du système.
L'auteur conclut trop vite en besogne...car connaissant a priori le système...
désolé pour lui

A plus.

[stefjm]

C'est vrai que l'exemple est mal choisi...et qu'on aurait du parler de temps caractéristique du système.
L'auteur conclut trop vite en besogne...car connaissant a priori le système...
désolé pour lui

Bonjour,
Certes, dans ce cas là, c'est trop court. Mais il y a moyen de le faire comme il faut, sans connaitre le système à priori. J'ai testé ces méthodes sur des exemples dont je ne maîtrisais pas la physique. (Ce n'était trop difficile pour moi! )

Une grandeur temporelle peut apparaitre à la puissance 1 (constante de temps d'un système du premier ordre) ou à la puissance -2 (pulsasion naturelle, de coupure, ou pseudo période d'un système du second.

Exemple:
Système mécanique de masse m=[M] à base de
ressort, constante k_r= [M T^-2]
amortisseur fluide, k_a=[M T^-1]

Ex1 : parachute caractérisé par m, k_a
m/k_a=[T], constante de temps.

Ex2 : amortisseur caractérisé par k_a et k_r
k_a/k_r=[T] constante de temps

ex3 : oscillateur caractérisé par m et k_r
kr/m = T^-2, pulsation

Dans l'exemple du cyclotron, comme précisé par d'autres, la rotation est caché dans le produit vectoriel à propos duquel il y a des choses à dire d'un point de vu dimentionnel.

Cordialement.

[stefjm]

A ce moment là, dans ce contexte là, peut-être. Mais une signification (et des utilisations) ont été trouvées ensuite.

Cela ne change rien au fait que pour le moment, il n'y a pas en physique de signification ou d'utilisation de sommes "vitesse + temps" (et plus généralement de sommes de grandeurs dimensionnellement différentes).

Si quelqu'un en trouve (toi?), cela changera certainement la manière de voir l'analyse dimensionnelle.

Cordialement,

Bonjour,
Il y a probablement des points à formaliser corectement pour justifier de telles écritures.

1) Un produit de deux grandeurs dimensionnellement différentes a une signification en physique et pas une somme. C'est contradictoire avec le fait que naïvement (nativement?) un produit est une somme répétée.

C=A*B, de dimension AB
C=A+A+....+A, B foi, de dimension A
C=B+B+...B, A foi , de dimension B

2)La condition «même dimension» ne suffit pas pour pouvoir faire la somme.
Exemple 1 des longueurs :
Si aligné (dim1)
Si perpandiculaire :

Exemple 2 de la puissance réactive et aparente




Ces deux exemples posent la question de la dimension de j. (j^2=-1)
C'est évidement lié à la dimension du radian.

[invité576543]

Exemple:
Système mécanique de masse m=[M] à base de
ressort, constante k_r= [M T^-2]
amortisseur fluide, k_a=[M T^-1]

Ex1 : parachute caractérisé par m, k_a
m/k_a=[T], constante de temps.

Ex2 : amortisseur caractérisé par k_a et k_r
k_a/k_r=[T] constante de temps

ex3 : oscillateur caractérisé par m et k_r
kr/m = T^-2, pulsation

Il y a dans tous ces exemples (et ceux dans le pdf donnés comme application du pi-théorème, sauf le calcul de G. Taylor) une faute logique grave.

La conclusion est toujours "Conditionnellement à ce que l'ensemble des données est juste ce qu'il faut, ni trop ni trop peu, alors...". D'une par cela ne correspond pas à une situation physique usuelle, et d'autre part on ne peut pas voir le raisonnement dimensionnel comme une démonstration de l'existence de constantes. Dans les exemples fautifs, le résultat est connu à l'avance, en particulier le fait que les données sont "juste ce qu'il faut" est "implicite", sous-entendu et non prouvé!

C'est parfaitement visible dans l'exemple 2 ci-dessus. Si on prend la donnée, on devrait prendre m, k_r, k_a (donc trop de données pour le soi-disant raisonnement dimensionnel), et on se trouve avec trois temps "caractéristiques", ce qui ne permet pas de conclure grand chose.

