Statique/RDM : système hyperstatique sur n appuis

[invitec38c412a]

Bonjour à tous,
Petit problème fort sympathique à vous soumettre :
Un système indéformable soumis à son propre poids est lié au sol par n points Ki.
(liaison assimilable à des rotules).

Ces points sont placés de façon circulaire sur un cercle de rayon d et de centre O origine du repère. Les points sont placés symétriquement dans ce plan, n étant pair.
Le plan des points d'appuis est incliné d'un angle alpha par rapport à l'horizontale.

Remarque : le barycentre est excentré, ce qui empêche d'utiliser des symetries.


Vous trouverez en pièce jointe une figure en pdf.


les liaisons étant rotule, on a 3 inconnues par point, soit 3n inconnues en tout, le PFS nous donne 6 équations, ce qui fait un système hyperstatique d'ordre : 3n-6.
On cherche à déterminer une relation entre l'effort normal au niveau d'un point de contact et les autres paramètres du problème (angla alpha, coordonnées du CDG etc.)

Comment lever l'hyperstatisme ?


En espérant avoir été un minimum clair, merci d'avance.

Antoine.


ps: si ça peut en aider à voir, en gros c'est comme une table ronde posée sur n pieds, sauf que les pieds sont en rotule et que la table est inclinée


Pièce jointe supprimée.

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[LPFR]

Bonjour.
Y a t'il de la souplesse dans les liaisons?
-Si oui, on peut supposer que si le barycentre était centré, le système serait symétrique et recalculer les variations si on décale le barycentre. En tenant compte du coefficient d'élasticité des supports.
-Si non, c'est encore plus simple: ça casse.
Au revoir.

[invitec38c412a]

J'ai du mal à voir pourquoi le système se casserai si il n'y a pas de souplesse dans les liaisons.

Cela dit, on peut supposer que c'est le cas (il s'agit d'un cas pratique). Pourriez vous être un peu plus explicite sur la façon de procéder ?

remarque : bien que les efforts tangentiels interviennent ds la résolution j'insiste sur le fait qu'on ne s'interesse qu'à la répartition des efforts normaux.

[LPFR]

Re.
S'il n'y pas de souplesse, il suffit qu'une des liaisons soit décalée d'un atome à droite au à gauche pour que les tensions soient infinies et que cela casse.

Donc, on élimine l'hyperstaticité, en ajoutant des ressorts dans chaque liaison. Comme ce ne sont que les efforts verticaux qui vous intéressent, il suffit de mettre des ressorts dans ce sens.
La force verticale de chaque ressort sera égale à la constante d'élasticité "k" de ressorts multipliée par la déformation du ressort.
Maintenant il faut écrire ces déformations en tenant compte de leur position géométrique (elles sont dans votre cas sans un plan). Et écrire les équations d'équilibre habituelles: somme des forces égale à zéro dans chaque direction et somme des moments égale à zéro autour de n'importe quel axe.

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec38c412a]

Merci beaucoup pour l'aide!!!

Je m'attendais à un truc comme ça Je vais essayer de me débrouiller.

[JPL]

Le schéma doit être fourni au format gif (le mieux adapté ici) ou jpg, mais pas en pdf.
Merci.

[invitec38c412a]

Re-Bonjour.

Si on ne met des ressorts que selon l'axe z, on oublie de prendre en compte l'inclinaison alpha.

Bien qu'au final, seule les efforts normaux m'interessent, les efforts tangentiels sont à prendre en compte dans ce cas, me semble-t'il.

Je suppose donc qu'il faut remplacer chaque liaison par 3 ressorts (un par axe). Qu'en pensez-vous ?

[LPFR]

Bonjour.
Je vous rappelle que votre image n'a pas été validée et que je n'ai que la description que vous avez faite.

En mettant un ressort par axe, vous êtes sûr de ne rien rater. Mais, en tenant compte que le problème est bidimensionnel, avec deux ressorts ça devrait suffire.
Donc, vous vous retrouvez avec, pour chaque liaison, un ressort dans le sens du plan incliné et un autre dans le sens perpendiculaire au plan incliné.
Pourquoi pas? Ça marchera.

Mais je n'aurai mis que des ressorts verticaux. Et calculé des efforts verticaux. Ils suffissent pour tenir la table, même si elle est inclinée. Et le calcul serait plus simple. Et on peu, à la fin, multiplier par le sinus et le cosinus pour avoir les efforts normaux et tangentiels.

Au revoir.

