Trajectoire de projectiles, PCSI

[invite5f00d0ce]

Bonsoir, j'ai un nouveau DM, que j'ai du mal à faire...

Le référentiel terrestre est supposé quasi-Galiléen, et le champ de pesanteur uniforme.
On utilise un repère de coordonnées cartésiennes d'axe vertical ascendant Oy.
On lance un projectile en O (situé à la surface de la Terre) avec une vitesse initiale v₀ de module fixe, mais don l'angle avec l'horizontale est ajustable à volonté.

1) Déterminer l'altitude maximale H pouvant être atteinte par le projectile en tir vertical en fonction de v₀ et de g.
2) Déterminer la nature des trajectoires.
3) Etablir l'expression de la portée horizontale maximale X() en fonction de et de H, son maximum X_m et la valeur _m correspondante.
4) Même question pour l'altitude maximale Y().
5) On désir atteindre un point M donné: montrer que le point M doit appartenir à une zone de l'espace limitée par une courbe P que l'on décrira.
6) Dans le cas où M est intérieur à P, combien de trajectoires peuvent-elles atteindre M?
7) Montrer que l'ensemble des points M qui peuvent être atteints en un temps inférieur à une durée est l'intérieur d'un cercle C dont on déterminera le rayon et le centre.


1), j'ai trouvé:
H =

J'ai répondu entièrement à la question?

2) Je comprends pas la question... "des trajectoires" pourquoi un pluriel??? Ca ne tien pas compte de la question 1)? Ca fait référence à variable? Du coup il faut dire que ce sont des paraboles?

3) J'ai:
x =
y =
et là, je ne sais plus quoi faire...

Quelqu'un sait comment faire?
je pose et je remplace dans y?
Merci.
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[mc222]

Salut, pour la question sur les trajectoire, je pense que si tu répond par la terme "trajectoires paraboliques" ce sera bon.

On a une parabole ca le projectil suis un mouvement rectilligne uniforme horizontalement et un mouvement uniformément accéléré verticalement.




Pour la determination de la portée horizontale, je peu t'aider:


Tu lance ton projectil avec un vitesse et un angle .

On a donc un vecteur vitesse oblique, qu'on peu décomposer en deux vecteurs:



_ Un horizontal : éguale a v, multiplié par le cosinus de l'angle

_ Un vertical : éguale a v, multiplié par le sinus de l'angle

Il est important de bien décomposer la vitesse!



Bon, ensuite, la portée horizontale sera éguale à la vitesse horizontale multipliée par le temps que le projectil reste en l'air.


Le temps que le projectil reste en l'air, lui, ne dépend que de la vitesse verticale:

Voyons le problème que quand le projectil descend pour commencer:

On a pour un mouvement uniformément accéléré:



Ou V est la vitesse qu'atteint l'objet,
g, l'accélération de l'objet
t, le temps de chute:


On peu dire que le temps de descente du projectil est eguale au temps d'ascension donc:



Sauf qu'il ne faut pas oublier que notre est la vitesse verticale, donc la vitesse "totale" multipliée par le sinus de l'angle:



La portée totale sera donc la vitesse horizontale multipliée par ce temps:



On met les v, ensemble:



De plus, on a une identité remarquable:






et voila !

[invite5f00d0ce]

Ah ouais, d'accord!! Ce que tu appelles P, c'est ce que j'appelle X(), c'est bien ca?
Et pour X_m? Je dois établir X() en fonction de , H, X_m et . Et ca, je ne comprends pas comment faire...

[invite5f00d0ce]

Je crois que j'ai compris!




C'est ca?

Mais par contre, je n'arrive pas a injecter H dans cette expression...

On est bien d'accord la dessus?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5f00d0ce]

Alors j'ai trouvé X() en fonction de H:


C'est plus lourd que l'expression précédente mais bon... C'est dans la question... Si toute fois je l'ai bien comprise...

[invite5f00d0ce]

Pour la question 4) j'ai:


Est-ce que c'est bon?

Maintenant je bloque sur la question 5) ...

[mc222]

Salut, pour injecter un hauteur initiale "H" je pense qu'il faut ajouter au temps de vole, le temps que mettra le projectil a tomber de cette hauteur.

[invite5f00d0ce]

Heeuuuu... avec v: vitesse de l'objet?

[mc222]

nan, l'objet, quand il arrive a la hauteur a laquelle il a été lancé a une vitesse verticale de Vv= v sin(theta)

[mc222]

ensuite il continue a accélérer, il suffit de calculer le temps que met l'objet en partant de cette vitesse et en accélérant de g, pour parcourir la hauteur de "lancement"

[invite5f00d0ce]

Je comprends pas trop^^""

[verdifre]

bonjour,
j'ai pas tout lu en detail, mais il me semble que tu n'as pas traité completement la premiere question
tu donnes bien l'equation de H en fonction de V0 et t, mais ce n'est pas ce qui est demandé
il faut que tu donnes l'expression de Hmax en fonction de Vo et g
pour faire cela le plus simple est surement de deriver ton expression et de chercher la condition pour avoir une dérivée nulle (cela corespondra au H max)
tu verras que cette expression se retrouve assez facilement dans la suite des calculs
fred

[invite5f00d0ce]

Dans mon expression de H il y a v0, g et t. il faut que j'enleve le t alors?

[verdifre]

bonjour,
si tu relis ton ennocé, ce n'est pas H(t) que l'on te demande mais Hmax
fred

[invite5f00d0ce]

Bonsoir, ah oui c'est vrai. 'Y a pas de t...


Ceci doit être égale à zéro???

[invite5f00d0ce]

Ah! J'ai peut etre trouvé!

edit: ah ben nan...
edit2: ca y est, j'ai reflechi^^""

[invite5f00d0ce]

On remplace dans H:

C'est bien ca?

Effectivement, je retrouve cette expression plus loin! Notamment pour:

[invite5f00d0ce]

Par contre pour Y, j'ai:
J'ai encore du x... J'ai du me planté en remplaçant le temps t...
Ah ben voui, je vois la faute

[invite5f00d0ce]

Là, je crois que c'est bon:

Merci, en tout cas, parce que ça me simplifie tout^^

[invite5f00d0ce]

Pour la question 5), est ce qu'on peut dire que la courbe P est une parabole? A qui on associe un polynôme de degré 2, et suivant la valeur des racines, on peut justifier la position du point M??
Si c'est le cas, qu'elle équation faut-il prendre?

[invite5f00d0ce]

en plus il manque un facteur 2 dans ...

[invite5f00d0ce]

C'est bizarre... pourquoi on aurait calculer si c'est pour pas s'en servir...
Il faut utiliser ces 2 expressions?

[invite5f00d0ce]

La question 7) me pose soucis... je dois reprendre l'équation de la trajectoire avec ?