Exponentielle et condensateur

[invite50ab7a00]

Bonjour,


dans le cadre de mon cours de Physique( Électricité , cours donné dans un CÉGEP québécois ), nous avons été amenés à faire un laboratoire sur le temps de demi-décharge d'un condensateur.
La deuxième partie du laboratoire consistait à utilisé un voltmètre et un chronomètre pour mesurer la variation de potentiel , en fonction du temps , dans un circuit où le condensateur se déchargeant était la seule source de courant.


Pour effectuer cela, nous chargions le condensateur avec un source de courant de 15V, quand il était chargé nous coupions l'alimentation et le condensateur se déchargeait. Nous prenions alors les mesures avec le chronomètre et le voltmère qui indiquaient les valeurs.
Nous avons amassé beaucoup de données et tracé un graphique à l'aide d'Excel montrant le potentiel en fonction du temps dans le circuit.

L'allure générale du graphique évoque une courbe exponentielle négative , ce qui est normalement attendu d'après mon manuel de cours.

Mon prof nous demande donc de prouver de la façon de notre choix que la fonction obtenue est une fonction exponentielle.
Je précise, que ma professeure exclue comme preuve l'équation de la courbe de tendance donnée par Excel.

Pour prouver cela, je pensais démontrer cela à l'aide des tangentes ayant une pente plus faible selon l'augmentation du temps.
Je pensais aussi utiliser la propriété des dérivées de fonction exponentielles qui sont des exponentielles.
En comparant sur un même graphique, la fonction dérivée et la fonction de base, je pourrais peut-être le démontrer.


Auriez-vous d'autres idées ou des précisions ? Je ne sais pas si c'est une question physique ou mathématiques, mais j'essai quand même.

Merci beaucoup,
Samuel
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[invite1f022528]

Bonjour,

Très bonne qustion. De manière générale, pour "démontrer" qu'une courbe expérimentale à une tendance exponetielle, on trace le graphique en echelle log :

au lieu de tracer :
U=f(t)

tu calcules tous les ln(t) avec tous les t que tu as et tu trace :

U=f(ln(t))

Tu devrais alors obtenir une droite !

Remarque : cette méthode fonctionne avec toutes les fonction puissance ! il suffit de bien choisir la base du log (ln = log base "e" => on vois des exponentielle, log = log base 10 => on voit des 10^x ...ainsi de suite).

si je ne suis pas assez clair, n'hésite pas

A bientot

[invite50ab7a00]

Salut,

merci pour ta réponse,

j'ai tracé le graphique U = f(ln(t)) et ça me donne bien une droite avec une pente négative et ayant un paramètre " b " = e

Ma seule question restante : Comment l'expliquer en quelques phrases? La base e étant présente comme paramètre b , prouve bien que c'est une exponentielle??

[invite1f022528]

Re,

Excuse moi, il y a une petite omission dans mon dernier post :
En fait, si tu veux pouvoir déterminer les paramètre de la courbe il vaut mieux tracer plutot

ln(U)=f(t)

au lieu de U=f(ln(t))

(tu le fait de la même manière)

Cela revient au même au détail près que les constantes sont plus faciles à déterminer :

Si U(t) est une exp :

U=B exp(A*t)

Ou A et B sont des réels que tu ne connais pas.

Dans ce cas, si je passe au ln des deux cotés :

ln(U) = ln(B) + A*t

Donc si tu trace ln(U) = f(t),

Tu obtiendras aussi une droite :
y = a*t + b
ln(U) = A*t + ln(B)

avec :

a= A
et
b=ln(B)

Dans ce cas, tu peux déterminer un A et un B tels que :

U=B*exp(A*t)

Et SI tu peux déterminer A et B ALORS tu as bien une exponentielle.

Attention toutefois, nous faisons de la physique et pas des math. Donc la "validation" du fait que U(t) est une exp se fait "à l'oeil" (tu traces ln(U) = f(t) et tu dis que c'est une droite, mais tu le dis uniquement parce que tu le vois ! Tu ne peux pas DEMONTRER que c'est un droite, tu me suis ?)

Par contre, si tu utilise par exemple la fonction de régression linéaire de excel, il va te tracer la meilleur droite, et te donner :

1) La pente (le paramètre "a")

2) Le coef de corrélation (noté R). R est compris entre 0 et 1
Si R=0, il trace une droite, mais en fait, les points que tu as ne sont pas du tout alignés, par contre, si R=1, alors tes points sont super bien alignés.

On a tendance à dire, en physique, que si R > 0.8, alors on a bien une droite, aux erreurs de mesure près.

Tu peux, si tu veux, t'amuser à le faire

A bientot, désolé pour mon erreur par omission,

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Petit détail (mais qui a son importance)

Pour effectuer cela, nous chargions le condensateur avec un source de courant de 15V

Une source de courant te donne - comme son nom l'indique, et s'il est parfait - u courant constant. Ce n'est donc pas en Volts mais en Ampère.

Soit tu as un générateur de courant avec un condo derrière, soit une source de tension avec une résistance et un condo derrière...

Ya un truc de pas logique là...

[calculair]

Bonjour,

Quand tu auras determiner experimentalement les caracteristiques de ta courbe, tu peux etablir aussi l'equation theorique de cette courbe et tracer la courbe que simule la theorie et comparer les ecarts

tenter de les expliquer, erreurs de mesures, theorie incomplète, autres phenomènes....