[verdifre]

bonjour,
je pense qu'il faut que tu poses clairement ta modelisation.
par definition un systeme hyperstatique est insoluble par les seules equations de la statique.
la demarche est donc de commencer par trouver ton degré d'hyperstaticité afin de connaitre le nombre d'equations qui te manquent
aprés les equations qui te manquent peuvent venir de beaucoup de domaines de connaissances differents, mais classiquement, on fait appel à la rdm
ces equations peuvent aussi , soit te suggerer une modelisation un peu differente soit une modification du mecanisme
fred

[invitec38c412a]

Ci-joint le schéma du problème...(qui n'a pas très bien supporté la conversion en jpg)

Pour le degré d'hyperstaticité on à 3n-6 (cf premier post). Cela dit si on cherche uniquement les effort normaux, le degré est n-1. L'unique équation du PFS utilisable étant Somme Ni = Pz. (Je rappel que n est le nombre de liaisons)


Après refléxion, mettre un ressort uniquement dans le sens vertical me paraît ok, ms on doit supposer que les liaisons se déforment uniquement selon z je croi ?

Horizontalement, dans le cas de de petites déformation, le lemme du ressort nous permet de faire cette hypothèse, mais est-ce toujours valable après inclinaison?

Dans ce cas on traduit la condition de coplanarité à l'aide du produit mixte entre 3 vecteurs Ki'Kj' (le ' désigne le point après déformation).
Et on obtient une relation par couple i,j , c'est à dire autant de relations que de combinaison de 2 parmis n, soit n(n-1)/2 équations.

En espérant être suffisamment clair,
Qu'en pensez vous ?

[LPFR]

Bonjour.
On suppose que toutes de déformations son petites.
La somme des forces est égale à zéro dans toutes les directions. Donc, la somme de forces verticale est égale au poids. La somme des forces dues aux imperfections de l'hyperstaticité est nulle, dans toutes les directions.

Je ne m'emm...quiquine pas avec des vecteurs si je peux l'éviter.
La déformation des ressorts est en relation linéaire avec leurs distances (par rapport à un origine quelque part) dans le sens de la pente.
Donc, il me semble que vous n'aurez que deux équations: une pour la somme de forces et une autre pour la somme des moments.
Au revoir.

[invitec38c412a]

Bonjour,


Qu'est-ce que les forces dues aux imperfections de l'hyperstaticité ?

Les déformations sont en relation linéaires avec une origine ? On doit prendre G non ?
En admettant cette relation, on aurait :

zi' (ordonnée du point Ki après déformation de la liaison)

zi'=Cste*di (di : distance de Ki' au CDG)

C'est bien ça ? Comment trouver cette fameuse constante ?


Il me faudra plus que 2 équations, d'autant que je pense que la somme des moments est inutilisable car cela fait intervenir les efforts tangentiels....

[LPFR]

Re.
Les "imperfection de l'hyperstaticité" c'est un raccourci (violent) pour dire que les rotules ne sont pas pile à l'endroit prévu. Si le coefficient d'élasticité des supports est k (en N/m) et l'erreur d'usinage est epsilon, la force sur cette rotule sera k*epsilon.
On peut admettre que la pièce est bien faite et qu'elle n'est pas "rentrée de force" et que les forces k*epsilon sont très petites comparées aux forces qui vous intéressent.

On ne s'emquiquine pas avec les coordonnés après déformation. Il suffit d'imaginent que la souplesse se trouve dans le support. Donc les déformations seront epsilon _i qui auront une forme:

où di est la distance (dans le direction du plan) de la rotule par rapport à un origine quelconque et 'a' et 'b' sont des une inconnues.

Les forces seront.


Maintenant, la somme de toutes les forces est égale au poids de votre objet, ce qui vous donne une relation entre a et b.
Maintenant il faut écrire l'équation concernant les moments, ce qui vous donnera une autre relation entre 'a' et b'. On calcule a et b puis on calcule les forces par rotule.
À priori, elles ne dépendent pas de k.

Je viens de voir votre image. Je vous conseille de faire la projection sur le plan xz.

A+

[sitalgo]

B'jour,

Comme l'a indiqué LPFR la déformation est proportionnelle à la distance, c'est comme une poutre en flexion et son moment d'inertie. En considérant une flexion composée on a une force excentrée que l'on remplace par une force centrée + un moment.
La force centrée se répartit à égalité sur chaque appuis (symétrie), chaque Fi vient s'ajouter ou retrancher à la force de compression.

Chaque force exerce un moment par rapport à l'axe neutre au centre.
or donc
Le moment total

par ailleurs , on connaît donc k.
On retrouve ensuite chaque force avec ; attention au signe.

L'inclinaison ne joue pas sur la répartition (déformation faible des appuis et plaque indéformable), il y a simplement à décomposer en effots normaux et tangentiels.
Si ça ne marche pas, je n'ai pas d'autre idée pour l'instant.

[invite40f82214]

pour la resolution de problemes hyperstatiques regarde l'energie de deformation elastiques d'un materiau et regarde le theorme de castigliano qui permet de trouver force et deplacement au point d'application des forces ou deplaement