En fait, le raisonnement dimensionnel ne peut se faire qu'accompagné d'hypothèses sur les facteurs pertinents et dominants. C'est plutôt une heuristique du genre "intuiter les facteurs dominants, s'il n'y en n'a pas assez, en rajouter, s'il y en a trop enlever ceux qu'on pense être les plus négligeables; jusqu'à avoir "juste ce qu'il faut". Appliquer alors un raisonnement dimensionnel, et tester expérimentalement si par hasard les nombres sans dimension ainsi obtenus sont constants dans une large gamme d'expériences, ce qui confirmerait alors les hypothèses faites sur les facteurs dominants".

Notons l'usage du conditionnel: le raisonnement dimensionnel ne prouve rien, la preuve que les constantes trouvées ont un sens ne peut être donnée que par l'expérimentation, qui seule peut confirmer que les facteurs négligés étaient bien négligeables.

Je pense peu formateur de présenter les raisonnements dimensionnels en dehors du contexte d'une telle heuristique, et en particulier de parler de "démonstration".

Dans le pdf, le cas de G. Taylor est exposé en détail et on vérifiera que cela correspond bien à la première partie de l'heuristique décrite ci-dessus, en particuler l'étape d'ajout d'un facteur. (Mais l'étape, indispensable, de test sur des cas multiples est malheureusement oblitérée.)

Cordialement,

[stefjm]

La conclusion est toujours "Conditionnellement à ce que l'ensemble des données est juste ce qu'il faut, ni trop ni trop peu, alors...". D'une par cela ne correspond pas à une situation physique usuelle, et d'autre part on ne peut pas voir le raisonnement dimensionnel comme une démonstration de l'existence de constantes. Dans les exemples fautifs, le résultat est connu à l'avance, en particulier le fait que les données sont "juste ce qu'il faut" est "implicite", sous-entendu et non prouvé!

Tout à fait d'accord avec toi.
J'ai donné ces trois exemples pour mettre en évidence le lien éventuel entre les exposants et la caractéristique pulsation ou constante de temps.

^1 : constante de temps
^(-2) : pulsation.

C'est parfaitement visible dans l'exemple 2 ci-dessus. Si on prend la donnée, on devrait prendre m, k_r, k_a (donc trop de données pour le soi-disant raisonnement dimensionnel), et on se trouve avec trois temps "caractéristiques", ce qui ne permet pas de conclure grand chose.

Quand même un peu.
D'ailleurs en rapport avec ce que tu dis après.

En fait, le raisonnement dimensionnel ne peut se faire qu'accompagné d'hypothèses sur les facteurs pertinents et dominants. C'est plutôt une heuristique du genre "intuiter les facteurs dominants, s'il n'y en n'a pas assez, en rajouter, s'il y en a trop enlever ceux qu'on pense être les plus négligeables; jusqu'à avoir "juste ce qu'il faut". Appliquer alors un raisonnement dimensionnel, et tester expérimentalement si par hasard les nombres sans dimension ainsi obtenus sont constants dans une large gamme d'expériences, ce qui confirmerait alors les hypothèses faites sur les facteurs dominants".

A partir des deux temps obtenus et de la pulsation, on peut décrire le fonctionnement de l'amortisseur. (oscillant ou pas, temps typique de réponse, etc...)

J'aimerais assez "justifier" par analyse dimensionnelle que la valeur limite est donnée par le discriminent
(k_a/m)^2-4k_r/m

Je pense peu formateur de présenter les raisonnements dimensionnels en dehors du contexte d'une telle heuristique, et en particulier de parler de "démonstration".

En physique, on ne devrait jamais parler de "démonstration".
Dans le cadre du modèle mathématique, c'en est bien une, et elle est correcte physiquement aux conditions que tu précises fort bien.

[invitea774bcd7]

C'est contradictoire avec le fait que naïvement (nativement?) un produit est une somme répétée.

Mouais… Un produit est une suite de somme seulement si on multiplie par un entier sans dimension. Sinon, ça n'a pas de sens de décomposer une multiplication en une série de sommes.

[stefjm]

Mouais… Un produit est une suite de somme seulement si on multiplie par un entier sans dimension. Sinon, ça n'a pas de sens de décomposer une multiplication en une série de sommes.

C'est bien toute la question initiale...
Quel est le sens de la somme de deux grandeurs de dimensions différentes?
Actuellement aucun.